Вопросы к получению формулы Шварцшильда по ЛЛ-2

[schekn]

Хотелось бы еще раз проанализировать получение известной метрики Шварцшильда для сферически симметричного статического одинокого тела по книге Лундау-Лифшиц т.2 параграф 100, поскольку накопилось много вопросов. Практически похожий вывод приводится в других учебниках, например Владимирова, Рашевского, Зельманова и др. Буду счастлив, если мне разъяснят вопросы, выделенные жирным. Вопросов много, поэтому буду задавать их не сразу.
Всё решение приводить не имеет смысла, оно хорошо известно. В самом общем виде выбирается выражение для метрики (100.1).

1.

Как известно уравнения Гильберта –Эйнштейна в пустоте Rij=0 неполны поэтому требуются дополнительные условия. Согласно Ланду-Лифшицу такие условия выбираются следующие:

1) Постулируется, что на бесконечности метрика должна перейти в метрику плоского пространства (Минковского в сферических координатах).
2) Выбираются координаты так, что исчезает перекрестный члены drdt ,
3) компонента при угловой части промежуточного уравнения k(r,t) полагается равной $-r^2.$ (почему бы не взять например k(r,t)=$ -(r(1+O(r))^2$ где O(r) – неизвестная функция стремящаяся на бесконечности к нулю? В учебнике Ландау-Лифшица 1948 года сначала выписывалось выражение, где k(r,t)= -exp (μ), а затем в конце полагается также $-r^2.$ ).
4). На большом удалении от тела потенциал должен соответствовать ньютоновскому.

Исходя из 1), 2), 3) ЛЛ Получают промежуточное выражение:

$ds^2=\exp\nu dt^2- \exp\lambda dr^2- r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2) (А)$
Условия 2) и 3) координатные и не имеют физического смысла и продиктованы удобством или более компактной записью окончательного решения.
Условия 1) и 4) имеют физический смысл, но они весьма слабые, поскольку не оговаривается, каким образом метрические компоненты должны переходить в пространство Минковского, и неизвестно, КАК потенциал должен переходить в ньютоновский. Например, обычно принимается φ= -GM/r`(я специально написал r` со штрихом).
Но непонятно: у ЛЛ-2 принимается, что шварцшильдовский значок r совпадает со значком r` в ньютоновском потенциале вдали от шара (это физическое расстояние в евклидовом пространстве). А вот например, Фок, решая ту же задачу в гармонических координатах, имеет в виду под расстоянием r` у ньютоновского потенциала на больших расстояниях именно гармоническую координату r. А от этого зависит вид компоненты$ g_0_0$ и определение константы Const в (100.12) и постньютоновское приближение.
Дифур из учебника (100.9) решается :

$1/g_1_1= g_0_0=1+Cost/r (100.12)$
И никаких дополнительных членов. В этом случае, сравнивая с ньютоновским выражением придется принять r`=r. А это значит, они предполагают, что для ньютона выражение $g_0_0=1+2\varphi/c^2 $точное и не содержит других членов. Но это не так. Это выражение берется из параграфа 87 . Там, пренебрегая членами v/c, у меня получилось:

$ g_0_0=~1+2\varphi/c^2+ \varphi^2/c^4 $ (С)
Как видно несколько другое чем (100.12) . То есть фактически из выражения :

lim(1+C/r) = lim(1-(2MG)/(с^2r`)+(MG)^2/(с^4r`^2)) при r →+infty. (D)

Делается заключение, что r`=r и что С=-2MG. Насколько это правомерно? Здесь у ЛЛ-2 нет четкого разъяснения.

А это значит, если рассматривать следующее приближение, нельзя брать шварцшильдовскую координату r . Будет ли при учете третьего члена в выражении (С) $\varphi^2/c^4$ выполняться постньютоновское приближение в следующем порядке, если используется метрика Шварцшильда в стандартных координатах?

В окончательном виде в учебниках получают известную всем метрику Шварцшильда и считается, что с помощью неё хорошо описываются эксперименты в солнечной системе:

$ds^2=(1-rg/r)dt^2- dr^2/(1-rg/r)- r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2) , rg=2MG (c=1) (100.14)$
Для того, чтобы найти это решение потребовалось 2 координатных условия. Какое выражение получилось бы, если бы ЛЛ решали бы задачу в общем виде, как в 1948?

