Лагранжиан свободных фермионов

[fizeg]

espe
А я говорю, что даже та симметрия, которая в обычной интерпретации противоестественна, может быть связана с интересными моментами в динамике полной модели.

[bayak]

espe в сообщении #617289 писал(а):

Аналагично с вашими фермионами. Если Вы оставили кусок от СМ содержащей только фермионы и спрашиваете какая там симметрия, то (если Вы по прежнему считаете его частью от СМ) то симметрия будет глобальная $SU(3)\times{}SU(2)\times{}U(1)$. Если вопрос в том какая для этого куска вообще может быть постулирована симметрия (введена руками), то ответ будет другим.

Меня интересует тот случай, когда из глобальной симметрии получают локальную симметриию. Тем самым, глобальная симметрия $SU(3)\times{}SU(2)\times{}U(1)$ должна быть заложена в лагранжиан, а следовательна в нём обязана быть составляющая, перемешивающая спинорные поля.

[Munin]

fizeg в сообщении #617265 писал(а):

Munin в сообщении #617085 писал(а):

А с учётом того, что для безмассовых фермионов правые и левые компоненты становятся независимыми, может быть, даже и $SU(2N),$ тут я не уверен.

По идее только $U(N)\times U(N)$, ведь левые и правые из сопряженных представлений, если лагранжиан написать, то и матрицы Паули у них с разными знаками будут. Это к тому, что поворот между ними лоренц-инвариантно не сделать. Он через гамма-матрицы будет выглядеть как $e^{i\varepsilon\gamma^0}$, тут уж сразу неладное видно

Да, точно, ну я же говорил, что не уверен. Спасибо!

-- 11.09.2012 17:39:20 --

lek в сообщении #617291 писал(а):

Не получится. В случае $SU(N)$-симметрии мы имеем один мультиплет (свободных) фермионов, которые при преобразованиях группы будут перемешиваться. В результате такого перемешивания возникнут состояния, объединяющие кварки и лептоны, левые и правые, цветные и бесцветные фермионы.

Ну да. А думаете, почему таких состояний в реальности нет? Потому что есть масса и взаимодействия. Они и нарушают эту симметрию. Если взять суперпозицию кварка и лептона, то кварковая волна будет "спотыкаться" на цветном взаимодействии, а лептонная её "обгонит", и когерентности не будет. Или если взять два лептона разных масс, они просто будут разбегаться в пространстве.

Всегда, когда такими нарушающими симметрию факторами можно пренебречь, перемешанные состояния возникают. Например, для нейтрино, для которых электронный, мю и тау ароматы не совпадают с собственными массовыми состояниями. Или для нуклонов, которые на масштабе ядерных сил не замечают разницы масс и электрического заряда. Или для $K^0$-мезонов, которые не замечают даже различия между частицей и античастицей.

Наверное, это аккуратно для описания требует больших сложностей, рассуждений о секторах суперотбора и наблюдаемых состояниях, но этого я не знаю. А по-простому, на уровне понятий квантовой механики, как-то так.

lek в сообщении #617291 писал(а):

Такого не будет, если набор мультиплетов в редуцированной свободной теории останется таким же, как в СМ. А это автоматически приведет к глобальной ($SU(3)\times SU(2)\times U(1)$)-теории.

Ну тут логика просто задом наперёд. Вы постулируете "набор мультиплетов", и из него вытаскиваете его же симметрии (кстати, забыли ещё про $SU(6)$ ароматов), а надо вытаскивать их из фактически написанного лагранжиана - в СМ "набор мультиплетов" именно в него и зашит жёстко, но! в членах взаимодействий.

-- 11.09.2012 17:43:32 --

bayak в сообщении #617358 писал(а):

Меня интересует тот случай, когда из глобальной симметрии получают локальную симметриию. Тем самым, глобальная симметрия $SU(3)\times{}SU(2)\times{}U(1)$ должна быть заложена в лагранжиан, а следовательна в нём обязана быть составляющая, перемешивающая спинорные поля.

У вас вечная проблема, что вы считаете, что Природа вам лично что-то обязана. Это мышление фантазёра, который считает, что раз фантазия красивая, то это правда. Если бы вы хотели быть физиком, вы бы должны были мыслить наоборот: это мы описываем то, какова Природа, и не можем заявить, что в ней что-то есть, когда на самом деле его нет. Природа впереди и главнее.

