Орбиты Жукова

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #616287 писал(а):

Вы наивны в области компьютерной алгебры

я это не скрываю

nnosipov в сообщении #616287 писал(а):

Задумайтесь и над тем, что помимо центра вписанной окружности, есть ещё три центра вневписанных окружностей, и все эти четыре точки алгебраически неразличимы.

Задумался на секунду. Если Вы не знаете как аналитически отличить точку , лежащую внутри треугольника от точки лежащей вне его -- Ваши проблемы

nnosipov в сообщении #616287 писал(а):

Короче, программу на бочку.

Ага сейчас, очень мне надо татить три-четыре дня на переубеждение непойми-кого

nnosipov в сообщении #616287 писал(а):

А вот это фуфло

этот лексикон поберегите для круга в котором Вас воспитали

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #616290 писал(а):

Sergey Vorov доказал следующую теорему ...

Т.е. если есть два набора конкурентных чевиан, тогда их концы лежат на одной конике. Ну, проверить это с Maple не составит труда. Собственно, поэтому такие алгебраические проверки интересны только на стадии гипотез.

-- Вс сен 09, 2012 00:17:48 --

Oleg Zubelevich в сообщении #616303 писал(а):

Если Вы не знаете как аналитически отличить точку , лежащую внутри треугольника от точки лежащей вне его

Вы алгебраически отличите. Maple неравенств не понимает. Вы, я погляжу, настоящий романтик, если хотите ещё и доказательству неравенств Maple научить.

Oleg Zubelevich в сообщении #616303 писал(а):

этот лексикон поберегите для круга в котором Вас воспитали

Во мне иногда просыпается дядя по материнской линии --- жуткий матерщинник, уж не обессудьте, когда Вы пишите такую бездоказательную дилетанскую хрень, по-другому трудно выразиться.

Oleg Zubelevich в сообщении #616303 писал(а):

очень мне надо татить три-четыре дня

А я управился за пятнадцать минут, и меня это вполне развлекло --- потому что знаю, как такие вещи надо грамотно делать. А Вы действительно будете страдать несколько дней, и ни хрена у Вас не получится по очевидным причинам.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #616312 писал(а):

Вы алгебраически отличите. Maple неравенств не понимает. Вы, я погляжу, настоящий романтик, если хотите ещё и доказательству неравенств Maple научить.

ну причем тут неравенства? Берем треугольник $ABC$. Уравнение биссектрисы идущей через точку $B$ имеет вид $\overline r(t)=\overline r_B+t(\frac{\overline{BA}}{|BA|}+\frac{\overline{BC}}{|BC|})$ Точно также берем биссектрису из другой вершины , находим точку пересечения биссектрис. В чем проблема то? Система двух линейных уравнений на параметры, которыми параметризованы биссектрисы

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #616350 писал(а):

В чем проблема то?

Проблема в том, что в этой формуле (для точки пересечения биссектрис) будут знаки радикалов (от $|BC|$ и т.п.). А Maple не умеет корректно упрощать вложенные радикальные выражения с буквами. И он не понимает, что, например, $\sqrt{x^2+y^2}$ --- это именно $+\sqrt{x^2+y^2}$, а не $-\sqrt{x^2+y^2}$. Вам придётся его этому учить, а это нетривиальная задача. В каком виде Вы получите тот определитель 6-го порядка, который должен оказаться тождественно нулевым? Как Вы докажете, что он тождественно равен нулю?

Между тем, при правильном подходе, вполне можно обойтись только многочленами. Вот здесь никаких проблем с доказательностью очевидно не возникнет --- раскрыть скобки и привести подобные Maple (как и любая другая система) вполне может корректно.