$ds^2=\exp\nu dt^2- \exp\lambda dr^2- \exp\mu(d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2) (А)$

Таким образом, есть следующие сомнения:
Сомнение 1. Шварцшильдовская метрика описывает поле статического сф. сим. поля хорошо лишь на больших расстояниях (или при радиусе тела много больше rg), а вблизи массивного тела, особенно в случае радиуса близкого к rg, очень приближенно, а возможно неудовлетворительно. Значит, все эффекты в солнечной системе, возможно, не будут удовлетворительно описываться Шварцшильдом, если повысить точность измерения на порядок.
Сомнение 2. Возможно существует целый класс метрик, удовлетворяющих уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям, имеющие не только разные тензоры кривизны, но и разные инварианты кривизны и физические сингулярности.
Сомнение 3. Будет ли выполнятся постньютоновское приближение в шварцшильдовском метрике?

(5 раз пытался набить выражение D но ничего не получилось)

[EvilPhysicist]

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Шварцшильдовская метрика описывает поле статического сф. сим. поля хорошо лишь на больших расстояниях (или при радиусе тела много больше rg), а вблизи массивного тела, особенно в случае радиуса близкого к rg, очень приближенно, а возможно неудовлетворительно.

Я так понимаю, это сомнение возникло из-за того, что

schekn в сообщении #616044 писал(а):

k(r,t)=$ -(r(1+O(r))^2$ где O(r) – неизвестная функция стремящаяся на бесконечности к нулю?

По моему, это условие легко изменить так, чтобы было более понятно.

Для начала, не трудно показать, что если мы берём $\mathbb R^3$, задаём на нём метрику $h_{ik}$ обыкновенных декартовых координат и требуем её сферической симметричности, то она диагональна. Соответсвенно, при переходе в сферические координаты, она тоже будет диагональна. Значит и метрика пространства-времени будет иметь вид $\begin{pmatrix} g_{00} & g_{01} &g_{02} &g_{03}\\ g_{10} & g_{11} & 0 &0 \\g_{21} & 0 & g_{22} & 0 \\ g_{31} &0 &0&g_{33} \end{pmatrix} $.

Более того, понятно, что для сохранения сфферической симметрии все компоненты метрики должны зависеть разве что от $r$, но не от углов.

Задав все эти условия вы получаете в точности метрику (100.1)

Дальше, в принципе, вам никто не запрещает решать уравнения Эйнштенйа для метрики (100.1), но чтобы это было по проще, вы можете требовать, чтобы $a=0$, что можно сделать выбором хороших координат и $k=-r^2$.

Последнее берётся из следующих соображений: член $d \theta^2 +sin^2 \theta d \varphi $, грубо говоря, отвечает за телесный угол. То есть, если мы перед ним впишем член зависящий от времени, то сидя на одном месте и смотря на очень удалённый объект, мы будем видеть, что его размеры меняются, что не хорошо, потому что на уладении метрика должны становиться плоской. Если же заставить его зависеть от рассстояния иначе как $-r^2$, то это приведёт к аналогичным странностям.

Собственно по этому мы и оставляем метрику в виде $ds^2 = e^{\nu} dt^2 - e^\mu dr^2 - r^2 (d \theta^2 - \sin^2 \theta d\varphi) $

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Возможно существует целый класс метрик, удовлетворяющих уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям, имеющие не только разные тензоры кривизны, но и разные инварианты кривизны и физические сингулярности.

Да, а что вас смущает?

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Будет ли выполнятся постньютоновское приближение в шварцшильдовском метрике?

Оно вроде везде выполняется.

[epros]

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 1. Шварцшильдовская метрика описывает поле статического сф. сим. поля хорошо лишь на больших расстояниях (или при радиусе тела много больше rg), а вблизи массивного тела, особенно в случае радиуса близкого к rg, очень приближенно, а возможно неудовлетворительно. Значит, все эффекты в солнечной системе, возможно, не будут удовлетворительно описываться Шварцшильдом, если повысить точность измерения на порядок.

Шварцшильдовская метрика точная ровно настолько, насколько точна сама ОТО. Ибо она точно удовлетворяет уравнениям Эйнштейна, что проверяется подстановкой.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 2. Возможно существует целый класс метрик, удовлетворяющих уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям, имеющие не только разные тензоры кривизны, но и разные инварианты кривизны и физические сингулярности.

Нет, различия возможны только в выборе координатной сетки и в параметре M. Всё определяется: 1) сферической симметрией, 2) пустотой континуума, 3) галилеевостью на бесконечности.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 3. Будет ли выполнятся постньютоновское приближение в шварцшильдовском метрике?

Вопрос в том, что именно Вы хотите от постньютоновского приближения. Для статических координат потенциал можно выразить точно формулой

$\varphi = \frac{c^2}{2} \ln{g_{0 0}}$

А компоненту ускорения свободного падения — производной потенциала по расстоянию в соответствующем направлении. Вот и всё приближение. Оно будет работать не только в Шварцшильдовской, но в любой статический метрике.

