Вопросы к получению формулы Шварцшильда по ЛЛ-2

[Someone]

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Но переход этот зависит о вида метрики. То есть координата r немного по другому "ведет себя" на удалении от шара для разных метрик. Это сбивает с толку.

А Вы не сбивайтесь и понимайте, как Ваша координата связана с измерениями. Естественно, если Вы радиальную координату определяете по-разному, то получите разные функциональные зависимости. Но нам ведь нужны не функциональные зависимости от координат, а вычисление наблюдаемых величин. Например, угла отклонения луча света, или смещения перигелия планеты, или угла поворота оси гироскопа.

schekn в сообщении #616526 писал(а):

В чем Вы видите ошибку или "чепуху" в таких рассуждениях.

В том, что Вы видите какой-то смысл в том, какими буквами обозначены координаты.

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Вы получите множество осмысленных и бессмысленных решений.

Решение одно, с точностью до замен координат. Вам это уже говорилось, Вы снова повторяете своё.

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Но может ли быть случай , когда то решение, которое Вы отсеяли получается по виду как Шварцшильдовское, но координаты будут иметь нескольку другой смысл?

Я не понимаю, какой "другой смысл". Вы можете абсолютно точно сформулировать, с демонстрацией примеров?

schekn в сообщении #616526 писал(а):

И Вы не ответили на вопрос, какую метрику на практике Вы бы использовали (100.18) или (1) (изотропную) для решения задач в слабом поле? И та и другая получена , при разложении точных решений, оставляя только члены вида GM/r .
Мне больше симпатичней (1), поскольку она по виду ближе к (106.3).

(100.18) и (106.3) - это одно и то же, только по-разному записанное.

schekn в сообщении #616201 писал(а):

Далее в задаче на стр. 409 дается выражение для метрики на больших расстояниях в изотропной форме :

$ds^2=ds`^2_0 - \frac{2km} {c^2\rho}(d\rho^2+c^2dt^2+\rho^2d\Omega^2)$=$ds`^2_0 -\frac{2km} {c^2\rho}(dx^2+dy^2+dz^2)$ (1)

По-моему, там другое выражение. Отличающееся от (100.18) только заменой буковки $r$ на $\rho$.
Кстати, в моём издании это страница 388, поэтому на страницы лучше не ссылаться. Это задача 4 в § 100.

Поправка. Исправил ссылку в предпоследней цитате.
Кстати, schekn, следите, в какую кнопку тычете при цитировании, а то получилось, что Вы с собой дискутируете.

[epros]

Someone в сообщении #616542 писал(а):

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Но может ли быть случай , когда то решение, которое Вы отсеяли получается по виду как Шварцшильдовское, но координаты будут иметь нескольку другой смысл?

Я не понимаю, какой "другой смысл". Вы можете абсолютно точно сформулировать, с демонстрацией примеров?

Я бы даже предложил schekn объяснить смысл его тезиса на более конкретном примере: Вот мы имеем формулу метрики «по виду как Шварцшильдовская», но вместо переменных $t$, $r$, $\theta$ и $\varphi$ мы там видим переменные $\xi$, $\eta$, $\mu$ и $\nu$. Какой-такой «другой смысл» они приобрели?

[Munin]

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Вообще-то мы рассматриваем неподвижный одинокий шар.

А как вы выражаете на математическом языке, что вы рассматриваете неподвижный одинокий шар? В этом всё дело! И кстати, как задаёте точное положение этого шара в начале координат, а не где-нибудь рядом?

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Вот здесь мне тоже не очень понятно. С одной стороны ОТО отрицает плоское пространство-время. С другой стороны для решения как бы привязывается к нему , определяя поведение компонент метрики на бесконечности. Но переход этот зависит о вида метрики. То есть координата r немного по другому "ведет себя" на удалении от шара для разных метрик. Это сбивает с толку.