[Oleg Zubelevich]

nnosipov в сообщении #616365 писал(а):

Maple не умеет корректно упрощать вложенные радикальные выражения с буквами

во-первых я не говорил про упрощения, во-вторых откуда взялись вложенные корни? в-третьих
на примере имеющем отношение к задача разъясните , что это значит:

nnosipov в сообщении #616365 писал(а):

И он не понимает, что, например, $\sqrt{x^2+y^2}$ --- это именно $+\sqrt{x^2+y^2}$, а не $-\sqrt{x^2+y^2}$

Пока я утверждаю, что могу вполне однозначно выписать формулу для координат центра каждой из шести окружностей в зависимости от координат точки пересечения чевиан. Вы с этим согласны?

[nnosipov]

Oleg Zubelevich в сообщении #616371 писал(а):

во-первых я не говорил про упрощения

От этого Вы никуда не денетесь. Рано или поздно некое громоздкое выражение с буквами придётся сравнивать с тождественным нулём.

Oleg Zubelevich в сообщении #616371 писал(а):

во-вторых откуда взялись вложенные корни?

У каждого из шести треугольников одна из вершин --- центр вписанной окружности исходного. За обычные (не вложенные) радикалы ещё нужно будет побороться. Т.е. если Вы вводите систему координат как попало, но двойные радикалы при выписывании координат инцентров этих шести треугольников Вам обеспечены.

Oleg Zubelevich в сообщении #616371 писал(а):

в-третьих
на примере имеющем отношение к задача разъясните , что это значит:

Это слишком долго для уже позднего времени.

Oleg Zubelevich в сообщении #616371 писал(а):

Пока я утверждаю, что могу вполне однозначно выписать координаты центра каждой из шести окружностей в зависимости от координат точки пересечения чевиан. Вы с этим согласны?

Выписать --- можете. А вот объяснить Maple, какой Вы смысл вкладываете в эти выражения и как поэтому с ними нужно правильно работать --- это Вам придётся постараться. Либо вообще отказаться от услуг Maple и делать всё руками.

[Alexander Evnin]

В журнале "Математическое образование", №2 за 2012 г. опубликована статья А.Мякишева "О некоторых окружностях, связанных с треугольником", в которой, в числе прочего, доказаны гипотезы 4-6 про орбиты Жукова.
А 6-я гипотеза такова. Центры окружностей, описанных вокруг треугольников, на которые делится треугольник тремя чевианами, лежат на эллипсе.

[nnosipov]

Alexander Evnin в сообщении #620021 писал(а):

в числе прочего, доказаны гипотезы 4-6 про орбиты Жукова

Надеюсь, доказательства геометрические. Алгебраическая проверка здесь гораздо проще, чем в случае гипотезы про инцентр (нет этих многих вписанных окружностей, за которыми непросто уследить).

[Alexander Evnin]

А. Мякишев для доказательства гипотезы 6 (только он не знает, что это гипотеза 6 :)использует обратную теорему Паскаля: если точки пересечения прямых, содержащих противоположные стороны некоторого шестивершинника, лежат на на одной прямой, то его вершины лежат на одной конике. В данном случае получается 6-угольник, у которого противоположные стороны параллельны (как перпендикуляры к одной и той же чевиане) - точки их пересечения лежат на бесконечно удалённой прямой.

[nnosipov]

Oleg Zubelevich, если Вас эта тема ещё интересует. Взяв треугольник с вершинами в точках $(0,0)$, $(x,y)$, $(1,0)$, вычислил 6 центров вписанных окружностей по Вашему рецепту. Составил определитель 6-го порядка, который должен оказаться тождественным (по $x$ и $y$) нулём. Попросил Maple его вычислить. Через несколько минут понял, что Maple завис, а вместе с ним и весь компьютер, так что пришлось перезагружать. Видимо, даже лопатить дважды вложенные радикалы, зависящие всего-то от двух букв, не такое уж простое занятие. Впрочем, это может быть особенностью Maple, в других системах не проверял.

[Алексей К.]

nnosipov в сообщении #616248 писал(а):

Очень любопытно взглянуть, как Вы будете вычислять шесть центров вписанных окружностей.