[Someone]

schekn в сообщении #616044 писал(а):

компонента при угловой части промежуточного уравнения k(r,t) полагается равной $-r^2.$ (почему бы не взять например k(r,t)=$ -(r(1+O(r))^2$

Одно от другого отличается просто заменой радиальной переменной $r'=r(1+O(r))$, допускаемой симметрией метрики. То есть, от одного вида можно перейти к другому, просто сделав замену переменной. Её можно сделать на этом этапе, или на этапе решения уравнений, или после нахождения решения.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Какое выражение получилось бы, если бы ЛЛ решали бы задачу в общем виде, как в 1948?

Получилось бы решение, содержащее одну произвольную функцию, от которой можно было бы избавиться заменой радиальной координаты.

Вообще, есть теорема Биркгофа, которая утверждает, что существует только одно сферически симметричное вакуумное пространство-время. Именно то, которое называется решением Шварцшильда. Его можно записывать во всяких разных системах координат: шварцшильдовских, гармонических, изотропных и множестве других. Выглядеть оно в разных координатах будет по-разному, но все они преобразуются друг в друга заменами координат.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 1. Шварцшильдовская метрика описывает поле статического сф. сим. поля хорошо лишь на больших расстояниях (или при радиусе тела много больше rg), а вблизи массивного тела, особенно в случае радиуса близкого к rg, очень приближенно, а возможно неудовлетворительно. Значит, все эффекты в солнечной системе, возможно, не будут удовлетворительно описываться Шварцшильдом, если повысить точность измерения на порядок.

Что будет, если точность измерений повысить на порядок, естественно, никто не знает. Пока решение Шварцшильда очень хорошо описывает все гравитационные эффекты, которые удаётся измерить в Солнечной системе. Если с повышением точности измерений окажется, что решение Шварцшильда плохо описывает эти эффекты, придётся вместо ОТО искать другую теорию.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Там, пренебрегая членами v/c, у меня получилось:

$ g_0_0=~1+2\varphi/c^2+ \varphi^2/c^4 $

Последний член имеет более высокий порядок малости и может быть отброшен.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 2. Возможно существует целый класс метрик, удовлетворяющих уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям, имеющие не только разные тензоры кривизны, но и разные инварианты кривизны и физические сингулярности.

Если речь идёт о сферически симметричных решениях в вакууме, то теорема Биркгофа утверждает, что таких неизвестных семейств метрик нет.

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 3. Будет ли выполнятся постньютоновское приближение в шварцшильдовском метрике?

Какие основания для такого сомнения? Естественно, выполняется.

[schekn]

epros в сообщении #616123 писал(а):

Вопрос в том, что именно Вы хотите от постньютоновского приближения. Для статических координат потенциал можно выразить точно формулойА компоненту ускорения свободного падения — производной потенциала по расстоянию в соответствующем направлении. Вот и всё приближение. Оно будет работать не только в Шварцшильдовской, но в любой статический метрике.

Честно говоря , не очень понял откуда взялась эта формула, не встречал в литературе.

Someone в сообщении #616124 писал(а):

Получилось бы решение, содержащее одну произвольную функцию, от которой можно было бы избавиться заменой радиальной координаты.Вообще, есть теорема Биркгофа, которая утверждает, что существует только одно сферически симметричное вакуумное пространство-время. Именно то, которое называется решением Шварцшильда. Его можно записывать во всяких разных системах координат: шварцшильдовских, гармонических, изотропных и множестве других. Выглядеть оно в разных координатах будет по-разному, но все они преобразуются друг в друга заменами координат.

Вроде Вы говорите то, что везде написано, но я не смог найти статью 29 года с теоремой Биргкоффа. То как она излагается в некоторых источниках (например у Толмена) меня не очень удовлетворяет, к тому же я видел несколько другие интерпретации этой теоремы.

-- 08.09.2012, 14:50 --

Someone в писал(а):

schekn в сообщении #616044 писал(а):Там, пренебрегая членами v/c, у меня получилось:

Цитата:

Последний член имеет более высокий порядок малости и может быть отброшен.

А если не отбрасывать?

-- 08.09.2012, 15:38 --

epros в сообщении #616123 писал(а):

Нет, различия возможны только в выборе координатной сетки и в параметре M. Всё определяется: 1) сферической симметрией, 2) пустотой континуума, 3) галилеевостью на бесконечности.

Собственно, почему возникает сомнение 2.

