Лагранжиан свободных фермионов

[lek]

Munin в сообщении #620300 писал(а):

Емельянов "Стандартная модель и её расширения" посмотрите, интересно.

Скачал, спасибо. Посмотрю...

Munin в сообщении #620300 писал(а):

Я всего лишь выбрал его для простоты, чтобы меньше возиться с формулами. Я мог взять вместо пары тривиальное - фундаментальное какую-нибудь другую пару представлений, без тривиального.

Если исключить тривиальные представления, то выбор калибровочной группы уже будет зависеть от исходного набора фермионных полей (но, конечно, не определяться ими), поскольку далеко не всякая калибровочная группа может иметь представление на этом наборе. Так, если мы фиксируем пару комплексных спиноров, то локальный лагранжиан не сможет обладать калибровочной $SU(n)$-симметрией при $n>2$. По причине того, что такая группа не имеет нетривиальных представлений на двумерном спинорном пространстве.

Munin в сообщении #620300 писал(а):

P. S. У меня есть тёмный момент.

Можно поподробнее...

[Munin]

lek в сообщении #620341 писал(а):

Если исключить тривиальные представления, то выбор калибровочной группы уже будет зависеть от исходного набора фермионных полей (но, конечно, не определяться ими), поскольку далеко не всякая калибровочная группа может иметь представление на этом наборе.

Да, но например, можно "повыбрасывать" лишние фермионные поля, если их слишком много, объявив их синглетами.

lek в сообщении #620341 писал(а):

Можно поподробнее...

Поподробнее я бы и сам хотел! :-) Термин "минимальное взаимодействие" был в ходу где-то в начале 2-й половины 20 века, а потом подзабылся. Не знаю, стоит ли за ним глубокая идеология, но тогда люди свободней выбирали лагранжианы, до победного шествия калибровочных теорий.

[lek]

Munin в сообщении #620352 писал(а):

Да, но например, можно "повыбрасывать" лишние фермионные поля, если их слишком много, объявив их синглетами.

Это не изменит ситуацию, поскольку и в одномерном пространстве группа $SU(n)$ при $n>1$ не имеет нетривиальных представлений. Таким представлением обладает, например, группа $U(n)$, поскольку существует гомоморфизм $U(n)\to U(1)$. Но не $SU(n)$, в силу ее простоты.

Munin в сообщении #620352 писал(а):

Поподробнее я бы и сам хотел!

Все же уточню. Насколько я понял, запись $\mathcal{L}=\mathcal{L}_{\mathrm{gauge}}+\mathcal{L}_{\mathrm{basic}}$ означает разделение (локального) лагранжиана на бозонную часть и часть содержащую фермионы, а переход "неминимальному" лагранжиану осуществляется добавлением к $\mathcal{L}$ слагаемого $\mathcal{L'}$, которое содержит векторные поля не входящие в $D_{\mu}=\partial_{\mu}+A_{\mu}$. Верно?

Если так, то такой калибровочно-инвариантный "неминимальный" лагранжиан легко построить. Достаточно выбрать $\mathcal{L'}=(B_{\mu}\phi)^{+}(B^{\mu}\phi)$ и постулировать преобразование $B_{\mu}\to u B_{\mu}u^{-1}$, соответствующее (калибровочному) преобразованию $\phi\to u\phi$ скалярного поля $\phi$ (поля Хиггса, например).

[Munin]

lek в сообщении #620430 писал(а):

Это не изменит ситуацию, поскольку и в одномерном пространстве группа $SU(n)$ при $n>1$ не имеет нетривиальных представлений. Таким представлением обладает, например, группа $U(n)$, поскольку существует гомоморфизм $U(n)\to U(1)$. Но не $SU(n)$, в силу ее простоты.

А, ну да. Что-то я привык, что всегда есть множитель $U(1).$

lek в сообщении #620430 писал(а):

Все же уточню. Насколько я понял, запись $\mathcal{L}=\mathcal{L}_{\mathrm{gauge}}+\mathcal{L}_{\mathrm{basic}}$ означает разделение (локального) лагранжиана на бозонную часть и часть содержащую фермионы, а переход "неминимальному" лагранжиану осуществляется добавлением к $\mathcal{L}$ слагаемого $\mathcal{L'}$, которое содержит векторные поля не входящие в $D_{\mu}=\partial_{\mu}+A_{\mu}$. Верно?

