Релятивистский осциллятор

[Утундрий]

Давеча, неожиданно для самого себя, задумался над т.н. парадоксом Белла и в процессе думанья с ужасом осознал, что не представляю, как обобщить родную и знакомую еще по класс. физике пружинку до СТО... Может подскажете чего?

[VladTK]

Не ясно, какое обобщение Вам нужно.

Традиционно, осциллятором (одномерным) называется система с лагранжианом

$$ L=\frac{m \dot{x}^2}{2}-\frac{k x^2}{2} $$

Если попытаться релятивистки обобщить эту систему "наполовину" (только кинетичекую энергию), то получим

$$ L=\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}-\frac{k x^2}{2} $$

Но конечно явная ограниченность подобного обобщения очевидна. Обобщение же потенциальной энергии требует перехода к учету лагранжиана поля и взаимодействия частицы с ним (т.е. вещи довольно специфической).

В "квантах" еще похлеще.

Что Вы хотите?

[Утундрий]

Возможно, в итоге придется обратиться и к квантам, но сперва хотелось бы выяснить, существует ли какое-то более примитивное решение. Рассмотрим случай двух материальных точек, связанных упругой связью. Уравнения движения выглядят одинаково в любой инерциальной с.о. (ковариантны), или другими словами - выдерживают преобразования Галилея. Собственно, вопрос: предельным случаем чего являются эти уравнения и являются ли вообще предельным случаем хоть чего-то. Другими словами, из каких уравнений ковариантных по отношению к преобразованиям Лоренца в пределе малых скоростей может быть получено $\[\ddot x + \omega ^2 x = 0\]$?

[zbl]

Утундрий" в сообщении #213723 писал(а):

Рассмотрим случай двух материальных точек, связанных упругой связью.

VladTK уже пытался донести до Вас тот факт, что из-за близкодействия (которое обязано быть в ТО) не будет такой простой потенциальной энергии, как в классическом случае.
По крайней мере, всяко нужно плесть некие запаздывающие потенциалы.
Можно как вариант поместить в проводящий ящик стоячую элмаг волну и бросить туда точечный заряд -- что с ним тогда будет, сразу не скажу... но должён бы совершать периодические телодвижения...

[Утундрий]

Так, еще раз. Меня интересует пусть даже формальная схема, не использующая понятие поля. Вспомните, как Фейнман переформулировал электродинамику в терминах только мировых линий зарядов. Предлагаю отвлечься от динамики и попробовать построить нечто подобное конструкции Фейнмана сразу, пользуясь только принципом ковариантности. Смотрите на это как на математическое упражнение.

[ИгорЪ]

Есть устоявшееся определение рел. осциллятора - наберите в гугле, правда оно "не совсем то" для нашей интуиции.

[ИгорЪ]

А вообще релятивистская теория скалярного массивного поля - бесконечный набор осцилляторов, вопрос в каком контексте это надо.

[zbl]

Утундрий в сообщении #213752 писал(а):

Меня интересует пусть даже формальная схема, не использующая понятие поля.

Описать класс релятивистски инвариантных лагранжианов, соответствующих движению, которое в некоторой системе есть гармонические колебания -- так что ли?
Но ясно же, что в других ИСО это движение не будет гармоническим колебанием.
Описать что ли класс лагранжианов, которые дают хотя бы в одной какой-то системе гармонические колебания?

А есть ли выделенная система покоя положения равновесия?
Возьмём тело, которое в некоторой системе движется по закону гармонических колебаний (по синусу).
Не трудно перейти в другую ИСО, движущуюся относительно данной -- там колебания не будут гармоническими.
Вопрос: если в некоторой системе тело движется по закону гармонических колебаний (по синусу) вокруг начала координат, то где находится и как движется положение равновесия того же движения, если смотреть из другой ИСО? -- пусть одномерный случай.
В уме не сосчитаю, но наверное оно сместится.
Если так, то нет выделенной системы покоя положения равновесия.
А тогда гармоничность сама по себе релятивистски неинвариантна.

Если так, то нужно само определение гармоничности менять.
То есть рассмотреть класс всех лагранжианов, которые переходят в осциллятор в пределе классмеха.
Но их слишком много, наверное.
Придётся сформулировать физтребование кроме инвариантности, по которому выбирался бы только один из них.

[Dan B-Yallay]

VladTK в сообщении #213464 писал(а):

Не ясно, какое обобщение Вам нужно.

Традиционно, осциллятором (одномерным) называется система с лагранжианом

$$ L=\frac{m \dot{x}^2}{2}-\frac{k x^2}{2} $$

Если попытаться релятивистки обобщить эту систему "наполовину" (только кинетичекую энергию), то получим

$$ L=\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}-\frac{k x^2}{2} $$

Я не соображу, откуда взялось ${m c^2$ в числителе первого слагаемого?
Или же имелось в виду $\frac{m \dot x^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}$??

[VladTK]

Утундрий писал(а):

...Предлагаю отвлечься от динамики и попробовать построить нечто подобное конструкции Фейнмана сразу, пользуясь только принципом ковариантности...

Не получается без динамики Может следует использовать релятивисткий аналог второго закона Ньютона? Тогда искомое уравнение вроде автоматом получится.

ИгорЪ писал(а):

Есть устоявшееся определение рел. осциллятора - наберите в гугле, правда оно "не совсем то" для нашей интуиции.

Да, глянул. Действительно есть общепринятое определение. Я, правда, понял обобщение,требуемое автором, немного не так.

zbl писал(а):

...Описать класс релятивистски инвариантных лагранжианов, соответствующих движению, которое в некоторой системе есть гармонические колебания -- так что ли?...

В статье http://www.mathnet.ru/php/journal.phtml?wshow=paper&jrnid=tmf&paperid=4385&year=1971&volume=8&issue=1&fpage=61&lpage=72&option_lang=rus упоминается об определении релятивисткого осциллятора как системы, инвариантной относительно группы U(3).

Dan B-Yallay писал(а):

Я не соображу, откуда взялось $m c^2$ в числителе первого слагаемого?...

Из релятивисткого определения кинетической энергии.

[Dan B-Yallay]

Физика - не моя специальность, поэтому занудствую. Но мне кажется что при малых скоростях кинетическая энергия $\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}$ как-то уж очень сильно от $\dfrac {mv^2}{2}$ отличается.

Может

$$ L=\left(\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}-mc^2\right)-\frac{k x^2}{2}$$

?

[ewert]

Dan B-Yallay в сообщении #214149 писал(а):

Но мне кажется что при малых скоростях кинетическая энергия $\frac{m c^2 }{\sqrt{1-\frac{\dot{x}^2}{c^2}}}$ как-то уж очень сильно от $\dfrac {mv^2}{2}$ отличается.

$mc^2={\rm const}$

[Dan B-Yallay]

И что из этого?

[ewert]

Что лагранжиану до константы? Его ж всё равно варьировать.

[Dan B-Yallay]

Тогда понятно.