Если Мы получили какую-то одну метрику в нашем решении и если тем более это решение единственое, то в силу ковариантности уравнений Г-Э. любое преобразование координат не приводит к новой метрики, которая вела бы к другим физическим результатам. Это вроде понятно.
Но если предположим существует какое-либо независимое решение Rij=0 (Особенно если оно имеет в тех же физических точках другие значения инварианты кривизны) , на том же многообразии, то может возникнуть ситуация, когда мы допустимыми преобразованиями координат добиваемся тот же самый функциональный вид , как и у стандартного Шварцшильдовского решения. Но координаты r,t , угловые координаты будут иметь другой смысл.
Попробую привести примеры.
Уранения Rij=0 можно решать не так , как в учебниках, а просто попытаться догадаться вид метрики, а затем подставляя в Rij=0 проверить тождество. (То есть "от балды".)
Скажем , если в уравненях Гильберта-Эйнштена заменить две любые координаты местами, то тождество будет выполняться. Попробуем у Шварцшильда в стандартной форме поменять местами любые две координаты местами.

1. Замена углов $\theta$ и \varphi$ Не приводит к каким -то физическим изменениям , поскольку функциональный вид метрики не меняется.
2. Замена угла $\varphi $ на $\varphi0$ , то есть на постоянную величину тоже вроде в силу симметрии не должно как -то изменить описание мира, для наблюдателя, пользующегося первой метрикой и второй. Если статический шар одинокий, то два наблюдателя вообще не заметят поворот шара на угол фи. А вот если над ними есть небосвод - "неподвижные звезды", то у первого и у второго над головой будут разные звезды. Хотя по всем другим измерениям они отличия не заметят.
3. Замена местами угла $\varphi$ и $r$ даст бессмысленную метрику, которую можно откинуть в силу граничных условий
4. Замена r и сt, вообще говоря тоже бессмысленна, хотя некоторые теоретики считают такую метрику правомерной внутри горизонта событий.
5. Наконец, во внешнее решение не входит радиус шара, а только общая масса.
Поэтому некоторые результаты для внешнего решение при радиусе а1 будет несколько
другие, чем при радиусе а2.

[epros]

schekn в сообщении #616168 писал(а):

Честно говоря , не очень понял откуда взялась эта формула, не встречал в литературе.

Получена интегрированием ускорения свободного падения по расстоянию вдоль линии, проведённой в трёхмерии. Поскольку для статической метрики можно доказать независимость этого интеграла от пути, получается такая формула для скалярного потенциала.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

может возникнуть ситуация, когда мы допустимыми преобразованиями координат добиваемся тот же самый функциональный вид , как и у стандартного Шварцшильдовского решения. Но координаты r,t , угловые координаты будут иметь другой смысл

Непонятные какие-то вещи Вы говорите. $\varphi$ отличается от $r$ именно тем, что стоит в соответствующем месте формулы метрики Шварцшильда, а вовсе не тем, какая буква выбрана для её обозначения.

[schekn]

Someone в сообщении #616124 писал(а):

Какие основания для такого сомнения? Естественно, выполняется.

Сомнения 3 возникают из следующего анализа.
В ЛЛ-2 приводится приближенное выражение на больших расстояниях для стандартной метрики Шварцшильда (100.18):

$ds^2=ds^2_0 - \frac{2km} {c^2r}(dr^2+c^2dt^2)$ (100.18)

То есть можно пользуясь этим выражениям расчитывать эффекты гравитации в слабом поле.

Далее в задаче на стр. 409 дается выражение для метрики на больших расстояниях в изотропной форме :

$ds^2=ds`^2_0 - \frac{2km} {c^2\rho}(d\rho^2+c^2dt^2+\rho^2d\Omega^2)$=$ds`^2_0 -\frac{2km} {c^2\rho}(dx^2+dy^2+dz^2)$ (1)

Я поставил у "штрих" у галилеевой части $ds`^2_0$ во второй метрики, иначе мы не сможем перевести координатными преобразованиями первый во второй в случае , если бы они были абсолютно одинаковые.
Уже видно , что в выражении (100.18) нет во втором слагаемом угловой части.

Далее в параграфе 106 дается выражение для метрики в случае постньютона (106.3) :
$ds^2 = (1+2\frac{\varphi}{c^2})c^2dt^2 - (1-\frac{2\varphi} {c^2})(dx^2+dy^2+dz^2)$ (106.3)

Здесь В потенциал фи входит уже физический радиус-вектор r, в отличие от координаты r , входящей метрику Шварцщильда или изотропную.
Однако видно, что функциональный вид изотропной метрики (1) "ближе" к постньютону (106.3), чем шварцшильдовская в стандартных координатах. Аналогичный функциональный вид как и у изтропного - у гармонического вида в том же приближении (в первом порядке разложении по GM ). Возможно поэтому Фок и писал, что его гармоническая r "ближе" к Ньютоновской r . То есть в "среднесильных полях" возможно лучше пользоваться именно
гармононической метрикой или изотропной?