-- 11.09.2012 17:44:42 --

espe в сообщении #617299 писал(а):

Я написал, что у огрызка можно постулировать разную симметрию и это зависит от интерпретации. Вы с этим не согласны?

Я не согласен. Симметрию не постулируют, её замечают. Дифур либо симметричен относительно преобразования, либо не симметричен, тут других вариантов быть не может, и от постулирования тут ничего не зависит.

[lek]

Munin в сообщении #617461 писал(а):

Ну да. А думаете, почему таких состояний в реальности нет? Потому что есть масса и взаимодействия. Они и нарушают эту симметрию.

Это всего лишь ваша гипотеза (которую, кстати, доказать или опровергнуть сегодня невозможно)...

Munin в сообщении #617461 писал(а):

Ну тут логика просто задом наперёд. Вы постулируете "набор мультиплетов", и из него вытаскиваете его же симметрии...

Это стандартный подход. Группа преобразований и ее представление (набор мультиплетов) постулируются в любой модели. Если при редукции (в данном контексте - упрощении) модели мы меняем группу или ее представление, то теряем связь с исходной (стандартной) моделью (об этом же писал выше espe). Я допускаю, что при некоторой интерпретации урезанная ТС модель будет обладать $SU(N)$ или $U(N)\times U(N)$ симметрией. Но тогда причем здесь стандартная модель? В этом случае гораздо естественней исходить из $SU(N)$ или $U(N)\times U(N)$ локально-инвариантного лагранжиана Янга-Миллса или Янга-Миллса-Хиггса. И редуцировать уже его...

[Munin]

lek в сообщении #617503 писал(а):

Это всего лишь ваша гипотеза (которую, кстати, доказать или опровергнуть сегодня невозможно)...

Простите, вы о чём? Лагранжиан симметричен - это проверить можно, и легко, подвергаете его преобразованию, и смотрите, изменился он, или нет.

Это примерно то же самое, что дуальная симметрия в электродинамике, когда можно "поворачивать" в уравнениях электрические и магнитные поля в суперпозицию друг друга, до тех пор, пока что-то симметрию не нарушит. У нас считается, что заряд электрона - чисто электрический, и это даёт нам ориентир, где электрические поля, а где магнитные. Если бы заряд электрона был частично электрический, а частично магнитный, мы бы перемешали поля, и назвали их суперпозиции электрическим и магнитным, и ничего бы не заметили.

lek в сообщении #617503 писал(а):

Это стандартный подход. Группа преобразований и ее представление (набор мультиплетов) постулируются в любой модели.

Ну да, чтобы потом сразу построить лагранжиан, который по этой группе симметричен. Но не забывайте, что при этом строят лагранжиан с массами и взаимодействиями.

lek в сообщении #617503 писал(а):

Если при редукции (в данном контексте - упрощении) модели мы меняем группу или ее представление, то теряем связь с исходной (стандартной) моделью (об этом же писал выше espe).

Я не знаю, что значит выражение "теряем связь". А группу мы не совсем меняем, мы её вкладываем в б́ольшую группу. Вспомните, как строятся объединённые теории, ГВС или GUT.

lek в сообщении #617503 писал(а):

Но тогда причем здесь стандартная модель?

Наверное, только при том, что в ней будет тоже 24 фермиона. У ТС надо спрашивать, у него довольно дикие взгляды и странные желания. Я за них не отвечаю :-)

[espe]

bayak в сообщении #617358 писал(а):

Меня интересует тот случай, когда из глобальной симметрии получают локальную симметриию. Тем самым, глобальная симметрия $SU(3)\times{}SU(2)\times{}U(1)$ должна быть заложена в лагранжиан, ....

Ну да. Вы её делаете локальной, добавляете бозон Хиггса, делаете спонтанное нарушение симметрии и получаете СМ.

Если будете постулировать другую симметрию, то получите другую теорию с тем же составом фермионных полей.

bayak в сообщении #617358 писал(а):

... а следовательна в нём обязана быть составляющая, перемешивающая спинорные поля.

Про составляющую я не понял. Что Вы имели ввиду?

[bayak]

espe в сообщении #618220 писал(а):

Если будете постулировать другую симметрию, то получите другую теорию с тем же составом фермионных полей.

Вот в этом и вопрос,- как постулируются глобальные симметрии?

espe в сообщении #618220 писал(а):

bayak в сообщении #617358 писал(а):

... а следовательна в нём обязана быть составляющая, перемешивающая спинорные поля.