Расскажу, как вычислял бы я. Продемонстрирую однозначность решения близкой задачи --- о четырёх окружностях, касающихся трёх прямых. Одна вписана в треугольник, три "вневписанные".

Припишем всем прямым и окружностям ориентацию.
Прямая $L$ выходит из точки $(x_1,y_1)$ с направляющим вектором $(\cos\tau_1,\sin\tau_1)$.
Окружность $K$ имеет центр в точке $(a,b)$ и кривизну $k$. Угол их пересечения $\psi$ определяется формулой

$$\cos\psi=k(\underbrace{x_1\sin\tau_1-y_1\cos\tau_1}_{H_1}-a\sin\tau_1+b\cos\tau_1).$$

(Проверка на скорую руку: при противоположной ориентации окружности, $k\to{-k}$ получим $\psi\to\pi{-}\psi$. То же при противоположной ориентации прямой, $\tau_1\to \tau_1{\pm}\pi$.) Формула различает касание $\psi=0$ и "антикасание" $\psi=\pi$. Уравнение линейно по $k$, $ak$ и $bk$.

Выберем положительное направление обхода $\triangle ABC$ (против часовой стрелки). Имеем направляющие векторы $\vec{AB}, \vec{BC}, \vec{CA}$. Единственная окружность, касающаяся трёх прямых, определяется линейной системой

$$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases}$$

Заменив правые части на $-1$ (касание на антикасание), получим ту же окружность противоположной ориентации.

Рассмотрим вневписанную окружность, а именно ту, что "касается" стороны $AB$ и продолжений двух других сторон. Если ей приписать положительную кривизну, то имеем именно касание $(\psi=0)$ с прямыми $BC$ и $CA$, но "антикасание" с $AB$:

$$\begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})={\color{magenta}-1},\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1.\end{cases} \quad\text{Две оставшиеся:}\quad \begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=-1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=1;\end{cases}\qquad \begin{cases}\cos\psi(K,L_{AB})=1,\\ \cos\psi(K,L_{BC})=1,\\ \cos\psi(K,L_{CA})=-1.\end{cases}$$

Приписав конкретную ориентацию тем чевианам, можно жёстко-однозначно-линейно-инвариантно описать касания-антикасания в тех 6 треугольничках и определить центры вписанных окружностей.

-- 13 окт 2012, 17:27:46 --

(Оффтоп)

Близкий сюжет здесь, третья картинка.

[nnosipov]

Алексей К., да написать формулы для этих центров не проблема. Проблема в том, как ими потом пользоваться, ибо возникают разные "технические проблемы" типа вот этой topic63209.html , причём это ещё так, мелочь. Кстати, Ваши формулы дают выражения для центра вписанной окружности через какие параметры треугольника?

[Алексей К.]

У меня прямая описана координатой произвольной точки $(x_1,y_1)$ и углом $\tau_1$. В случае треугольника пара точек однозначно определит этот угол. Выражение для координат центра, естественно, зависит от координат точек, и тупо (Маплом) полученная формула будет содержать координаты, которые лишь частично где-то схлопнутся в стороны.
Ежели этим пользоваться, то надо сразу брать что-то вроде $A=(0,0)$, $B=(c,0)$, $C=(b\cos \angle A,b\sin\angle A).$ Но да, зря писал --- выражения через барицентрические координаты хорошо известны, получится эквивалентная штука.

Просто я здесь не увидел где-то выше упомянутых проблем с различением этих центров по знакам радикалов итп. Перечитать надо...

[nnosipov]

Алексей К. в сообщении #630411 писал(а):

выражения через барицентрические координаты хорошо известны

Вот я их и вбил. На первый взгляд, формула не выглядит громоздкой. Но если её применять несколько раз, то результат поражает. Впрочем, для приближённых вычислений это вполне приемлемо и даже реализовано в пакете geometry, который есть в Maple.

[Pashka]

А можно подробнее о теореме Sergey Vorov ?

Просто интересен метод доказательства.