Релятивистский осциллятор

[espe]

Munin в сообщении #618343 писал(а):

А точка в ваших обозначениях что значит?

Точки - дифференцирование по $\tau$ - собственному времени.

Кстати сегодня появилась статья в arXivе Relativistic harmonic oscillator. Там другой гамильтониан.

[Munin]

espe в сообщении #618218 писал(а):

Утундрий в сообщении #213354 писал(а):

как обобщить родную и знакомую еще по класс. физике пружинку до СТО... Может подскажете чего?

Про пружинку не знаю, но чем например плохо такое действие для рел. гарм. осцилятора $S=\dfrac{m}{2}\int\!d\tau(\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu-\omega^2 x_\mu x^\mu)$, который даёт уравнение движения $\ddot{x}^\mu+\omega^2x^\mu=0$.

Чего-то ваш осциллятор колеблется вокруг начальной точки в пространстве-времени в направлениях в прошлое и будущее, вам так не кажется? :-) А, нет, даже хуже, он побежит по пространству Минковского как по фазовой плоскости, по гиперболе в будущее.

[espe]

М-да, странный он какой-то. Зато красивый

[E.e.E]

Скажите, кто может, есть ли где-нибудь решение уравнения $\frac{d}{dt}\frac{\dot x}{\sqrt{1-\dot x ^2}}+\omega ^2x=0$ в явном виде?

[VladimirKalitvianski]

Еще задолго до релятивизма, если нужно учесть запаздывающее взаимодейтвие, нужно будет вводить скорость "звука" в пружине, если она меньше $c$. Скорость распространения возмущения вдоль "пружины" будет равна скорости света, если "эластический потенциал" это приближенный электромагнитный потенциал.

[myhand]

Утундрий в сообщении #213752 писал(а):

Предлагаю отвлечься от динамики и попробовать построить нечто подобное конструкции Фейнмана сразу, пользуясь только принципом ковариантности.

Тогда все просто :)

Munin уже напомнил, вкратце, как вводится взаимодействие в теории Уилера-Фейнмана. Эту процедуру можно обобщить. Например, для двух частиц: позволить первой воздействовать на вторую - запаздывающими потенциалами, а второй на первую - опережающими (для электродинамики такую модель рассматривал Хилл). Или наоборот. Что-то вроде ($t$ - времениподобный вектор, $ab^2 = (a-b)^2$, $k_x=\frac{ab\cdot\dot x}{\sqrt{{\dot x}^2}}$ и $\chi = \frac{\dot a \cdot \dot b}{\sqrt{{\dot a}^2}\sqrt{{\dot b}^2}}$):

$$S_{int}=\iint \theta(t\cdot ab)\delta(ab^2)g(k_a, k_b, \chi)\sqrt{da^2} \sqrt{db^2}$$

Если вы проинтегрируете это и выберете параметризацию в которой взаимодействие "включается" при одинаковых значениях параметров - получится "обычный" лагранжиан механики (параметрически-инвариантный, но без всяких запаздываний и т.п.):

$$L = -m_a' \sqrt{{\dot a}^2} -m_b' \sqrt{{\dot b}^2}$$

где $m_x'=m_x + f_x(k_a,k_b,\chi)$ и $ab^2=0$, $k_x>0$. Думаю, вам подойдут $f_a$, $f_b$ с квадратичной зависимостью от $k_a$, $k_b$.

[E.e.E]

VladimirKalitvianski в сообщении #715763 писал(а):

если нужно учесть запаздывающее взаимодейтвие, нужно будет вводить скорость "звука" в пружине

$\frac{d}{dt} \frac{\dot{x}}{\sqrt{1-\dot{x}^2}}+\omega^2x=0$ есть уравнение движения под действием силы $F=-kx$. Природа возникновения силы не важна, нужна лишь траектория частицы при начальных условиях $x(0)=0, \dot{x}(0)=V$

[VladimirKalitvianski]

Это уравнение, конечно, имеет физический смысл и решения. Его можно представить как нерелятивистское уравнение с силой, зависящей от скорости. Одна из форм такая (см. задачу в ЛЛ §17):

$\ddot{x}=-\omega^2 x\left(1-\dot{x}^2\right)^{3/2}$

Если $V<c$, то можно решать численно. Получатся негармонические колебания. Положение равновесия частица будет проходить с меньшей скоростью.