ОТО отрицает плоское пространство-время, но не совсем. Плоское пространство-время остаётся одним из решений уравнений ОТО, совершенно законным, когда у нас вакуум и нет источников гравитации. Разумеется, даже в этом случае в ОТО возможны разные решения, разной глобальной топологии, как когда мы берём локально плоский лист бумаги, и сворачиваем из него цилиндр или ленту Мёбиуса.

Дальше делается наблюдение, выходящее за рамки ОТО. Почему-то мы живём во Вселенной, не закрученной чёрт знает как, а довольно плоской и подходящей приближённо под описание пространством Минковского, без гравитационного поля. И делаем вывод, что многие решения ОТО могут вести себя как приближённо плоские на бесконечности. Хотя, если строго подходить (ЛЛ-2 этим не занимается), оказывается, что там не всё так просто. Для решения с конечной гравитирующей массой в ограниченной области, на бесконечности можно сделать так, чтобы метрика стремилась к плоской, но нельзя сделать так, чтобы система координат в целом стремилась к некоторой плоской системе координат, например, декартовой или сферической. Это рассмотрено подробнее в МТУ.

Далее, в

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Но переход этот зависит о вида метрики. То есть координата r немного по другому "ведет себя" на удалении от шара для разных метрик. Это сбивает с толку.

вы опять совершаете ошибку, ставя телегу впереди лошади: координаты впереди реальной геометрической формы пространства-времени. Поймите, есть разные вещи: метрика, и формула для метрики, записанная в конкретных координатах. Формула может меняться, если меняются координаты, но при этом оставлять саму метрику той же самой. Можно ввести координаты а-ля декартовы, и там вообще не будет координаты $r.$

Поэтому переформулируйте для себя это всё в терминах понятий, от координат не зависящих. Что мы можем сделать без координат? Измерить длину линии в пространстве. Вот об этом и говорите: если удаляться от шара на большие расстояния, происходит переход метрики, метрического тензора, в плоскую. Пространство-время выравнивается, становится менее искривлённым. Теперь ваше недоумение должно рассеяться само по себе: понятно, что этот факт можно выразить в разных координатах, и он будет выглядеть по-разному, с разными конкретными функциями компонент метрики от координат точки. Но несмотря на эти различия, по сути ничего не изменится.

[photon]

schekn, будьте внимательны в оформлении цитат (несколько я исправил, в частности в этом сообщении все цитаты были оформлены как цитаты Вас). Цитата приписывается не тому сообщению, в котором Вы выделили текст, а тому, под которым Вы нажимаете кнопку .
И оформляйте все без исключения формулы и даже отдельные переменные с использованием нотации $\TeX$

[schekn]

Someone в сообщении #616542 писал(а):

Я не понимаю, какой "другой смысл". Вы можете абсолютно точно сформулировать, с демонстрацией примеров?

Хорошо, вот простая задача.
Найти расстояние между точками 1 и 2 , расположенными на одном радиусе в нашем случае для одинокого неподвижного шара. Например, чтобы расчитать какая нужна длина кабеля, чтобы соединить 2 точки.
По-видимому можно воспользоваться уравнением (100.16) из ЛЛ-2. Так?

$$L= \int_{r1}^{r2} \frac 1 {\sqrt{1-\frac {rg} r}}dr$$

Но используя другое выражение метрики, например Изотропной или гармоническое, подынтегральное выражение будем уже другим, а значит, чтобы не было противоречий, у нас изменятся координаты r1 и r2.
Таким образом координаты объектов 1 и 2 привязаны к конкретному виду метрики, иначе я не смогу решить задачу. Если у нас координаты объектов заданы "свыше" или в результате дополнительных измерений, я эти измерения должен согласовать опять же с каким-то определенным видом метрики.
Если уйти от абстрактной задачи к астрономической, то беря гелиоцентрические координаты Земли или Марса, я должен каждый раз задавать вопрос, какие данные приведены в справочниках и с какой метрикой отождествить эти справочные координаты, иначе я получу разные результаты.
Конечно в большинстве случаев эти различия очень малы, но при расчетах более тонких они скажутся.
Если в таблицах даны координаты Земли и Марса относительно системы "неподвижных" звезд, то скорее всего это ньютоновские коррдинаты. А значит я бы воспользовался метрикой (1) - изотропной, просто потому, что координата $\rho$ ближе к ньютоновскому радиусу-вектору r, входящего в выражение (106.3)