Про составляющую я не понял. Что Вы имели ввиду?

Имел в виду, что глобальные симметрии заложены в ту часть лагранжиана СМ, которая отвечает за взаимодействия друг с другом спинорных и скалярных полей. Насколько я понял, в неё входят такие свертки спиноров и коспиноров, которые обеспечивают постулированную симметрию.

[lek]

bayak в сообщении #619215 писал(а):

Имел в виду, что глобальные симметрии заложены в ту часть лагранжиана СМ, которая отвечает за взаимодействия друг с другом спинорных и скалярных полей

bayak, у вас в голове "каша" (по крайней мере, в этом вопросе). Взаимодействия спинорных и скалярных полей здесь совершенно не причем. Посмотрите англицкий вариант Вики хотя бы (ссылка здесь). Там (в самом конце статьи) показано, что группа симметрии возникает сразу, как только вы фиксируете набор спинорных мультиплетов. И только после выбора группы и ее представления (иначе - постулировав глобальные симметрии) можно строить глобально-инвариантный лагранжиан, описывающий материальные (фермионные) поля. Именно так, исходя из $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$-симметрии, можно получить глобально-инвариантную "усеченную" часть лагранжиана СМ. А затем, добавив калибровочные поля и поля Хиггса, восстановить СМ.

[bayak]

lek, у меня в голове "каша" потому, что я никак не могу понять как в лагранжиане зафиксировать набор спинорных мультиплетов. Иначе говоря, мне не ясно почему в урезанной (безмассовой и свободной от взаимодействий) части лагранжиана спиноры не равноправны, а объединены в мультиплеты.

[lek]

bayak в сообщении #619260 писал(а):

я никак не могу понять как в лагранжиане зафиксировать набор спинорных мультиплетов.

Вы путаете порядок действий. Сначала фиксируется мультиплет (или набор мультиплетов) материальных полей и лишь затем строится подходящий глобально-инвариантный лагранжиан, а не наоборот. Без набора полей лагранжиан не построить...

bayak в сообщении #619260 писал(а):

мне не ясно почему в урезанной (безмассовой и свободной от взаимодействий) части лагранжиана спиноры не равноправны, а объединены в мультиплеты.

Потому, что так выбрано представление группы. А именно - фундаментальное (спинорное) представление группы $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$. Выберете другую группу или другое представление, получите другую (глобально-инвариантную) теорию. При этом, один мультиплет (в котором все спиноры "равноправны") может существовать только для простой группы, коей группа СМ не является.

[Munin]

bayak в сообщении #619215 писал(а):

Вот в этом и вопрос,- как постулируются глобальные симметрии?

Да не постулируются они, дополнительно к лагранжиану. Если лагранжиан выписан, то он все симметрии задаёт и содержит однозначно. Их если и "постулируют", то перед выписыванием лагранжиана.

bayak в сообщении #619215 писал(а):

Имел в виду, что глобальные симметрии заложены в ту часть лагранжиана СМ, которая отвечает за взаимодействия друг с другом спинорных и скалярных полей. Насколько я понял, в неё входят такие свертки спиноров и коспиноров, которые обеспечивают постулированную симметрию.

Точнее, ей не противоречат. Если их убрать, симметрия будет выше. Вы их добавляете - понижаете симметрию до какого-то конкретного уровня. Если что-то совсем несуразное добавите, симметрию вообще убить можете. Будет просто КТП, несимметричная.

[bayak]

lek в сообщении #619286 писал(а):

Вы путаете порядок действий. Сначала фиксируется мультиплет (или набор мультиплетов) материальных полей и лишь затем строится подходящий глобально-инвариантный лагранжиан, а не наоборот. Без набора полей лагранжиан не построить...

Понятно, Вы стоите на том, что представление группы первично, а лагранжиан вторичен.

Munin в сообщении #619287 писал(а):

Точнее, ей не противоречат. Если их убрать, симметрия будет выше. Вы их добавляете - понижаете симметрию до какого-то конкретного уровня. Если что-то совсем несуразное добавите, симметрию вообще убить можете. Будет просто КТП, несимметричная.

Понятно, а Вы (как и я) утверждаете, что первичен лагранжиан, а его симметрии вторичны.

[Munin]

lek в сообщении #619248 писал(а):

Посмотрите англицкий вариант Вики хотя бы (ссылка здесь). Там (в самом конце статьи) показано, что группа симметрии возникает сразу, как только вы фиксируете набор спинорных мультиплетов.

