Очень любопытно взглянуть, как Вы будете вычислять шесть центров вписанных окружностей.
Расскажу, как вычислял бы я. Продемонстрирую однозначность решения близкой задачи --- о четырёх окружностях, касающихся трёх прямых. Одна вписана в треугольник, три "вневписанные".
Припишем всем прямым и окружностям ориентацию.
Прямая
![$L$ $L$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/d/c/ddcb483302ed36a59286424aa5e0be1782.png)
выходит из точки
![$(x_1,y_1)$ $(x_1,y_1)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/2/362188493fdc1549d8b84ac63febac5582.png)
с направляющим вектором
![$(\cos\tau_1,\sin\tau_1)$ $(\cos\tau_1,\sin\tau_1)$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/9/b/29bf12dfd679a70fce25e9bc26c1fea782.png)
.
Окружность
![$K$ $K$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/6/3/d6328eaebbcd5c358f426dbea4bdbf7082.png)
имеет центр в точке
![$(a,b)$ $(a,b)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/c/d/0cd27d4708cd735f6ea469dc3debed0e82.png)
и кривизну
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
. Угол их пересечения
![$\psi$ $\psi$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/e/3/7e3c241c2dec821bd6c6fbd314fe476282.png)
определяется формулой
![$$\cos\psi=k(\underbrace{x_1\sin\tau_1-y_1\cos\tau_1}_{H_1}-a\sin\tau_1+b\cos\tau_1).$$ $$\cos\psi=k(\underbrace{x_1\sin\tau_1-y_1\cos\tau_1}_{H_1}-a\sin\tau_1+b\cos\tau_1).$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/2/5/8256ae556f9b0c2a3ea84eda0f286ef182.png)
(Проверка на скорую руку: при противоположной ориентации окружности,
![$k\to{-k}$ $k\to{-k}$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/6/a/36a9f7e5df40f293bccc84ae684d9eb282.png)
получим
![$\psi\to\pi{-}\psi$ $\psi\to\pi{-}\psi$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/f/5/cf58ec4b9ce0a8c6274c78430d3cfc4d82.png)
. То же при противоположной ориентации прямой,
![$\tau_1\to \tau_1{\pm}\pi$ $\tau_1\to \tau_1{\pm}\pi$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/3/e/53effd8688369ad83b4f98ae60decf2082.png)
.) Формула различает касание
![$\psi=0$ $\psi=0$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/6/1/261c37ee48c58e791cb7e8ae1a0d945382.png)
и "антикасание"
![$\psi=\pi$ $\psi=\pi$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/2/b/6/2b6948f82cf231bd5f2d0e01b4057cce82.png)
. Уравнение линейно по
![$k$ $k$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/3/b/63bb9849783d01d91403bc9a5fea12a282.png)
,
![$ak$ $ak$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/b/4/4/b44d0b473a2a2d698272c3ac45ea5e1682.png)
и
![$bk$ $bk$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/6/1/2/612e1c99ab72e08b202ad01b7343e65282.png)
.
Выберем положительное направление обхода
![$\triangle ABC$ $\triangle ABC$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/8/b/e8b9e9765aa728be542ee7864d758d7382.png)
(против часовой стрелки). Имеем направляющие векторы
![$\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$ $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/9/0/590315e21643636ad4d03bb7ba07871382.png)
.
Единственная окружность,
касающаяся трёх прямых, определяется линейной системой
![$$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases}$$ $$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases}$$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/e/8/0e8d4bab898c750b751bbdbc7c30527482.png)
Заменив правые части на
![$-1$ $-1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/1/1/e11a8cfcf953c683196d7a48677b227782.png)
(касание на антикасание), получим ту же окружность противоположной ориентации.
Рассмотрим вневписанную окружность, а именно ту, что "касается" стороны
![$AB$ $AB$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a58df2f9303017b173748509a0aa34c82.png)
и продолжений двух других сторон. Если ей приписать положительную кривизну, то имеем именно касание
![$(\psi=0)$ $(\psi=0)$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/2/e/c2ec8a056c6677432c630d4d3249562e82.png)
с прямыми
![$BC$ $BC$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/a/c/faccc919604453276df35f0a8c04107d82.png)
и
![$CA$ $CA$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/0/9/b/09b0fab6bfabc923ca0defd605aa2a9b82.png)
, но "антикасание" с
![$AB$ $AB$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/5/a/5/5a58df2f9303017b173748509a0aa34c82.png)
:
![$$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})={\color{magenta}-1},\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases}
\quad\text{Две оставшиеся:}\quad
\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=-1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1;\end{cases}\qquad
\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=-1.\end{cases}$$ $$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})={\color{magenta}-1},\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases}
\quad\text{Две оставшиеся:}\quad
\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=-1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1;\end{cases}\qquad
\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=-1.\end{cases}$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/3/e/a3e09a5b296f6c67cd5e721f9e14180282.png)
Приписав конкретную ориентацию тем чевианам, можно жёстко-однозначно-линейно-
инвариантно описать касания-антикасания в тех 6 треугольничках и определить центры вписанных окружностей.
-- 13 окт 2012, 17:27:46 --(Оффтоп)
Близкий сюжет
здесь, третья картинка.