Релятивистский осциллятор

[VladTK]

Цитата:

...Может

$$ L=\left(\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}-mc^2\right)-\frac{k x^2}{2}$$

?

Да, Вы совершенно правы. Константа важна в случае, например, расчета гамильтониана

$$ H=\dot{x} \frac{\partial L} {\partial \dot{x}}-L $$

[ewert]

А гамилтониану котстанта и тем более ни к чему, поэтоиу она тихоньико курит в сторонке, пока остальные чего-то там расчитыают..

[Утундрий]

Да уж, в те еще дебри сей вопрос меня завел... Пытаюсь осилить этот метод квазипотенциала, но что-то тяжко идет. Из статей не больно-то выжмешь.

[ИгорЪ]

Некоторые вопросы мгновенно ставят в тупик. Есть один "мудрый" ответ почему так. Вопрос неправильный. Нет в природе релятивистского осциллятора, а есть нерелятивистский и всё тут...Ну нет окружности в римановом многообразии...

Я тут поднимал тему, можно ли написать лагранжиан галилеевской частицы по аналогии с релятивистской как длину мировой линии=корень из метрики минковского. Метрика галилея в отличии от метрики минковского не очень хороша по нескольким причинам. Если не считать обычных здесь перепираний ничего не придумалии...

[zbl]

VladTK в сообщении #214142 писал(а):

В статье http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=4385&year=1971&volume=8&issue=1&fpage=61&lpage=72&option_lang=rus упоминается об определении релятивисткого осциллятора как системы, инвариантной относительно группы U(3).

Вообще-то там квантовый осциллятор; но и не понятно, почему U(3)? а, если одномерный? -- то фиг нам?

На самом деле, если потребовать, чтобы релятивистски инвариантное действие в пределе переходило в действие гармонического осциллятора, то нет таких действий.
Можно только добиться затухающих колебаний (предельный лагранжиан будет зависеть от времени явно).
Ускоренно движущаяся частица будет излучать волны (того поля, с которым она взаимодействует).
По-этому сама постановка вопроса лишена смысла.

[ИгорЪ]

zbl в сообщении #214347 писал(а):

VladTK в сообщении #214142 писал(а):

В статье http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=4385&year=1971&volume=8&issue=1&fpage=61&lpage=72&option_lang=rus упоминается об определении релятивисткого осциллятора как системы, инвариантной относительно группы U(3).

Вообще-то там квантовый осциллятор; но и не понятно, почему U(3)? а, если одномерный? -- то фиг нам?

На самом деле, если потребовать, чтобы релятивистски инвариантное действие в пределе переходило в действие гармонического осциллятора, то нет таких действий.
Можно только добиться затухающих колебаний (предельный лагранжиан будет зависеть от времени явно).Ускоренно движущаяся частица будет излучать волны (того поля, с которым о на взаимодействует).
По-этому сама постановка вопроса лишена смысла.

Выделенные слова навели на такую мысль.
Предположим, (как утверждает Фейнберг), что метровый стержень из состояния покоя в ИСО1 перешел в состояние равномерного движения и сокращение его длины связано с упругими силами возникшими пока он ускорялся трогаясь с места до приобретения постоянной скорости.
Если в качестве модели стержня взять две точечные массы соединенные метровой пружиной и придать одной из масс скорость, возникнет движущийся "релятивистский осцилятор" который должен со временем затухнуть и оказаться в сжатом состоянии. Причем, затухшее решение не должно зависить от деталей процедуры разгона. О каком лагранжиане вы говорили? Хочется разобраться так ли это. Заодно поймем причины отсутствия "релятивистского осцилятора" .

[ИгорЪ]

в архиве http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/081 ... 2075v1.pdf нашел релятивистский гармонический осцилятор

[VladTK]

ИгорЪ писал(а):

в архиве http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/081 ... 2075v1.pdf нашел релятивистский гармонический осцилятор

Мне тоже поначалу пришла мысль обобщить потенциальную энергию в гамильтониане нерелятивисткого осцилятора до

$$ H=\sqrt{p^2 c^2+m^2c^4} +\frac {\omega^2}{2} x_{\mu} x^{\mu} $$

Но в нерелятивистком пределе этот гамильтониан не дает обычного гамильтониана осциллятора. Поэтому я эту мысль отбросил.

Кстати, а что значит быть "соединенным пружиной" в релятивиском случае?

[ИгорЪ]

Извиняюсь за отсутствие. Посевная работа.

VladTK в сообщении #218322 писал(а):

Кстати, а что значит быть "соединенным пружиной" в релятивиском случае?

Да, это вопрос.
Можно предположить, что это просто релятивистская струна - та самая. Правда там продольные колебания, точнее вдоль двух независимых направлений мирового листа - нефизические из-за репараметризационной инвариантности, а для обычного одномерного осцилятора только продольные и есть. Попытаюсь получить нерелятивистский вариант струны, если его еще нет конечно. Вопрос про лоренцево сокращение стержня как следствие упругих сил, в "струнной интерпретации" выглядит так: решить УД струны с начальными условиями 1) струна прямая 2) один конец получил скорость.

[Жесть]

Утундрий в сообщении #213752 писал(а):

Вспомните, как Фейнман переформулировал электродинамику в терминах только мировых линий зарядов.

Интересно. Не знаком с такой формулировкой. Не подскажете литературу, по которой можно ознакомиться?

[Munin]

Это его диссертация. Оригинал вряд ли найдёте, а упоминается это в его нобелевской лекции. Там же приводится формула действия, в которой слагаемое взаимодействия выглядит так:
$\displaystyle S_{\mathrm{int}}=\sum_{\substack{i\,j\\i\ne j}}q_iq_j\iint\delta(I_{ij}^2)u_{i\,\mu}u_j^\mu ds_i ds_j,$
где $I_{ij}^2=(x_{i\,\mu}-x_{j\,\mu})(x_i^\mu-x_j^\mu)$, $x_\mu$ - положения, а $u_\mu$ - скорости. Здесь стоит заметить, что $\delta(I_{ij}^2)$ - функция Грина уравнения Д'Аламбера. Действие имеет "непривычный" вид двойного интеграла по мировым линиям (или по времени), так что если захочется вытащить из него функцию Лагранжа, придётся вводить полевые переменные. Преимущество в том, что в условиях суммирования явно указано $i\ne j$, то есть частицы не действуют сами на себя, и нет соответствующих расходимостей - но только в классической теории.

[trigonometron]

Лагранжиан неверно написан для релятивистских скоростей. Вообще, наверно, стоит попробовать по аналогии написать уравнение осциллятора в 4-векторах.

[espe]

Утундрий в сообщении #213354 писал(а):

как обобщить родную и знакомую еще по класс. физике пружинку до СТО... Может подскажете чего?

Про пружинку не знаю, но чем например плохо такое действие для рел. гарм. осцилятора $S=\dfrac{m}{2}\int\!d\tau(\dot{x}^\mu\dot{x}_\mu-\omega^2 x_\mu x^\mu)$, который даёт уравнение движения $\ddot{x}^\mu+\omega^2x^\mu=0$.

[Munin]

espe
А точка в ваших обозначениях что значит?

[Утундрий]

Я давно позабыл об этой теме.