-- 11.09.2012, 11:18 --

Munin в сообщении #616650 писал(а):

вы опять совершаете ошибку, ставя телегу впереди лошади: координаты впереди реальной геометрической формы пространства-времени. Поймите, есть разные вещи: метрика, и формула для метрики, записанная в конкретных координатах. Формула может меняться, если меняются координаты, но при этом оставлять саму метрику той же самой. Можно ввести координаты а-ля декартовы, и там вообще не будет координаты Поэтому переформулируйте для себя это всё в терминах понятий, от координат не зависящих. Что мы можем сделать без координат? Измерить длину линии в пространстве. Вот об этом и говорите: если удаляться от шара на большие расстояния, происходит переход метрики, метрического тензора, в плоскую. Пространство-время выравнивается, становится менее искривлённым. Теперь ваше недоумение должно рассеяться само по себе: понятно, что этот факт можно выразить в разных координатах, и он будет выглядеть по-разному, с разными конкретными функциями компонент метрики от координат точки. Но несмотря на эти различия, по сути ничего не изменится.

То, что Вы пишете понятно, но когда начинаешь решать какие-то простые задачи, сталкиваешься с рядом трудностей, о которых я написал чуть выше.

-- 11.09.2012, 11:30 --

Someone в сообщении #616542 писал(а):

По-моему, там другое выражение. Отличающееся от (100.18) только заменой буковки r на $\rho$.

Да, это так. Получается, что при большом удалении от центра шара, у нас добавочные члены, отвечающие за гравитацию почти исчезают и в той и другой метрике, и если ими пренебречь, то остается плоская метрика, записанная в разных координатах.

-- 11.09.2012, 11:35 --

epros в сообщении #616559 писал(а):

Someone в сообщении #616542 писал(а):

schekn в сообщении #616526 писал(а):

Но может ли быть случай , когда то решение, которое Вы отсеяли получается по виду как Шварцшильдовское, но координаты будут иметь нескольку другой смысл?

Я не понимаю, какой "другой смысл". Вы можете абсолютно точно сформулировать, с демонстрацией примеров?

Я бы даже предложил schekn объяснить смысл его тезиса на более конкретном примере: Вот мы имеем формулу метрики «по виду как Шварцшильдовская», но вместо переменных $t$, $r$, $\theta$ и $\varphi$ мы там видим переменные $\xi$, $\eta$, $\mu$ и $\nu$. Какой-такой «другой смысл» они приобрели?

Прежде чем ответить на этот вопрос, хотел бы узнать следующее: могу ли я на одном и том же элементарном многообразии задать в одних и тех же точках , с одними и теми же координатами два разных метрических тензора g(x) и g`(x), если они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям?

[epros]

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Таким образом координаты объектов 1 и 2 привязаны к конкретному виду метрики, иначе я не смогу решить задачу.

Ну да, радиальная координата привязана к конкретному виду метрики. А именно, она выбрана таким образом, чтобы площадь сферы выражалась формулой $S = 4 \pi r^2$. В чём проблема?

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Прежде чем ответить на этот вопрос, хотел бы узнать следующее: могу ли я на одном и том же элементарном многообразии задать в одних и тех же точках , с одними и теми же координатами два разных метрических тензора g(x) и g`(x), если они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям?

А про условия сферической симметричности и пустоты континуума мы забыли?

[schekn]

epros в сообщении #617351 писал(а):

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Таким образом координаты объектов 1 и 2 привязаны к конкретному виду метрики, иначе я не смогу решить задачу.

