Теорема Ферма и теорема косинусов

[klitemnestr]

Господа!
Я вот на что обратил внимание: уравнение теоремы Ферма имеет вид:
$a^n +b^n = c^n$
Если теорема Ферма имеет решение в целых числах, то, приняв величины $a, b, c$ за линейные отрезки, можно построить косоугольный треугольник, в котором при таком допущении отрезки $a, b, c$ имеют целочисленное значение. Соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываются теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.
В частном случае для прямоугольного треугольника угол $\gamma=90^0$, $\cos 90^0 = 0$, уравнение теоремы косинусов превращается в уравнение теоремы Пифагора.
Следовательно, уравнение теоремы Пифагора является не частным случаем уравнения теоремы Ферма, а частнам случаем уравнения теоремы косинусов!
Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?
Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

[migmit]

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

уравнение теоремы Пифагора является не частным случаем уравнения теоремы Ферма, а частнам случаем уравнения теоремы косинусов!

У этого уравнения нет абсолютно никаких трудностей с тем, чтобы быть частным случаем двух разных вещей.

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?

А в чём проблема?

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

Нет.

[klitemnestr]

Проблема вот в чем.
Если число $c$, определенное по обеим формулам, имеет одно и тоже значение, то, например, при степени $n=4$ должно выполняться равенство:
$c^4= (c^2)^2 = (a^2 + b^2-2ab\cos\gamma)^2$ =
$[(a^2 + b^2)-2ab\cos\gamma]^2$ = $(a^2+b^2)^2-4(a^2+b^2)ab\cos\gamma+ 4a^2b^2(\cos^2\gamma)$.
После всех преобразований получим:
$c^4=(a^4+b^4)-[4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)]$
Выражение в квадратных скобках при любых значениях $a, b$ и угла $\gamma$ всегда положительное число и, во всяком случае, не равно $0.$ Следовательно:
$c^4=(a^4+b^4) -z$,
где $z$ -целое число.

[venco]

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

$c^4=(a^4+b^4)-[4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)]$
Выражение в квадратных скобках при любых значениях $a, b$ и угла $\gamma$ всегда положительное число

Здесь у вас ошибка.
При условиях
$c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
$c^4=a^4+b^4$
выражение в скобках тождественно равно нулю.

[Belfegor]

Уважаемый klitemnestr! Не очень четко сформулированы исходные условия.
Вот вы пишите:

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

Выражение в квадратных скобках при любых значениях $a, b$ и угла $\gamma$ всегда положительное число и, во всяком случае, не равно $0.$

а $\gamma=0$?
Подставим:
$c^4=(a^4+b^4)+2a^2b^2$
Итого
$(c^2)^2=(a^2 + b^2)^2$

Чтобы получить элементарное супернанодоказательство для четных степеней, вам надо показать, что
$z \ne0$

[Yarkin]

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):

Господа!
Я вот на что обратил внимание: уравнение теоремы Ферма имеет вид:
$a^n +b^n = c^n$
Если теорема Ферма имеет решение в целых числах, то, приняв величины $a, b, c$ за линейные отрезки, можно построить косоугольный треугольник, в котором при таком допущении отрезки $a, b, c$ имеют целочисленное значение. Соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываются теоремой косинусов:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma$.
В частном случае для прямоугольного треугольника угол $\gamma=90^0$, $\cos 90^0 = 0$, уравнение теоремы косинусов превращается в уравнение теоремы Пифагора.
Следовательно, уравнение теоремы Пифагора является не частным случаем уравнения теоремы Ферма, а частнам случаем уравнения теоремы косинусов!
Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?
Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

1. Нет. 2. Да.

[Belfegor]

Ну вот, а в дуэте согласия-то нет

migmit в сообщении #611212 писал(а):

klitemnestr в сообщении #611088 писал(а):
Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

Нет.

Yarkin в сообщении #611608 писал(а):

Вопрос 1: могут ли соотношения между сторонами косоугольного треугольника описываться двумя разными уравнениями: уравнением теоремы косинусов и уравнением теоремы Ферма?
Вопрос 2: может ли уравнение теоремы косинусов быть преобразовано в уравнение теоремы Ферма и наоборот?

1. Нет. 2. Да.

И за что так не любят эту теорему косинусов?

[venco]

Разве ж это дуэт?
Очевидно, один из них ошибается.

[Belfegor]

А, что вы скажете о теореме косинусов в таком разрезе, уважаемый venco?

[venco]

1. Да.
2. Нет, хотя зависит от того, что понимать под преобразованиями.

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

$c^4= (c^2)^2 = (a^2 + b^2-2ab\cos\gamma)^2$

Так чем же не устраивает такой подход мировое сообщество, уважаемый venco?

[venco]

Belfegor в сообщении #611895 писал(а):

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

$c^4= (c^2)^2 = (a^2 + b^2-2ab\cos\gamma)^2$

Так чем же не устраивает такой подход мировое сообщество, уважаемый venco?

Где тут "уравнение теоремы Ферма"?

[Belfegor]

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

После всех преобразований получим:
$c^4=(a^4+b^4)-[4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)]$

А вот!

[venco]

Belfegor в сообщении #611955 писал(а):

klitemnestr в сообщении #611309 писал(а):

После всех преобразований получим:
$c^4=(a^4+b^4)-[4(a^2+b^2)ab\cos\gamma -2a^2b^2(1+2\cos^2\gamma)]$

А вот!

Если это считать преобразованием (см. мою оговорку), то любое уравнение можно свести к любому.

[Someone]

Та-а-ак! Сравнивая с уравнением $c^4=a^4+b^4$, получаем квадратное уравнение для $\cos\gamma$. Поскольку у этого уравнения дискриминант положителен, а произведение корней равно $\frac 12$, то хотя бы один из корней по модулю меньше $1$, так что подходящее значение $\gamma$ найдётся.
Ну и что?