Лагранжиан свободных фермионов

[bayak]

Меня интересует следующий аспект лагранжжиана стандартной модели. Если взять безмассовый фермионный сектор этого лагранжиана без калибровочных полей и без юкавовских взаимодействий, то можно там выделить глобальные калибровочные симметрии? Или глобальные калибровочные симметрии стандартной модели вводятся вручную, с помощью искусственного деления спиноров по сортам?

[Munin]

Вы понимаете вообще, что "глобальные" и "калибровочные симметрии" - это антонимы?

[apv]

Munin в сообщении #616902 писал(а):

Вы понимаете вообще, что "глобальные" и "калибровочные симметрии" - это антонимы?

По логике, так должно быть, ибо если уравнения движения, или лагранжиан инвариантен относительно преобразования $\psi \rightarrow e^{i\theta} \psi, \theta = \operatorname{const}$, то калибровочное (компенсирующее) поле никак в уравнениях (лагранжиане) появится не может. Но вот я встречал, что некоторые авторы вводят понятие как глобальной калибровочной инвариантности (Global gauge invariance ) так и локальной калибровочной инвариантности (Local gauge invariance). Например, есть замечательная книжка Kerson Huang "Fundamental Forces of Nature: The Story of Gauge Fields", где именно встречается такая терминология. Скорее ТС читал книжку с подобной терминологией.

bayak в сообщении #616884 писал(а):

Меня интересует следующий аспект лагранжжиана стандартной модели.

Посмотрите книгу Г. Кейн "Современная физика элементарных частиц", возможно там найдется ответ на ваш вопрос, или вы его сможете переформулировать, а то я не совсем понял что Вы хотите узнать.

[espe]

Глобальная симметрия – это частный случай локальной симметрии ($\equiv$ калибровочной симметрии). При локальной симметрии параметры преобразований зависят от координат $\varepsilon^i(x)$, при глобалной не зависят $\frac{\partial}{\partial x^\mu}\varepsilon^i=0$. Так что глобальные симметрии в любом лагранжиане содержаться автоматически, если этот лагранжиан инвариантен относительно локальных преобразований.

[Munin]

bayak в сообщении #616884 писал(а):

Если взять безмассовый фермионный сектор этого лагранжиана без калибровочных полей и без юкавовских взаимодействий, то можно там выделить глобальные калибровочные симметрии?

Однозначно можно сказать, что после такого обдирания локальных калибровочных симметрий там не останется. Это будет $\mathcal{L}=\bar{\psi}i\gamma^\mu\partial_\mu\psi,$ а раз в нём не $D_\mu,$ а только $\partial_\mu,$ то он и не калибровочно-инвариантен.

Глобальные симметрии есть, просто за счёт того, что в наборе дираковских полей $\psi_n$ можно выбрать любой другой базис, по принципу суперпозиции, а никакие взаимодействия и массовые члены не нарушают этой симметрии, просто потому что их выкинули. Но это неинтересные симметрии.

[bayak]

apv в сообщении #616924 писал(а):

Скорее ТС читал книжку с подобной терминологией.

ЭТо была книжка "Топология и квантовая теория поля" Шварца. Но Munin всё же прав, лучше говорить об унитарной симметрии лагранжиана. Так вот у меня вопрос о том как указанная часть лагранжиана стандартной модели может быть инвариантной относительно $SU(2)$, $SU(3)$ групп преобразований необходимого набора спиноров, если не указать эти наборы вручную с помощью ловальных калибровочных преобразований.

[Munin]

Смешная оговорка, книжка называется "Квантовая теория поля и топология".

bayak в сообщении #616964 писал(а):

Но Munin всё же прав, лучше говорить об унитарной симметрии лагранжиана.

Нет, лучше - о глобальной симметрии. Слово "унитарность" в квантовой теории очень сильно зарезервировано.

bayak в сообщении #616964 писал(а):

Так вот у меня вопрос о том как указанная часть лагранжиана стандартной модели может быть инвариантной относительно $SU(2)$, $SU(3)$ групп преобразований необходимого набора спиноров, если не указать эти наборы вручную с помощью ловальных калибровочных преобразований.

На самом деле, она инвариантна относительно $SU(N),$ где $N$ - количествно вообще всех безмассовых фермионных полей, которые вы перечислили (и считая цвета отдельно). А с учётом того, что для безмассовых фермионов правые и левые компоненты становятся независимыми, может быть, даже и $SU(2N),$ тут я не уверен. А те $SU(2)$ и $SU(3),$ о которых говорите вы, в эту большую группу просто вкладываются.

Это элементарный факт квантовой механики, которую вам ещё триста лет назад рекомендовали изучить, и которую вы до сих пор высокомерно игнорируете. Называется "принцип суперпозиции".

[lek]

bayak, если вы сделаете подобное "обрезание" лагранжиану стандартной модели, то симметрия $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ сохранится, но, разумеется, она уже не будет локальной.

Munin в сообщении #617085 писал(а):

На самом деле, она инвариантна относительно $SU(N)$...

Это не так. Фермионы в стандартной модели преобразуются по фундаментальному представлению $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$, а не $SU(N)$.