Ну да, радиальная координата привязана к конкретному виду метрики. А именно, она выбрана таким образом, чтобы площадь сферы выражалась формулой $S = 4 \pi r^2$. В чём проблема?

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Прежде чем ответить на этот вопрос, хотел бы узнать следующее: могу ли я на одном и том же элементарном многообразии задать в одних и тех же точках , с одними и теми же координатами два разных метрических тензора g(x) и g`(x), если они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям?

А про условия сферической симметричности и пустоты континуума мы забыли?

По первому вопросу - тогда мне нужно знать площадь сферы. То есть провести какие-то дополнительные измерения. При чем не всегда я это могу сделать.

По второму - Нет, я не забыл про сферичность, я пока ставлю вопрос не привязываясь к симметрии задачи ( у нас может быть и эллипсоид) и тем не менее могу ли я задать две метрики gik(x) и g`ik(x) в тех же точках для общего случая (?), а потом перейду конкретно к постому пространству вне статического шара.

[epros]

schekn в сообщении #617368 писал(а):

По первому вопросу - тогда мне нужно знать площадь сферы. То есть провести какие-то дополнительные измерения. При чем не всегда я это могу сделать.

Разумеется, если мы хотим определить координату не абы как, а конкретным образом, то надо что-нибудь измерить. Вот, есть такое условие на площадь сферы. Не можете измерить площадь сферы, измерьте длину большой окружности, коя должна быть равна $2 \pi r$. Какие проблемы?

schekn в сообщении #617368 писал(а):

По второму - Нет, я не забыл про сферичность, я пока ставлю вопрос не привязываясь к симметрии задачи

Ну, раз нет сферической симметрии, то могут быть другие решения.

[Munin]

schekn в сообщении #617328 писал(а):

То, что Вы пишете понятно, но когда начинаешь решать какие-то простые задачи, сталкиваешься с рядом трудностей, о которых я написал чуть выше.

Угу. Для этого:
1) надо больше практиковаться. Желательно читать учебник с ручкой в руках, и повторять за авторами все выкладки. Делать задачи и упражнения.
2) можно почитать более прозрачный и понятный учебник. Я уже называл: МТУ, Вайнберг.

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Таким образом координаты объектов 1 и 2 привязаны к конкретному виду метрики, иначе я не смогу решить задачу.

Координаты - да. А сами объекты - нет. Вам всего лишь нужно узнать, как изменяются координаты объекта, если взять другую систему координат! Это называется преобразованиями координат, и они там все указаны, для шварцшильдовских, изотропных, гармонических. В чём проблема?

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Если в таблицах даны координаты Земли и Марса относительно системы "неподвижных" звезд, то скорее всего это ньютоновские коррдинаты. А значит я бы воспользовался метрикой (1) - изотропной

Неправильно. Вы должны пользоваться метрикой ньютоновского приближения. Оно описано в ЛЛ-2 § 99, и подробнее в МТУ.

А вообще, различия между метриками для Земли и Марса намного меньше погрешности измерения расстояний.

schekn в сообщении #617328 писал(а):

Прежде чем ответить на этот вопрос, хотел бы узнать следующее: могу ли я на одном и том же элементарном многообразии задать в одних и тех же точках , с одними и теми же координатами два разных метрических тензора g(x) и g`(x), если они удовлетворяют уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям?

Метрический тензор однозначно определяется многообразием и координатами на нём. Остальные условия не нужны.

Если у вас две совпадающие сетки координат (хотя бы в какой-то области), то всегда будет $g^{\mu\nu}(x)=g^{\mu`\nu`}(x).$ А если у вас сетки координат разные, и только случайно у одной точки координаты по одной сетке совпадают с координатами по другой сетке, то координатные компоненты $g^{\mu\nu}(x)$ и $g^{\mu`\nu`}(x)$ будут разными.