Поэтому такие сомнения и возникают.

-- 08.09.2012, 17:01 --

epros в сообщении #616193 писал(а):

Непонятные какие-то вещи Вы говорите. отличается от именно тем, что стоит в соответствующем месте формулы метрики Шварцшильда, а вовсе не тем, какая буква выбрана для её обозначения.

А замена t и r Вас не смущает? Это я делаю чисто формально, пока без всякой физики.
В общем случае, если нет сфер. симметрии Rij(x0,x1,x2,x3) =0 заменяя две координаты местами мы не меняем функциональный вид уравнений, значит и в каком-то решении этих уравнений такая замена правомерна формально, и мы получаем множество бессмысленных решений, которые необходимо отбрасывать исходя из симметрии задачи и граничных условий.

[Someone]

schekn в сообщении #616168 писал(а):

я не смог найти статью 29 года с теоремой Биргкоффа

А зачем Вам оригинальная статья Биркгофа? Наверняка там доказательство сложнее, чем в учебнике, а Вы в простых вещах путаетесь.

Мне вообще Ваше сообщение кажется дикостью.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

Но если предположим существует какое-либо независимое решение Rij=0 (Особенно если оно имеет в тех же физических точках другие значения инварианты кривизны) , на том же многообразии, то может возникнуть ситуация, когда мы допустимыми преобразованиями координат добиваемся тот же самый функциональный вид , как и у стандартного Шварцшильдовского решения. Но координаты r,t , угловые координаты будут иметь другой смысл.

Насчёт другого смысла координат я не понял. Вы хотите сказать, что буквы имеют какой-то предопределённый смысл? Я студентов своих ругаю, если они что-то подобное начинают говорить. Буквы сами по себе ничего не означают, и их смысл определяется тем, как они используются. Если Вы используете букву "$t$" для обозначения временной координаты, то у неё один смысл. Если кто-то вздумает использовать "$t$" для обозначения радиальной координаты (а это никто не может ему запретить), то у этой буквы будет другой смысл. Однако в этих двух случаях буква "$t$" будет по-разному входить в выражения для метрики. Пока я писал, вон и epros Вам то же самое написал.

Если после замены координат на многообразиях получились одинаковые метрики (с точностью до обозначений координат), то оба многообразия можно "наложить" друг на друга так, что длины соответствующих дуг на обоих многообразиях будут одинаковыми. И все величины, которые определяются через метрику, в том числе и тензоры кривизны, в соответствующих точках многообразий будут совпадать. Какими буквами при этом обозначаются координаты на этих многообразиях, совершенно безразлично.
Что такое "физическая точка многообразия", я не знаю. Многообразие - это математический объект, и физических точек в нём нет.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

2. Замена угла $\varphi $ на $\varphi0$ , то есть на постоянную величину тоже вроде в силу симметрии не должно как -то изменить описание мира, для наблюдателя, пользующегося первой метрикой и второй. Если статический шар одинокий, то два наблюдателя вообще не заметят поворот шара на угол фи.

Видимо, речь идёт о замене $\varphi$ на $\varphi-\varphi_0$.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

А вот если над ними есть небосвод - "неподвижные звезды", то у первого и у второго над головой будут разные звезды. Хотя по всем другим измерениям они отличия не заметят.

"Неподвижные звёзды" нарушают сферическую симметрию, поэтому говорить в этом случае о сферической симметрии можно только с некоторой точностью. Говорить о сферической симметрии можно, только если возмущения, вносимые "неподвижными звёздами" и другими внешними объектами, являются несущественными в рассматриваемой ситуации. Между прочим, решение Шварцшильда является вакуумным, поэтому никаких физических объектов, влияющих на метрику, в области его действия нет.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

1. Замена углов $\theta$ и $\varphi$ Не приводит к каким -то физическим изменениям , поскольку функциональный вид метрики не меняется.
...
3. Замена местами угла $\varphi$ и $r$ даст бессмысленную метрику, которую можно откинуть в силу граничных условий
4. Замена r и сt, вообще говоря тоже бессмысленна, хотя некоторые теоретики считают такую метрику правомерной внутри горизонта событий.