[VladimirKalitvianski]

VladimirKalitvianski в сообщении #716371 писал(а):

Это уравнение, конечно, имеет физический смысл и решения. Его можно представить как нерелятивистское уравнение с силой, зависящей от скорости. Одна из форм такая (см. задачу в ЛЛ §17):

$\ddot{x}=-\omega^2 x\left(1-\dot{x}^2\right)^{3/2}$

Если $V<c$, то можно решать численно. Получатся негармонические колебания. Положение равновесия частица будет проходить с меньшей скоростью.

Это уравнение можно, наверное, решать "методом ВКБ" - в первом приближении будет как бы "гармоническое колебание", но с переменной частотой $\omega(v)$.

[VladimirKalitvianski]

Там еще энергия сохраняется, так что $v$ можно выразить через $x$:

$\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}+\frac{\omega^2 x^2}{2}=E$

$\left(1-v^2\right)^{3/2}=\left(E-\frac{\omega^2 x^2}{2}\right)^{-3}$

Уравнение с "переменной частотой" относится некоторым образом к адиабатичаским инвариантам, но это, может быть, уже лишнее. Просто приближенное решение "а ля ВКБ" при маленькой начальной скорости $V<<1$ будет довольно точным.

[myhand]

VladimirKalitvianski в сообщении #716371 писал(а):

Если $V<c$, то можно решать численно.

По идее, его должен уметь проинтегрировать второкурскник... Уравнение энергии элементарно сводится к элиптическому интегралу.

VladimirKalitvianski в сообщении #716397 писал(а):

Это уравнение можно, наверное, решать "методом ВКБ" - в первом приближении будет как бы "гармоническое колебание", но с переменной частотой $\omega(v)$.

Самая обычная консервативная система, нелинейные колебания. Частота/период - будут просто функциями энергии, никакой не $v$...

[VladimirKalitvianski]

myhand в сообщении #716486 писал(а):

VladimirKalitvianski в сообщении #716371 писал(а):

Если $V<c$, то можно решать численно.

По идее, его должен уметь проинтегрировать второкурскник... Уравнение энергии элементарно сводится к элиптическому интегралу.

Вы, как всегда, правы. Я просто не старался его проинтегрировать, а анализировал качeствeнно.

Цитата:

VladimirKalitvianski в сообщении #716397 писал(а):

Это уравнение можно, наверное, решать "методом ВКБ" - в первом приближении будет как бы "гармоническое колебание", но с переменной частотой $\omega(v)$.

Самая обычная консервативная система, нелинейные колебания. Частота/период - будут просто функциями энергии, никакой не $v$...

Вы, как всегда, правы. Но я имел ввиду не период $T$, а аргумент синуса, например, $\sin[\omega(t)t]$.

[Zai]

Не будет ли излучать осциллятор энергию? Как то на первый взгляд если около ускорения коэффициент, зависящий от скорости?

[VladimirKalitvianski]

Zai в сообщении #719439 писал(а):

Не будет ли излучать осциллятор энергию? Как то на первый взгляд если около ускорения коэффициент, зависящий от скорости?

Да, будет, если частица заряженная. Но из-за релятивистских скоростей спектр будет не монохроматичным - он будет состоять из многих частот. (Член "торможения излучением" еще не выписан в уравнении осциллятора).

[ivanpis]

Статьи в инете есть.
1.ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ РЕЛЯТИВИСТСКОГО
ОСЦИЛЛЯТОРА С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ
ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Е. К. Макаров, А. А. Афанасьев, А. Н. Рубинов
Национальная академия наук Беларуси
Труды Института математики. 2009. Том 17. № 1. С. 103–109

2.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЯХ
КВАЗИРЕЛЯТИВИСТСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА
С ПЕРИОДИЧЕСКИМ ВНЕШНИМ ВОЗБУЖДЕНИЕМ
Е. К. Макаров, А. А. Афанасьев, А. Н. Рубинов
Национальная академия наук Беларуси
Труды Института математики. 2008. Том 16. № 2. С. 76–84