(Примечание по обозначениям индексов. В ЛЛ-2 (написанном в 1948) принято, что латинские буквы пробегают значения $0,1,2,3,$ а греческие $1,2,3.$ Сегодня во всех учебниках, лекциях, работах, вообще везде, принято противоположное соглашение: греческие буквы 4-мерны, а латинские 3-мерны. Это стандарт де-факто. Поэтому при цитировании любых формул из ЛЛ-2, надо совершать "перевод" туда и обратно, впрочем, элементарный.)

[schekn]

epros в сообщении #617395 писал(а):

Разумеется, если мы хотим определить координату не абы как, а конкретным образом, то надо что-нибудь измерить. Вот, есть такое условие на площадь сферы. Не можете измерить площадь сферы, измерьте длину большой окружности, коя должна быть равна . Какие проблемы?

По ходу возник вопрос : Вас не смущает, что в этом выражении $L=2r\pi$
r - немая координата в метрики , а L - уже физическая длина?
Если я определился с формой метрики в каких-то координатах , это еще не значит, что я могу решить какую-то задачу, мне нужно знать координаты объектов именно для данной конкретной формы метрики. А потом всегда ли я могу определить длину окружности? Если скажем объекты не совершают орбитальное движение? Если координаты, скажем планет, я определил исходя из классических представлений, то подставляя в разные уравнения, основанные на метриках, записанных в разных координатах, я получу разные физические результаты, что неправильно.

-- 12.09.2012, 10:18 --

Munin в сообщении #616650 писал(а):

Для решения с конечной гравитирующей массой в ограниченной области, на бесконечности можно сделать так, чтобы метрика стремилась к плоской, но нельзя сделать так, чтобы система координат в целом стремилась к некоторой плоской системе координат, например, декартовой или сферической. Это рассмотрено подробнее в МТУ.

А в какой главе МТУ?

-- 12.09.2012, 10:21 --

Munin в сообщении #617494 писал(а):

Координаты - да. А сами объекты - нет. Вам всего лишь нужно узнать, как изменяются координаты объекта, если взять другую систему координат! Это называется преобразованиями координат, и они там все указаны, для шварцшильдовских, изотропных, гармонических. В чём проблема?

Если я начинаю с чистого листа я вообще не знаю координатх объектов никакие. Если я заглядываю в справочник, то в лучшем случае я вижу координаты объектов (планет ) для классических измерений, относительно некой выделенной системы отсчета.

[KVV]

(schekn)

Вы случайно в этом обсуждении не участвовали?

[schekn]

KVV в сообщении #617802 писал(а):

(schekn)

Вы случайно в этом обсуждении не участвовали?

(Оффтоп)

У меня остались непонятные моменты, поэтому я задаю вопросы квалифицированным специалистам

[Someone]

schekn в сообщении #617799 писал(а):

Вас не смущает, что в этом выражении $L=2r\pi$
r - немая координата в метрики , а L - уже физическая длина?

А что здесь может "смущать"? Шварцшильдовская радиальная координата именно так и определяется, чтобы длина окружности выражалась через "радиус" привычной формулой.

schekn в сообщении #617799 писал(а):

Если я начинаю с чистого листа я вообще не знаю координатх объектов никакие.

Извините, но тогда Вы задачу и поставить не можете. На пустом месте никаких задач не бывает. Координаты известны либо из измерений, если задача практическая, либо просто задаются так, как хочется автору задачи, если задача теоретическая.

schekn в сообщении #617799 писал(а):

Если координаты, скажем планет, я определил исходя из классических представлений, то подставляя в разные уравнения, основанные на метриках, записанных в разных координатах, я получу разные физические результаты, что неправильно.

Разумеется. Поэтому не надо подставлять результаты измерений куда попало. Надо сначала разобраться, как эти измерения связаны с координатами, которые Вы используете.

schekn в сообщении #617368 писал(а):

По второму - Нет, я не забыл про сферичность, я пока ставлю вопрос не привязываясь к симметрии задачи ( у нас может быть и эллипсоид) и тем не менее могу ли я задать две метрики gik(x) и g`ik(x) в тех же точках для общего случая (?), а потом перейду конкретно к постому пространству вне статического шара.