Это всё ерунда. В первом случае координаты $\varphi$ и $\theta$ вовсе не равноправны, и после перестановки букв их смысл изменяется, поскольку они теперь используются иначе, чем до перестановки. Но получается та же метрика Шварцшильда в других обозначениях.
В двух других случаях получается та же метрика Шварцшильда, без всяких глупостей, о которых Вы говорите. Просто, как и в первом случае, изменяются обозначения координат. Что касается "внутри горизонта событий", то там шварцшильдовские координаты ведут себя плохо. Координата $r$ (я говорю о стандартных обозначениях, без Ваших перестановок) внутри становится времениподобной, а $t$ - пространственноподобной. Это ничего особенного не означает, поскольку координаты - это только метки, помогающие идентифицировать события (точки). Просто в данном случае их неудачно расставили. Существуют системы координат, лишённые этого недостатка.

schekn в сообщении #616168 писал(а):

5. Наконец, во внешнее решение не входит радиус шара, а только общая масса.
Поэтому некоторые результаты для внешнего решение при радиусе а1 будет несколько
другие, чем при радиусе а2.

Поскольку мы говорим о вакуумном решении, то вне шаров какие-либо излучения отсутствуют. Поэтому вне шара с большим радиусом оба решения просто совпадают; в частности, все физические эффекты будут абсолютно одинаковыми (естественно, при условии, что массы обоих шаров одинаковые).

schekn в сообщении #616201 писал(а):

Однако видно, что функциональный вид изотропной метрики (1) "ближе" к постньютону (106.3), чем шварцшильдовская в стандартных координатах. Аналогичный функциональный вид у гармонического вида в том же приближении (в первом порядке разложении по GM ). Возможно поэтому Фок и писал, что его гармоническая r "ближе" к Ньютоновской r . То есть в "среднесильных полях" возможно лучше пользоваться именно
гармононической метрикой или изотропной?

Поэтому такие сомнения и возникают.

Здесь речь идёт о приближённых формулах. Они могут отличаться друг от друга членами более высокого порядка малости, чем ньютоновские. Это нормально, так сплошь и рядом бывает: приближённые выражения, полученные разными способами, не обязаны совпадать полностью.

[Утундрий]

(Оффтоп)

Чтобы составить мнение о целесообразности вмешательства мне хватило одного этого: search.php?author_id=33254&sr=posts

[schekn]

Someone в сообщении #616203 писал(а):

"Неподвижные звёзды" нарушают сферическую симметрию, поэтому говорить в этом случае о сферической симметрии можно только с некоторой точностью. Говорить о сферической симметрии можно, только если возмущения, вносимые "неподвижными звёздами" и другими внешними объектами, являются несущественными в рассматриваемой ситуации. Между прочим, решение Шварцшильда является вакуумным, поэтому никаких физических объектов, влияющих на метрику, в области его действия нет.

Имелось в виду, что звезды не вносят возмущения, а только по разному смотрятся с разных углов поворота

Someone в сообщении #616203 писал(а):

Поскольку мы говорим о вакуумном решении, то вне шаров какие-либо излучения отсутствуют. Поэтому вне шара с большим радиусом оба решения просто совпадают; в частности, все физические эффекты будут абсолютно одинаковыми (естественно, при условии, что массы обоих шаров одинаковые).

Имелось в виду , что геодезические в диапазоне r (a1,a2) ведут себя по разному в двух случаях.

Someone в сообщении #616203 писал(а):

Здесь речь идёт о приближённых формулах. Они могут отличаться друг от друга членами более высокого порядка малости, чем ньютоновские. Это нормально, так сплошь и рядом бывает: приближённые выражения, полученные разными способами, не обязаны совпадать полностью.

Какой приблеженной формулой Вы бы воспользовались при решении астрофизических задач уже в не очень слабых полях?

[Munin]

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Хотелось бы еще раз проанализировать получение известной метрики Шварцшильда для сферически симметричного статического одинокого тела по книге Лундау-Лифшиц т.2 параграф 100, поскольку накопилось много вопросов.

Там оно сумбурно излагается, почитайте лучше по Вайнбергу "Гравитация и космология".

-- 08.09.2012 18:56:58 --

schekn в сообщении #616044 писал(а):

Сомнение 2. Возможно существует целый класс метрик, удовлетворяющих уравнениям Гильберта-Эйнштейна и граничным условиям, имеющие не только разные тензоры кривизны, но и разные инварианты кривизны и физические сингулярности.

Я их вам даже явно назову:
1. Чёрная дыра Шварцшильда не в начале координат, а где-то рядом, со смещением.
2. Несколько чёрных дыр Шварцшильда, обращающихся вокруг друг друга, как несколько тяготеющих тел.
3. Чёрная дыра Керра.
Это навскидку, примеры.

Суть в том, что наиболее фиксирующим условием является не граничное, а симметрийное. Метрика сферически симметрична, и имеет симметричный времениподобный сдвиг.

