В журнале "Математика в школе", №6 за 2012 г., опубликована статья Л.А. Штейнгарца "Орбиты Жукова и теорема Морлея". Орбитой Жукова автор называет эллипс, проходящий через 6 заданных точек. В работе приводится несколько гипотез о том, какие наборы из 6 точек имеют орбиты Жукова.
Задача тривиальна.
Действительно, выберем систему координат так, что одна из точек лежит в начале, вторая имеет координаты
![$(1,0)$ $(1,0)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/c/8/7c86bb093e466f9ed0dfc9620485830882.png)
, третья имеет координаты
![$(0,1)$ $(0,1)$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/e/5/1e5ba49ae6981862f61b4d510dcf29af82.png)
. Тогда уравнение кривой второго порядка проходящей через эти точки имеет вид
![$ax^2+by^2+cxy-ax-by=0$ $ax^2+by^2+cxy-ax-by=0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/c/e/dce63ade109c25b5f21b31537911325582.png)
. Легко видеть, что для того чтоб эта кривая была эллипсом необходимо
![$a\ne 0$ $a\ne 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/2/4/f2442ae6d188cb7ff52482411d68dc0c82.png)
поэтому окончательно искомое уравнение приобретает вид
![$p(y^2-y)+qxy=x-x^2$ $p(y^2-y)+qxy=x-x^2$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/f/4/7f4dc5d4ced6419a7b5ba01082602fe182.png)
.
Подставляя в это уравнение координаты оставшихся трех точек , мы получаем СЛУ из 3 уравненитй на
![$p,q$ $p,q$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/e/e/9ee547e0827e5bb29b5feb9f5f57419382.png)
. Остается вспомнить критерий того, что уравнение второго порядка задает эллипс.