Нет, я не совсем это имел в виду. Если у нас есть две подсистемы, $A$ и $B,$ то их лагранжиан записывается как $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A[q_A]+\mathcal{L}_B[q_B]+\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B]$ в виде суммы двух лагранжианов свободных подсистем, и члена взаимодействия. Вообще взаимодействие может быть каким угодно, хотя в КТП накладывается требование перенормируемости. ОТО и калибровочная теория (в известной мне версии с минимальным взаимодействием) отличаются тем, что в них происходит ковариантизация свободной подсистемы $\mathcal{L}_A[q_A]\to\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]],$ и кроме возникающих от этой ковариантизации членов взаимодействия, других членов взаимодействия между этими подсистемами нет. То есть, $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]]+\mathcal{L}_B[q_B],$ и всё.

Бозоны там, фермионы - не суть важно. Скажем, векторные бозоны могут быть и в подсистеме $A,$ и в подсистеме $B.$ Но члены взаимодействия содержат только те поля, которые уже были, и не могут содержать никаких новых.

$D_\mu[q_B],$ как мы уже выяснили, может иметь разный вид в зависимости от того, на какое представление калибровочной группы она действует. На синглет $D_\mu=\partial_\mu,$ на $n$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A_\mu,$ на $\bar{n}$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A^+_\mu,$ на $n^2$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A^I_\mu+A^{II}_\mu,$ и так далее. Всё аналогично тому, как в ОТО ковариантная производная приобретает разный вид для тензоров разных рангов и корангов. Так?

Поэтому второй абзац я не комментирую, не уверен, что мы там друг друга поняли.

[lek]

Munin в сообщении #620666 писал(а):

Так?

Однозначно не отвечу, поскольку по ходу чтения возникли вопросы. Цитирую по-порядку.

Munin в сообщении #620666 писал(а):

Если у нас есть две подсистемы, $A$ и $B,$ то их лагранжиан записывается как $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A[q_A]+\mathcal{L}_B[q_B]+\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B]$ в виде суммы двух лагранжианов свободных подсистем, и члена взаимодействия.

По-видимому надо понимать так, что $q_{A}$ и $q_{B}$ - набор полей из $A$ и $B$ соответственно.

Munin в сообщении #620666 писал(а):

ОТО и калибровочная теория (в известной мне версии с минимальным взаимодействием) отличаются тем, что в них происходит ковариантизация свободной подсистемы $\mathcal{L}_A[q_A]\to\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]],$и кроме возникающих от этой ковариантизации членов взаимодействия, других членов взаимодействия между этими подсистемами нет. То есть, $\mathcal{L}=\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]]+\mathcal{L}_B[q_B],$ и всё.

И значит, $\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]]=\mathcal{L}_A[q_A]+\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B]\,?$

Munin в сообщении #620666 писал(а):

Бозоны там, фермионы - не суть важно. Скажем, векторные бозоны могут быть и в подсистеме $A,$ и в подсистеме $B.$ Но члены взаимодействия содержат только те поля, которые уже были, и не могут содержать никаких новых.

Хорошо.

Munin в сообщении #620666 писал(а):

$D_\mu[q_B],$ как мы уже выяснили, может иметь разный вид в зависимости от того, на какое представление калибровочной группы она действует. На синглет $D_\mu=\partial_\mu,$ на $n$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A_\mu,$ на $\bar{n}$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A^+_\mu,$ на $n^2$-плет $D_\mu=\partial_\mu+A^I_\mu+A^{II}_\mu,$ и так далее.

Эта фраза не вполне понятна. Предполагаю, что вы имеете ввиду действие $D_{\mu}$ на поля, принимающие значения в пространстве $V$ представления калибровочной группы. В этом случае оператор $D_\mu=\partial_\mu$ действует не только на синглет, но и на любой $k$-плет, а оператор $D_\mu=\partial_\mu+A^I_\mu+A^{II}_\mu$ не на $n^2$-плет, а на $(n_1+n_2)$-плет, где $n_1$ и $n_2$ - размерности матричных полей $A^I_\mu$ и $A^{II}_\mu$ соответственно. Кроме того, из контекста не ясно происхождение этих полей и непонятно что означают символы $I$ и $II$. Наконец, если система $B$ содержит векторные бозоны, то кроме действия $D_{\mu}$ в пространстве $V$ надо учитывать действие этого оператора в присоединенном представлении калибровочной группы.

