О проблеме Гольдбаха

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #606709 писал(а):

По-моему неправильная формула?

С чего Вы взяли?
Формула выводится обращением асимптотики $\pi(x)$. В Конкретной математике есть.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #606898 писал(а):

vicvolf в сообщении #606709 писал(а):

По-моему неправильная формула?

С чего Вы взяли?
Формула выводится обращением асимптотики $\pi(x)$. В Конкретной математике есть.

Я пытался вычислять по данной формуле. При добавлении новых членов ошибка только увеличивается. Может там неточность в записи?

-- 17.08.2012, 09:49 --

Sonic86 в сообщении #605025 писал(а):

т.е. $p_r = r\ln r(1 +\frac{\ln_2 r-1}{\ln r}+O(\frac{\ln_2^2r}{\ln^2r}))$)

У Вас во втором члене в числителе логарифм по основанию 2 от r-1, а в числителе - натуральный логарифм от r? Тогда почему в остаточном члене в числителе просто логарифм по основанию 2 от r?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #606927 писал(а):

У Вас во втором члене в числителе логарифм по основанию 2 от r-1

$\ln_1 x := \ln x, \ln_{k+1}x := \ln (\ln _{k}x)$, т.е. $\ln _2 x$ - это $\ln\ln x$. Кроме того, $\ln_2 r-1$, как обычно, обозначает $\ln (\ln (r))-1$

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #606970 писал(а):

vicvolf в сообщении #606927 писал(а):

У Вас во втором члене в числителе логарифм по основанию 2 от r-1

$\ln_1 x := \ln x, \ln_{k+1}x := \ln (\ln _{k}x)$, т.е. $\ln _2 x$ - это $\ln\ln x$. Кроме того, $\ln_2 r-1$, как обычно, обозначает $\ln (\ln (r))-1$

Теперь понятно, но и с учетом второго члена получается все равно значение меньше $p_n$, а мне нужна асимптотика в сторону больше.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #607063 писал(а):

но и с учетом второго члена получается все равно значение меньше $p_n$, а мне нужна асимптотика в сторону больше.

Что этот текст означает?
Если Вы ищите асимптотику $p_1...p_n$, то асимптотика простого числа Вам не поможет (если вообще что-то поможет)

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #607891 писал(а):

Если Вы ищите асимптотику $p_1...p_n$, то асимптотика простого числа Вам не поможет

Спасибо! Я уже нашел нужные оценки. В статье B. Rosser. Explicit Bounds for Some Functions of Prime Numbers. Amer. J. Math.,
vol 63, #1, pp. 228–229 (1941) нашел интересующие меня соотношения:
\prod_{i = 1}^{r}(p_i) < (2;83)^{p_r}; p_r > 2;
\prod_{i = 1}^{r}(p_i) > (2;61)^{p_r}; p_r > 2600.
Асимптотика простого числа мне нужна для других целей. Я об этом подробнее напишу в ближайшее время.

[vorvalm]

Чтобы определить, есть ли разность $dm$ в ПСВ не обязательно создавать эту ПСВ и искать в ней $dm.$
Можно поставить вопрос иначе. По данной разности найти ПСВ, в которой эта разность есть.
Для этого надо представить искомую разность $dm$ в виде группы вычетов по модулю $M=6.$
Здесь возможны 2 варианта по разностям в группе:
1) 2, 4, 2, 4,.....(0, 2, 6, 8, 12,...$dm$)
2) 4, 2, 4, 2,.....(0, 4, 6, 10, 12,...$dm$)
Вычеты 0 и $dm$ являются крайними вычетами группы и должны оставаться на своих местах.
Остальные вычеты мы будем вычеркивать в зависимости от сравнимости их с простыми числами $p>3$.
Для этого надо найти цепочки вычетов, сравнимых с простыми модулями $p=5, 7, 11,...$
не затрагивая вычетов 0 и $dm.$
Затем распределить эти цепочки так, чтобы они,по возможности, не машали друг другу,
т.е. имели бы минимум общих вычетов.
Последовательно вычеркивая эти цепочки, мы дойдем до того,
что останутся вычеты, не входящие ни в какие цепочки.
Чтобы вычеркнуть их, на каждый вычет потребуется свое простое число в любом порядке.
Наибольший простой модуль, которым будет вычеркнут последний вычет и будет тем $p_r$,
который и определяет ПСВ, в которой есть данная разность $dm.$

Пример.
Возьмем $dm=90$. Берем группу вычетов с разностями (4,2,4,2...)
(0,4,6,10,12,16,18,22,24,28,30,34,36,40,42,48,52,54,58,60,64,66,70,72,76,78,82,64,88,90)
Всего вычетов 31. Надо вычеркнуть 29 вычетов.
Определяем цепочки сравнимых вычетов с максимальным числом вычетов.