Я не понимаю постановки задачи. Если речь идёт о модели какой-то физической ситуации, то метрика вполне определяется распределением материи и уравнениями, поэтому речь может идти только о разном выборе координат. Если рассматривается абстрактная математическая задача, то есть, имеется (достаточно) гладкое многообразие, то псевдориманова метрика - это дополнительная структура на нём, и (в определённых пределах) её можно задавать как угодно.

[epros]

schekn в сообщении #617799 писал(а):

По ходу возник вопрос : Вас не смущает, что в этом выражении $L=2r\pi$
r - немая координата в метрики , а L - уже физическая длина?

Почему это должно смущать? Длина - это реальная величина, изменяемая реальными линейками. А r - выбирается в соответствие с ней.

schekn в сообщении #617799 писал(а):

Если я определился с формой метрики в каких-то координатах , это еще не значит, что я могу решить какую-то задачу, мне нужно знать координаты объектов именно для данной конкретной формы метрики.

Ну так узнайте, в чём проблема? Смысл координаты определён метрикой, вот в соответствии с этим определением и находИте значение координаты.

schekn в сообщении #617799 писал(а):

А потом всегда ли я могу определить длину окружности? Если скажем объекты не совершают орбитальное движение?

А какие проблемы? Если прямой способ — проложить вдоль всей окружности линейки — Вам недоступен, есть масса косвенных способов.

schekn в сообщении #617799 писал(а):

Если координаты, скажем планет, я определил исходя из классических представлений, то подставляя в разные уравнения, основанные на метриках, записанных в разных координатах, я получу разные физические результаты, что неправильно.

Строго говоря, это не так: если применять уравнения правильно, то физические результаты от координат зависеть не должны. Например, ускорение свободного падения будет выражаться градиентом скалярного потенциала независимо от выбора координат. И поток ускорения свободного падения через заданную замкнутую поверхность не будет зависеть от координат. И т.д. А что может зависеть от выбора координат?

[schekn]

Munin в сообщении #617494 писал(а):

Если у вас две совпадающие сетки координат (хотя бы в какой-то области), то всегда будет А если у вас сетки координат разные, и только случайно у одной точки координаты по одной сетке совпадают с координатами по другой сетке, то координатные компоненты и будут разными.

Не противоречит ли это тому, что написано у Рашевского в пар. 121?


Он рассматривает совсем другую задачу - конформного отображения римановых пространств и берет абстрактное многообразие. Но я могу ведь также рассматривать две метрики в тех же координатах уже для нашего конкретного случая?
После этого я смогу ответить на ВАш вопрос и привести пример , где метрики будут совпадать по виду, но смысл координат будет другим.


-- 12.09.2012, 14:52 --

Someone в сообщении #617832 писал(а):

Почему это должно смущать? Длина - это реальная величина, изменяемая реальными линейками. А r - выбирается в соответствие с ней.

Да, это я не подумал.

-- 12.09.2012, 14:54 --

epros в сообщении #617841 писал(а):

А какие проблемы? Если прямой способ — проложить вдоль всей окружности линейки — Вам недоступен, есть масса косвенных способов.

В астрофизике этот способ вызовет проблемы.

-- 12.09.2012, 15:45 --

Someone в сообщении #617832 писал(а):

Если речь идёт о модели какой-то физической ситуации, то метрика вполне определяется распределением материи и уравнениями, поэтому речь может идти только о разном выборе координат.

Забыл Вам ответить на вопрос о теореме Биргкофа . Вот здесь я залил статью в ДАН 1992,
http://files.mail.ru/L6EYYD
Там утверждается, что теорема поставлена и решена не совсем точно. Поэтому я и сказал, что поскольку области определения координат r для разных шаров в пустоте разное (r>a1, r>a2) , то это разные модели мира. (к сожалению не знаю как присоединить файл, поэтому залил на файлобменник).