-- 08.09.2012 19:09:30 --

schekn в сообщении #616168 писал(а):

Но если предположим существует какое-либо независимое решение Rij=0 (Особенно если оно имеет в тех же физических точках другие значения инварианты кривизны) , на том же многообразии, то может возникнуть ситуация, когда мы допустимыми преобразованиями координат добиваемся тот же самый функциональный вид , как и у стандартного Шварцшильдовского решения. Но координаты r,t , угловые координаты будут иметь другой смысл.

Это всё от вредного влияния учебника Ландау-Лифшица, который создаёт мешанину в простых вопросах, если их рассказать геометрически.

Не может быть другого решения на том же многообразии. Решение - это и есть многообразие.

Ваше решение в виде буковок и формул - это, на самом деле, некоторая форма поверхности (4-мерной гиперповерхности, на математическом языке - многообразия), заданная однозначно, так что если ставить вопросы геометрически (тыкая пальцами в точки, рисуя карандашом линии и т. д.), то и ответы будут получаться однозначные. На этой поверхности можно нарисовать разные сетки координат, и тогда ответы будут выглядеть по-разному в координатах, и можно запутаться, и вместо одного вопроса задавать разные вопросы. Но к единой однозначной геометрической сути эта путаница не имеет отношения. Надо научиться видеть за буковками и формулами эту геометрическую суть. Тогда неясные пассажи в учебниках обретут смысл, а задаваемые вами вопросы станут тривиальными.

Я рекомендую Вайнберга или Мизнера-Торна-Уилера. Ландау-Лифшица, и тем более Фока, рекомендую пока отложить в сторонку. Зельманова - тем более. Суть теории проста, и её надо освоить по одному ясному учебнику, а смотреть где что как, лучше уже после того, как вы суть ухватите (grasp).

[Someone]

schekn в сообщении #616223 писал(а):

Имелось в виду , что геодезические в диапазоне r (a1,a2) ведут себя по разному в двух случаях.

Странные поводы для сомнений Вы находите. В этой области в одном случае вакуум и, соответственно, вакуумное решение; в другом случае эта область занята какой-то материей, и решение там, соответственно, другое. В чём проблема-то? Так и должно быть.

[schekn]

schekn в сообщении #616223 писал(а):

Я их вам даже явно назову:1. Чёрная дыра Шварцшильда не в начале координат, а где-то рядом, со смещением.2. Несколько чёрных дыр Шварцшильда, обращающихся вокруг друг друга, как несколько тяготеющих тел.3. Чёрная дыра Керра.Это навскидку, примеры

Можете привести конкретный пример? В смысле , что решение явно другое.

Munin в сообщении #616232 писал(а):

Это всё от вредного влияния учебника Ландау-Лифшица, который создаёт мешанину в простых вопросах, если их рассказать геометрически.Не может быть другого решения на том же многообразии. Решение - это и есть многообразие.

Не очень пронял Ваше рассуждение. Если есть какие-то ляпы У ЛЛ-2, или ошибки , или просто не четкого изложение, то пожалуйста изложите. Хотя бы , чтобы сторонникам ОТО не наступать на грабли.
Вообще-то вопросов еще достаточно.

[Munin]

schekn в сообщении #616442 писал(а):

Можете привести конкретный пример? В смысле , что решение явно другое.

Ну посмотрите метрику Керра в Википедии, всё остальное требует как минимум ручной возни, что мне делать лень.

schekn в сообщении #616442 писал(а):

Не очень пронял Ваше рассуждение. Если есть какие-то ляпы У ЛЛ-2, или ошибки , или просто не четкого изложение, то пожалуйста изложите. Хотя бы , чтобы сторонникам ОТО не наступать на грабли.

Да. Нечёткое изложение. И я об этом говорил уже неоднократно, но всем не скажешь, особенно когда человек ещё только приступает к ОТО.

Дело в том, что в ЛЛ-2 при изложении смысла тензоров, что в СТО, что в ОТО, они определяются по своему отношению к преобразованиям координат. Если в СТО читатель ещё может представить себе пространство-время в бескоординатном смысле, и на нём уже некоторые сетки координат и тензоры в этих координатах, то с ОТО хуже: само представление о геометрии пространства-времени завязывается на метрический тензор, который ЛЛ-2 вводит только в координатном виде. Получается неудобная для восприятия картина, где координаты опираются на геометрию, а сама геометрия - на координаты. К тому же, ЛЛ-2 чуть ли не прямо указывает на первичность координат в этой картине, излагая эту геометрию только в координатном виде, используя обороты типа "истинное время течёт по-разному", и т. п. Общая теория относительности получается этакой "комнатой кривых зеркал", где пространство-время и само-то по себе искривлено, а стоит сменить систему координат, и всё ещё потечёт и изменится, и не за что зацепиться. Так же неудобно ЛЛ-2 говорит об асимптотически плоском пространстве-времени на бесконечности, о решении уравнений ОТО и о других вопросах.