$p=5,\;(12,22,42,52,72,82),\;N=6.$
$p=7,\;(4,18,46,60,88),\;\;\;\;\;\;\;N=5.$
$p=11,\;(10,54,76),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=3.$
$p=13,\;(6,58,84),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=3$
$p=17,\;(30,64),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=2$
$p=19,\;(28.66),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=2.$
$p=23,\;(24,70),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=2.$
$p=29,\;(-),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=1.$
$p=31,\;(16,78),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=2.$
$p=37,\;(-),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=1.$
$p=41,\;(-),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=1.$
$p=43,\;(-),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;N=1.$

$\sum N=29.$ Следовательно, разности $dm=90$ есть ПСВ по модулю $M(43).$
Причем, по числу вычетов, не имеющих цепочек, можно определить число разностей $dm$ в данной ПСВ.
Это число равно числу перестановок из этих вычетов.
В нашем случае $P_4=4!=24.$ Но т.к. разность $dm=90$ может быть представлена
и группой по разностям 2, 4, 2, 4,..., то их число увеличивается до 48.
Этот процесс поддается программированию.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #620493 писал(а):

Чтобы определить, есть ли разность $dm$ в ПСВ не обязательно создавать эту ПСВ и искать в ней $dm.$
Можно поставить вопрос иначе. По данной разности найти ПСВ, в которой эта разность есть.
Для этого надо представить искомую разность $dm$ в виде группы вычетов по модулю $M=6.$
Здесь возможны 2 варианта по разностям в группе:
1) 2, 4, 2, 4,.....(0, 2, 6, 8, 12,...$dm$)
2) 4, 2, 4, 2,.....(0, 4, 6, 10, 12,...$dm$)
Вычеты 0 и $dm$ являются крайними вычетами группы и должны оставаться на своих местах.
Остальные вычеты мы будем вычеркивать в зависимости от сравнимости их с простыми числами $p>3$.
Для этого надо найти цепочки вычетов, сравнимых с простыми модулями $p=5, 7, 11,...$
не затрагивая вычетов 0 и $dm.$
Затем распределить эти цепочки так, чтобы они,по возможности, не машали друг другу,
т.е. имели бы минимум общих вычетов.
Последовательно вычеркивая эти цепочки, мы дойдем до того,
что останутся вычеты, не входящие ни в какие цепочки.
Чтобы вычеркнуть их, на каждый вычет потребуется свое простое число в любом порядке.
Наибольший простой модуль, которым будет вычеркнут последний вычет и будет тем $p_r$,
который и определяет ПСВ, в которой есть данная разность $dm.$

А можно установить, например, что разность 92 в этом модуле отсутствует? Если да. то можно перебором увеличивая модуль и рассматривая разность 92 и выше, создать что-то вроде последовательности, ссылку, на которую давал Sonic86.

[vorvalm]

Последовательность А048670 как раз и дает эти разности в ПСВ,
но они расположены не по росту $p_r$, но по росту $r$.
Предложенный метод дает наличие разности $dm$ в данной ПСВ.
Увеличение этой разности приведет к значительному росту вычислений.
Нужна программа. Вся сожность заключается в поиске цепочек сравнимых вычетов и их стыковке друг с другом.
В моем примере эти цепочки удачно состыковались, ни один из вычетов не повторился. Такое редко бывает.

[vorvalm]

Число групп $D[18]=(6,6,6,)$ в ПСВ,
состоящая из последовательных вычетов.