[Munin]

lek в сообщении #617194 писал(а):

Это не так. Фермионы в стандартной модели преобразуются по фундаментальному представлению $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$, а не $SU(N)$.

Ну дак разумеется, потому что они взаимодействующие, и во взаимодействия входят неравноправно. Если выкинуть взаимодействия (которые все с калибровочными полями, и юкавские с хиггсом), то получится симметрия больше.

Наверное, даже, что не $SU(N),$ а $U(N)=SU(N)\times U(1).$ И двоечка, двоечка...

Кстати, интересный момент, массу нейтрино обнаружили бог знает когда, а в книжках всё равно лагранжиан СМ рисуют без правых нейтринных полей.

[fizeg]

Munin в сообщении #617085 писал(а):

А с учётом того, что для безмассовых фермионов правые и левые компоненты становятся независимыми, может быть, даже и $SU(2N),$ тут я не уверен.

По идее только $U(N)\times U(N)$, ведь левые и правые из сопряженных представлений, если лагранжиан написать, то и матрицы Паули у них с разными знаками будут. Это к тому, что поворот между ними лоренц-инвариантно не сделать. Он через гамма-матрицы будет выглядеть как $e^{i\varepsilon\gamma^0}$, тут уж сразу неладное видно

[bayak]

lek, Вы наверно не заметили, что обрезание (по моему условию) коснулось и той части лагранжиана стандартной модели, которая отвечает за взаимодействия. А глобальная симметрия $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ (как правильно заметил Munin) как раз и "сидит" в этой части лагранжиана.

-- Вт сен 11, 2012 08:51:34 --

Munin в сообщении #617085 писал(а):

Смешная оговорка, книжка называется "Квантовая теория поля и топология".

На самом деле это оговорка по Фрейду, поскольку у меня в голове сидит соответствие между одной топологической моделькой и стандартной моделью.

[espe]

bayak в сообщении #616884 писал(а):

Если взять безмассовый фермионный сектор этого лагранжиана без калибровочных полей и без юкавовских взаимодействий, то можно там выделить глобальные калибровочные симметрии? Или глобальные калибровочные симметрии стандартной модели вводятся вручную ...?

Кажется дошло что Вы хотите спросить.

Пояню простым примером. Пусть дан лагранжиан $L=\dfrac{m}{2}\sum\limits_{i=1}^6\dot{x}_i^2$. Вопрос: какая у него симметрия? Ответ зависит от интерпретации. Если считать, что это лагранжиан частицы массы $m$ в 6-мерном евклидовом пространстве, то будет одна симметрия. Если считать, что это лагранжиан двух частиц массы $m$ в 3-мерном пространстве, то другая. Дальше можно продолжить ещё.

Аналагично с вашими фермионами. Если Вы оставили кусок от СМ содержащей только фермионы и спрашиваете какая там симметрия, то (если Вы по прежнему считаете его частью от СМ) то симметрия будет глобальная $SU(3)\times{}SU(2)\times{}U(1)$. Если вопрос в том какая для этого куска вообще может быть постулирована симметрия (введена руками), то ответ будет другим.

[lek]

Munin в сообщении #617214 писал(а):

Ну дак разумеется, потому что они взаимодействующие, и во взаимодействия входят неравноправно. Если выкинуть взаимодействия (которые все с калибровочными полями, и юкавские с хиггсом), то получится симметрия больше.

Не получится. В случае $SU(N)$-симметрии мы имеем один мультиплет (свободных) фермионов, которые при преобразованиях группы будут перемешиваться. В результате такого перемешивания возникнут состояния, объединяющие кварки и лептоны, левые и правые, цветные и бесцветные фермионы. Такого не будет, если набор мультиплетов в редуцированной свободной теории останется таким же, как в СМ. А это автоматически приведет к глобальной ($SU(3)\times SU(2)\times U(1)$)-теории.

bayak в сообщении #617267 писал(а):

lek, Вы наверно не заметили, что обрезание (по моему условию) коснулось и той части лагранжиана стандартной модели, которая отвечает за взаимодействия. А глобальная симметрия $SU(3)\times SU(2)\times U(1)$ (как правильно заметил Munin) как раз и "сидит" в этой части лагранжиана.

Это не так. Не только в этой части...

[fizeg]

espe
Ээээ, нееет!!!

То, что у огрызка далеко не только та симметрия, которая была в полной теории оказывает влияние не только на огрызок, но и на полную теорию. Допустим то, что фермионы в безмассовом случае допускают киральную симметрию, о которой фактически завел разговор Munin накладывает на вклады, которые дают массовые члены существенные ограничения (чего нету для скалярных частиц, откуда берется проблема иерархий) Да и вообще сколько веселых вещей происходит от того, что в мире существуют приближенные симметрии, не перечислить

[espe]

fizeg
По-моему Вы не осознали что я написал. Я написал, что у огрызка можно постулировать разную симметрию и это зависит от интерпретации. Вы с этим не согласны? ТС не спрашивал о том какую максимальную симметрию можно постулировать

fizeg в сообщении #617292 писал(а):

и вообще сколько веселых вещей происходит ... в мире