Не понял. В каком разделе? В конце там Summary in low dimensions, что вообще о другом. А фиксацию группы симметрии от фиксации набора мультиплетов я вообще невооружённым глазом отличить не могу, можете пояснить?

lek в сообщении #619248 писал(а):

И только после выбора группы и ее представления (иначе - постулировав глобальные симметрии) можно строить глобально-инвариантный лагранжиан, описывающий материальные (фермионные) поля.

То есть как, сначала мультиплеты, потом глобально-инвариантный лагранжиан для них?

lek в сообщении #619248 писал(а):

Именно так, исходя из $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$-симметрии, можно получить глобально-инвариантную "усеченную" часть лагранжиана СМ.

Э нет, стоп, различайте $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ глобальную и калибровочную. Из первой вообще не "исходят".

lek в сообщении #619286 писал(а):

Вы путаете порядок действий. Сначала фиксируется мультиплет (или набор мультиплетов) материальных полей и лишь затем строится подходящий глобально-инвариантный лагранжиан, а не наоборот. Без набора полей лагранжиан не построить...

Всё верно, но этот набор полей становится мультиплетом, только становясь представлением какой-то группы симметрии. Иначе слово "мультиплет" использовать ещё нельзя, рано.

lek в сообщении #619286 писал(а):

bayak в сообщении #619260 писал(а):

мне не ясно почему в урезанной (безмассовой и свободной от взаимодействий) части лагранжиана спиноры не равноправны, а объединены в мультиплеты.

Потому, что так выбрано представление группы. А именно - фундаментальное (спинорное) представление группы $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$.

Простите, но это просто неверно. Одно поколение кварков, причём только левая часть, действительно фундаментальное представление $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$:

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_b\end{array}\right)$$

Его правая часть - это два представления $SU(3)\times U(1)$:

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_b\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_b\end{array}\right)$$

Если брать все три поколения кварков, то получатся, соответственно, $SU(3)_F\times SU(3)_C\times SU(2)\times U(1)$ и $2\times SU(3)_F\times SU(3)_C\times U(1)$:

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}u_L\\d_L\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}c_L\\s_L\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}c_L\\s_L\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}c_L\\s_L\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}t_L\\b_L\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}t_L\\b_L\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}t_L\\b_L\end{array}\right)_b\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}u_R\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}c_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}c_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}c_R\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}t_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}t_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}t_R\end{array}\right)_b\end{array}\right)\qquad \left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}d_R\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}s_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}s_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}s_R\end{array}\right)_b\\\left(\begin{array}{c}b_R\end{array}\right)_r&\left(\begin{array}{c}b_R\end{array}\right)_g&\left(\begin{array}{c}b_R\end{array}\right)_b\end{array}\right)$$

Для фермионов аналогично, но нету группы цветов, по цветам они синглеты, то есть будут $SU(3)_F\times SU(2)\times U(1)$ и $SU(3)_F\times U(1)$ (правых нейтрино в модели нет):

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}\nu_{eL}\\e_L\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}\nu_{\mu L}\\\mu_L\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}\nu_{\tau L}\\\tau_L\end{array}\right)\end{array}\right)$$

$$\left(\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}e_R\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}\mu_R\end{array}\right)\\\left(\begin{array}{c}\tau_R\end{array}\right)\end{array}\right)$$

И это всё только с учётом предполагаемых членов взаимодействия, а если их зачеркнуть, то симметрия, как я говорил, ещё повышается, хотя размерность представления остаётся прежней (24 фермионных поля, 45 киральных компонент (за вычетом трёх правых нейтрино), 90 комплексных чисел).

-- 15.09.2012 22:06:32 --

bayak в сообщении #619302 писал(а):

Понятно, Вы стоите на том, что представление группы первично, а лагранжиан вторичен... Понятно, а Вы (как и я) утверждаете, что первичен лагранжиан, а его симметрии вторичны.

И то и другое чушь. Что значит "лагранжиан первичен, а симметрии вторичны"? Лагранжиан един со своими симметриями, ни то ни другое не может быть изменено по отдельности.

[bayak]

Munin в сообщении #619304 писал(а):

Что значит "лагранжиан первичен, а симметрии вторичны"?

То и значит - одно причина, а другое следствие.

[Munin]

Нет. В том смысле, в котором из принципа наименьшего действия следуют уравнения Лагранжа - это не причина и следствие.