Если определять число групп $D[18]=(6,6,6)$ по формуле $A_4\varphi_4(M)$,
то мы получим общее число таких групп, в которое войдут и группы
$E[18]=(6,2,4,6)=(2,4,6,6,)=(6,4,2,6)=(6,6,4,2)$, а так же
$F[18]=(6,2,4,2,4)=(2,4,2,4,6),$
т.к. в их составе есть разности $(6,6,6,)$
Поэтому, чтобы вычислить число групп $D[18]=(6,6,6)$
из последовательных вычетов, надо определить число групп
$F[18]=A_6\varphi_6(M),\;E[18]=A_5\varphi_5(M),\;D[18]=A_4\varphi_4(M)$,
а затем последовательно вычесть число групп $F[18]$ из числа групп $E[18]$
и потом полученное число вычесть из числа групп $D[18].$

$N(D_{666})=A_4\varphi_4(M)-A_5\varphi_5(M)+A_4\varphi_4(M)$

Методика определения числа таких групп здесь.
Не будем расшифровывать определение числа составляющих групп.
Кто интересуется, может это сделать самостоятельно.
Приведем окончательный результат.

$N(D_{666})=2\varphi_4(M)-4\varphi_5(M)+2\varphi_6(M)$

При $M=30,\;N(D)=0$,
при $M=210,\;N(D)=0,$
при $M=2310,\;N(D)=4.$ Это группы:

(251,257,263,269),(971,977,983,989),
(1321,1327,1333,1339),(2041,2047,2053,2059).
Первая группа из простых чисел.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #625066 писал(а):

Число групп $D[18]=(6,6,6,)$ в ПСВ,
состоящая из последовательных вычетов.
Если определять число групп $D[18]=(6,6,6)$ по формуле $A_4\varphi_4(M)$,
то мы получим общее число таких групп, в которое войдут и группы
$E[18]=(6,2,4,6)=(2,4,6,6,)=(6,4,2,6)=(6,6,4,2)$, а так же
$F[18]=(6,2,4,2,4)=(2,4,2,4,6),$
т.к. в их составе есть разности $(6,6,6,)$
Поэтому, чтобы вычислить число групп $D[18]=(6,6,6)$
из последовательных вычетов, надо определить число групп
$F[18]=A_6\varphi_6(M),\;E[18]=A_5\varphi_5(M),\;D[18]=A_4\varphi_4(M)$,
а затем последовательно вычесть число групп $F[18]$ из числа групп $E[18]$
и потом полученное число вычесть из числа групп $D[18].$
$N(D_{666})=A_4\varphi_4(M)-A_5\varphi_5(M)+A_4\varphi_4(M)$

Очень интересно! А вот группу (6,2,6) тоже можно (2,4,2,6)=(6,2,4,2) и.т.д. и формула $4/3\varphi_4(M)$ получается неправильной?

[vorvalm]

Представить конечно можно, но таких групп в ПСВ нет.

Кстати, возникает вопрос, как найти среднюю плотность таких групп?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #625214 писал(а):

Представить конечно можно, но таких групп в ПСВ нет.
Кстати, возникает вопрос, как найти среднюю плотность таких групп?

Если таких групп нет, то зачем находить их среднюю плотность? Если бы такие группы были, как например (6,6,6), то средняя плотность бы их считалась по другой формуле. Кстати, как понять, какие группы в ПСВ есть, а каких нет? И вообще можно выделить класс групп, для которых количество определяется формулой $A_k \varphi_k(M)$?

[vorvalm]

Я имел в виду среднюю плотность групп, число которых
веражается суммой функций.
Например, число всех разностей между соседними вычетами, кроме
$d=2,\;d=4$, определяются суммами функций.
Функции, имеющие минимальные разности внутри группы,
т.е. 2 и 4, определяются монофункцией.
Есть критерий существования группы в ПСВ.
$K=p-n(p)=p-n+m(p)>0$, где $m(p)$ - число вычетов группы,
сравнимых по модулю $p\mid M$.
Вот по этому я скептически отношусь к применению вами
числа вычетов в группах К в общем виде.
Я еще раньше задавал этот вопрос, но вы его оставили без внимания.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #625519 писал(а):

Вот по этому я скептически отношусь к применению вами числа вычетов в группах К в общем виде.

В работе я написал нормально, что это приемлимо для некоторых групп (кортежей), количество которых задается данной форулой.