Munin в сообщении #620666 писал(а):

Всё аналогично тому, как в ОТО ковариантная производная приобретает разный вид для тензоров разных рангов и корангов. Так?

Хотелось бы увидеть более аккуратную реализацию (читай - изложение) этой (как я понимаю основной) идеи...

[Munin]

lek в сообщении #620740 писал(а):

По-видимому надо понимать так, что $q_{A}$ и $q_{B}$ - набор полей из $A$ и $B$ соответственно.

Да. Вообще, $q$ - это произвольные обобщённые координаты, ну в теории поля - набор полей.

lek в сообщении #620740 писал(а):

И значит, $\mathcal{L}_A[q_A,D_\mu[q_B]]=\mathcal{L}_A[q_A]+\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B]\,?$

Да. Но point в том, что $\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B]$ у нас получился не какой-то произвольный руками заданный, а вполне однозначного вида. Отсюда, кстати, и перенормируемость калибровочной теории, как я понимаю: специально подобранный вид лагранжиана, что в высших порядках теории возмущений получаются взаимно сокращающиеся диаграммы. Ну, если ещё духов учитывать.

lek в сообщении #620740 писал(а):

Хотелось бы увидеть более аккуратную реализацию (читай - изложение) этой (как я понимаю основной) идеи...

Окей. Введём индексы $\alpha,\beta=1,\ldots,n,$ нумерующие размерности фундаментального представления группы. То есть, для $SU(2)$ они будут пробегать значения $1,2.$ Тогда присоединённое представление получает два таких греческих индекса, вместо одного латинского $a=1,2,3,$ и генератор группы - тоже. Например, у матриц Паули и Гелл-Манна греческие индексы обозначают номера строк и столбцов. Члены синглета не имеют индексов, а члены $\bar{n}^kn^l$-плета будут иметь $k$ нижних и $l$ верхних индексов. Все представления могут быть представлены как компоненты тензорных.

Синглет:
$\psi^\varnothing,\quad\psi\to\psi,\quad D_\mu\psi=\partial_\mu\psi$

$n$-плет:
$\psi^\alpha,\quad\psi^\alpha\to\omega^\alpha{}_\beta\psi^\beta,\quad D_\mu\psi^\alpha=\partial_\mu\psi^\alpha+A^\alpha{}_{\beta\,\mu}\psi^\beta$

$\bar{n}$-плет (для $SU(2)$ представления $2$ и $\bar{2}$ совпадают, а для $SU(3)$ $3$ и $\bar{3}$ уже различаются):
$\psi_\alpha,\quad\psi_\alpha\to\omega^\beta{}_\alpha\psi_\beta,\quad D_\mu\psi_\alpha=\partial_\mu\psi_\alpha+A^\beta{}_{\alpha\,\mu}\psi_\beta$

$n^2$-плет (и его неприводимые компоненты, например, для $SU(2)$ триплет ("вектор"), для $SU(3)$ $6$-плет, с сохранением нумерации):
$\psi^{\alpha\beta},\quad\psi^{\alpha\beta}\to\omega^\alpha{}_\gamma\omega^\beta{}_\delta\psi^{\gamma\delta},\quad D_\mu\psi^{\alpha\beta}=\partial_\mu\psi^{\alpha\beta}+A^\alpha{}_{\gamma\,\mu}\psi^{\gamma\beta}+A^\beta{}_{\gamma\,\mu}\psi^{\alpha\gamma}$

... и так далее.

Аналогичные формулы из ОТО:
скаляр $D_\mu A=\partial_\mu A$
вектор $D_\mu A^\nu=\partial_\mu A^\nu+\Gamma^\nu_{\lambda\,\mu}A^\lambda$
ковектор $D_\mu A_\nu=\partial_\mu A_\nu-\Gamma^\lambda_{\nu\,\mu}A_\lambda$
тензор ранга (2,0) $D_\mu A^\nu_\xi=\partial_\mu A^\nu_\xi+\Gamma^\nu_{\lambda\,\mu}A^\lambda_\xi-\Gamma^\lambda_{\xi\,\mu}A^\nu_\lambda$
и так далее для любых тензоров.

