О проблеме Гольдбаха

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #625519 писал(а):

Есть критерий существования группы в ПСВ.
$K=p-n(p)=p-n+m(p)>0$, где $m(p)$ - число вычетов группы,
сравнимых по модулю $p\mid M$.

Вот я хочу убедиться, что группа (2,4,2,6) не входит в ПСВ(30). Проверяю К(2)=2-4+m(2)=2-4+4=2>0, для К(3)=3-4+1=0. Значит, если хотя бы для одного p|M не выполняется K>0, то не входит? Кроме того отсюда следует, что эта группа не входит ни в один модуль больше 30?

[vorvalm]

Вы не до конца поняли в чем суть дела.
Вы берете сравнения не вычетов группы, но их разностей.
Для группы (2,4,2,6) приведенная группа будет (0,2,6,8,14),
что соответствует любой натуральной группе такого состава.
И эта группа не "проходит" не по модулю р =3, но по модулю р = 5.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #625503 писал(а):

И вообще можно выделить класс групп, для которых количество определяется формулой $A_k \varphi_k(M)$?

Рассмотрим для начала группы, содержащие близнецы. Например группы (2,4) и (4,2) в ПСВ(30) есть и не имеют подгруппы (2,2,2), поэтому количество данных групп выражается этой формулой. Группы (6,2) и (2,6) в ПСВ(30) есть и имеют подгруппу (2,4,2) -11,13,17,19, поэтому их количество данной формулой не выражается.

[vorvalm]

Это все правильно.Меня интересует вопрс,
как выразить среднюю плотность групп,
число которых не определяется монофункцией.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626039 писал(а):

Это все правильно.Меня интересует вопрс,
как выразить среднюю плотность групп,
число которых не определяется монофункцией.

Разделить количество на модуль. Там получится плотность К-ого кортежа за вычетом входящих в него и ПСВ K+1, K+2,.. кортежей - $1/Ln^i x$, где i =K+1, K+2,.. с соответствующими коэффициентами. Что-то похожее на формулу включений, исключений А в асимптотике количества K-кортежей получится сумма интегралов c соответствующими знаками и коэффициентами от функций $1/Ln^i x$, где i =K+1, K+2,..

[vorvalm]

Я не представляю себе,
как вы будете логарифмировать сумму функций?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626108 писал(а):

Я не представляю себе,
как вы будете логарифмировать сумму функций?

А зачем? Я подсчитаю, каждое произведение по отдельности, а потом просуммирую их с учетом знака.

[vorvalm]

Извините, но логарифм суммы не равен сумме логарифмов.
Полученная таким образом средняя плотность групп
не будет соответствовать истинной.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626411 писал(а):

Извините, но логарифм суммы не равен сумме логарифмов.
Полученная таким образом средняя плотность групп
не будет соответствовать истинной.

Хорошо, я немного позже поясню.

[vicvolf]

Если рассмотреть решето Эратосфена на r-ом шаге. То оно включает простые числа 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ за исключением 1. Ваше мнение, плотности групп вычетов в 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ совпадают?

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #626786 писал(а):

Если рассмотреть решето Эратосфена на r-ом шаге. То оно включает простые числа 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ за исключением 1. Ваше мнение, плотности групп вычетов в 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ совпадают?

Нет.
$\pi(p_r)/p_r>\varphi(p_r\#)/p_r\#$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626815 писал(а):

vicvolf в сообщении #626786 писал(а):

Если рассмотреть решето Эратосфена на r-ом шаге. То оно включает простые числа 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ за исключением 1. Ваше мнение, плотности групп вычетов в 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ совпадают?

Нет.
$\pi(p_r)/p_r>\varphi(p_r\#)/p_r\#$

Но ведь в ПСВ за $p_{r+1}$ следуют простые до $p^2_{r+2}$, поэтому на интервале от 2 до $p^2_{r+2}$ в решете Эратосфена стоят только одни простые числа (естественно с плотностью простых чисел), а далее идут вычеты ПСВ, которые включают не только простые числа, поэтому на этом интервале плотность решета Эратосфена больше плотности простых чисел. Учитывая это, средняя плотность чисел на соответствующем шаге решета Эратосфена больше плотности простых чисел.

[vorvalm]

$r/p_r>\pi(p_{r+1}^2)/p^2_{r+1}>(\varphi(p_r\#)-\pi(p_{r+1}^2)+r)/p_r\#$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626815 писал(а):

vicvolf в сообщении #626786 писал(а):

Если рассмотреть решето Эратосфена на r-ом шаге. То оно включает простые числа 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ за исключением 1. Ваше мнение, плотности групп вычетов в 2,3,.....$p_r$ и ПСВ$(2 \cdot 3...p_r)$ совпадают?

Нет.
$\pi(p_r)/p_r>\varphi(p_r\#)/p_r\#$

Проверил -это верно! А как доказывается? Но здесь интервалы разные $p_r$ и m.
Интересно произвести сравнение на равных интервалах. Например, от 2 до m. В этом случае на интервале от 2 до $p_r$ ни одного вычета ПСВ нет (поэтому локальная плотность равна 0), а количество простых $\pi(p_r)$. На интервале от $p_{r+1}$ до $(p_{r+2})^2$ плотности ПСВ и простых чисел равны и количество равно $\pi((p_{r+2})^2)-\pi(p_{r+1})$. На интервале от $(p_{r+2})^2$ до m количество простых чисел равно $\pi(m)-\pi(p^2_{r+1})$, а количество вычетов ПСВ $\varphi(m)-\pi((p_{r+2})^2)+\pi(p_{r+1})$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #626908 писал(а):

$r/p_r>\pi(p_{r+1}^2)/p^2_{r+1}>(\varphi(p_r\#)-\pi(p_{r+1}^2)+r)/p_r\#$

Это тоже сравнение на разных интервалах. А вот сравните средние плотности простых и ПСВ на одном интервале от 2 до m, т.е $(\varphi(m)-1)/(m-1)$ с $\pi(m)/(m-1)$ ?