На самом деле, в геометрии само многообразие (общерелятивистское пространство-время, или в очень старых книгах "пространственно-временной континуум", это псевдориманово многообразие, или многообразие с кривизной) более первично, чем координаты, в которых оно описывается. Его можно себе представлять как жёсткую форму, типа глобуса, кувшина или чего-то подобного, а координаты на нём рисуются, или наклеиваются листами. Если сменить одну систему координат на другую, то сама эта форма не изменится, а изменится только её описание. И векторы и тензоры, на самом деле, не какие-то там наборы компонент в координатах, а простые геометрические образы, однозначно изобразимые на этой жёсткой форме. Например, для вектора достаточно взять касательную плоскость в точке, где откладывается вектор, и нарисовать вектор на этой плоскости. Тензор тоже является обычным тензором на этой плоскости, например, может быть собран из векторов на ней. И теперь оказывается, что нам не "не за что зацепиться". Если форма пространства-времени у нас задана (метрической функцией, которая для двух точек даёт определённое число, не обращая внимания ни на какие координаты), то мы на этой форме легко найдём "точки опоры", как находим на кувшине горлышко и бока.

Конкретно мяч и кувшин обладают одной замечательной особенностью формы - симметриями. Мяч можно крутить в трёх направлениях, и его форма будет совпадать сама с собой, и при инфинетизимальных поворотах, и при конечных. Кувшин в одном направлении - вокруг оси. Зарисовывая в каждой точке многообразия вектор, куда она смещается при такой симметрии (и пропорциональный смещению других точек), мы получаем векторное поле - поле симметрии, или вектор Киллинга. Именно набор симметрий задаёт решение Шварцшильда: оно совпадает само с собой при трёхмерных вращениях, как мяч, и при сдвигах по времени, как цилиндр. Разумеется, это образно, поскольку оно не цилиндр, а имеет внутреннюю размерность 4, а внешнюю, если его вкладывать в плоское пространство, не меньше 5 (зато 5 достаточно).

[schekn]

Munin в сообщении #616486 писал(а):

Ну посмотрите метрику Керра в Википедии, всё остальное требует как минимум ручной возни, что мне делать лень.

Вообще-то мы рассматриваем неподвижный одинокий шар.

Munin в сообщении #616486 писал(а):

Так же неудобно ЛЛ-2 говорит об асимптотически плоском пространстве-времени на бесконечности, о решении уравнений ОТО и о других вопросах.

Вот здесь мне тоже не очень понятно. С одной стороны ОТО отрицает плоское пространство-время. С другой стороны для решения как бы привязывается к нему , определяя поведение компонент метрики на бесконечности. Но переход этот зависит о вида метрики. То есть координата r немного по другому "ведет себя" на удалении от шара для разных метрик. Это сбивает с толку.

-- 09.09.2012, 10:59 --

Someone в сообщении #616203 писал(а):

и после перестановки букв их смысл изменяется, поскольку они теперь используются иначе, чем до перестановки. Но получается та же метрика Шварцшильда в других обозначениях.

В чем Вы видите ошибку или "чепуху" в таких рассуждениях.
Даже для статического случая ( неподвижное тело) ВЫ можете решать систему
Rij(x0,x1,x2,x3)=0 чисто математически пока без привязки к физики.
Вы получите множество осмысленных и бессмысленных решений. Далее Вам нужно их отсортировать. Но может ли быть случай , когда то решение, которое Вы отсеяли получается по виду как Шварцшильдовское, но координаты будут иметь нескольку другой смысл? В этом смысле решение Фока, когда он наложил дополнительные коррдинатные условия, логически более понятны. Он сразу отсеял бессмысленные решения. Но при этом общая система уравнений перестала быть ковариантной.

И Вы не ответили на вопрос, какую метрику на практике Вы бы использовали (100.18) или (1) (изотропную) для решения задач в слабом поле? И та и другая получена , при разложении точных решений, оставляя только члены вида GM/r .
Мне больше симпатичней (1), поскольку она по виду ближе к (106.3).
Может Фок прав в этом вопросе? Кроме того в каждом решении первый член - этот как раз наше плоское пространство-время, только записанное по видимому в разных координатах. Вносит ли этот член неопределенность при решении практических задач?