Эм-м-м... Может быть, я в формуле $D_\mu\psi_\alpha=\partial_\mu\psi_\alpha+A\beta{}_{\alpha\,\mu}\psi_\beta$ минус забыл. Не знаю, не скажу.

-- 19.09.2012 00:01:28 --

Символы $I$ и $II$ - это я пытался обозначить, что матрицы действуют на разные индексы представления. Забудем об этой неудачной попытке :-)

[fizeg]

Munin в сообщении #620300 писал(а):

Мне так не показалось. Я взял матрицу поворота 2-плоскости на действительный угол, её с. в. очевидно комплексные, а под конструкцию bayak подходит.

Да, я ж говорю голова не варила, я почему-то подумал, что имеется в виду разложение $O^TDO$...

[lek]

Munin в сообщении #620788 писал(а):

Окей. Введём индексы...

Вполне допустимое обобщение, имхо. Если постулировать преобразование калибровочного поля стандартным образом:

$$ A_{\mu}\to A'_{\mu}=\omega A_{\mu}\omega^{-1}-\partial_{\mu}\omega, $$

то оказываются справедливыми формулы:

$$ D'_{\mu}\psi'^{\alpha}=D'_{\mu}(\omega^{\alpha}{}_{\beta}\psi^{\beta})=\omega^{\alpha}{}_{\beta}(D_{\mu}\psi^{\beta}),\qquad D'_{\mu}\psi'^{\alpha\beta}=D'_{\mu}(\omega^\alpha{}_\gamma\omega^\beta{}_\delta\psi^{\gamma\delta})=\omega^\alpha{}_\gamma\omega^\beta{}_\delta (D_{\mu}\psi^{\gamma\delta}) $$

и так далее. А значит, построение калибровочно-инвариантного лагранжиана с тензорными полями сложности не вызовет. Таким будет, например, лагранжиан

$$ \mathcal{L}=\psi_{\alpha\dots\beta}(i\gamma^0\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\psi^{\alpha\dots\beta}. $$

[Утундрий]

lek
Зачем так, если обычно наоборот?

[Munin]

lek в сообщении #621168 писал(а):

Вполне допустимое обобщение, имхо.

Хорошо. Но вопрос у меня был другой. Можно ли добавить ещё что-то в $\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B],$ и сохранить инвариантность?

А мультиплеты выше фундаментального представления легко увидеть в физике адронов. Я не сам всё выдумал :-)

[lek]

Утундрий в сообщении #621171 писал(а):

lek
Зачем так, если обычно наоборот?

Не очевидно было, что из второй серии формул (вторая строчка формул) следует один закон преобразования калибровочного поля.

Munin в сообщении #621191 писал(а):

Хорошо. Но вопрос у меня был другой. Можно ли добавить ещё что-то в $\mathcal{L}_{\mathrm{int}}[q_A,q_B],$ и сохранить инвариантность?

Сходу так не ответишь... Надо, используя аналогии с известными теориями (например с ОТО), строить модели и проверять. Посмотрите сборник переводов "Элементарные частицы и компенсирующие поля" (скачать можно здесь). Там есть пара статей (Утиямы и Киббла), в которых авторы пытаются обобщить теорию Янга-Миллса в нужном вам направлении.

[Munin]

М-м-м, там наоборот, вроде, из закона преобразования калибровочного поля следует вид ковариантной производной для разных представлений.

[Утундрий]

lek в сообщении #621207 писал(а):

Не очевидно было, что из второй серии формул (вторая строчка формул) следует один закон преобразования калибровочного поля.

Зависит от того в какой строке писать определение $D_\mu$. Если во второй, то будет один.

[lek]

Утундрий в сообщении #621218 писал(а):

Зависит от того в какой строке писать определение $D_{\mu}$. Если во второй, то будет один.

Эта фраза не понятна...

[Утундрий]

lek
На каком этапе вводится ${\mathbf{D}}_\mu \equiv {\mathbf{1}}\partial _\mu + {\mathbf{A}}_\mu $?
(константы загнал в $A$)