2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение22.08.2012, 07:39 


31/12/10
1555
Я этого не отрицаю, но согласитесь, ваша оценка выглядит тяжеловестно,
аргумент функционально связан довольно сложно.
Меня всегда интересовала оценка типа:
$2p_{r-1}\leqslant d_m\leqslant 2p_x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение22.08.2012, 09:22 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #608931 писал(а):
Я этого не отрицаю, но согласитесь, ваша оценка выглядит тяжеловестно,
аргумент функционально связан довольно сложно.
Меня всегда интересовала оценка типа:
$2p_{r-1}\leqslant d_m\leqslant 2p_x$

Что же делать! Не все так просто! :-). Верхняя оценка у Вас оказалась неточной!

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение22.08.2012, 12:36 


31/12/10
1555
Если внимательно посмотреть последовательность А048670 (ссылка Sonic86),
то можно заметить некоторую зависимость $d_m$ от $p_r$ и верхний предел искать в форме $f(x)\cdot p_r,$
где $f(x)$ - медленно возрастающая функция.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение23.08.2012, 17:04 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #608983 писал(а):
Если внимательно посмотреть последовательность А048670 (ссылка Sonic86),
то можно заметить некоторую зависимость $d_m$ от $p_r$ и верхний предел искать в форме $f(x)\cdot p_r,$
где $f(x)$ - медленно возрастающая функция.

Это на этом интервале, а если брать асимптотику $(p_r>2000)$, то она растет значительно быстрее. Кроме того в асимптотике я использовал формулу Мертенса - она дает некоторое превышение значений при малых значениях $p_r$. Формула $max(p_{n+1}-p_n)=(nlnn)^{0,53}$ дает неплохую аппроксимацию для максимальной разности между простыми числами и для малых n, но это конечно превышает значения для ПСВ. Надо также уточнить формулу: $n=0,28a^{p_r}/lnp_r + r- 1$. Для малых значений $p_r$ можно взять а=2,2. В этом случае, например, при $p_r=7$ мы получим $max(p_{n+1}-p_n)=13,7$. В этом случае фактическое значение $max(p_{n+1}-p_n)=14$ для простых чисел, а для ПСВ равно 10. При $p_r>2000$ надо брать значение а=2,83.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение23.08.2012, 19:31 


31/12/10
1555
Сравнивать разности между вычетами ПСВ и простыми числами в этой ПСВ
по-моему нельзя. Единственное, что можно принять во внимание: если нам
будет известно, что в ПСВ нет разности между вычетами $d_m$,
то ее нет и среди простых чисел интервавла ($p_{r+1},p_{r+1}^2$).
А вот если эта разность есть в ПСВ, то это еще не значит, что она есть и в указанном интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение23.08.2012, 21:17 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #609638 писал(а):
Сравнивать разности между вычетами ПСВ и простыми числами в этой ПСВ
по-моему нельзя. Единственное, что можно принять во внимание: если нам
будет известно, что в ПСВ нет разности между вычетами $d_m$,
то ее нет и среди простых чисел интервавла ($p_{r+1},p_{r+1}^2$).
А вот если эта разность есть в ПСВ, то это еще не значит, что она есть и в указанном интервале.

Нет я не сравниваю максимальную разность в ПСВ с простыми числами данной ПСВ на интервале ($p_{r+1},p_{r+1}^2$). Я ищу оценку верхней границы максимальной разности в ПСВ. При оценке я использую то, что максимум разности ПСВ достигается на интервале от 0 до 0,5m, а также то, что разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами. Так как разности между простыми числами возрастают с увеличением номера простого числа, как $p_n^{0,53}$, то максимум этой разности достигается при номере простого числа соответствующем середине ПСВ -0,5m. Исходя из этого делается оценка верхней границы максимальной разности ПСВ.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение24.08.2012, 17:47 


31/12/10
1555
vicvolf в сообщении #609713 писал(а):
разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами.

Как это понимать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение24.08.2012, 21:10 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #610159 писал(а):
vicvolf в сообщении #609713 писал(а):
разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами.

Как это понимать?

Возьмем, например, вычеты ПСВ(30):
$a_1=1,a_2=7,a_3=11,a_4=13,....$
и соответственно простые числа:
$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_5=13,...$.
Так вот разность вычетов ПСВ - $a_4-a_3=13-11=2$ соответствует разности между простыми числами - $p_5-p_4=13-11=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.08.2012, 08:28 


31/12/10
1555
Т.е. индексы простых чисел не совпадают с индексами вычетов ПСВ
в интервале ($1, p_{r+1}^2$).
Вычеты ПСВ в указанном интервале являются простыми числами, кроме 1,
и их индексы будут изменятся с ростом $p_r$.
Например, при $M=30,\;a_5=p_7=17,$ при
$M=210,\;a_5=p_8=19,$ при
$M=2310,\;a_5=p_9=23$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.08.2012, 11:29 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #610335 писал(а):
Т.е. индексы простых чисел не совпадают с индексами вычетов ПСВ
в интервале ($1, p_{r+1}^2$).
Вычеты ПСВ в указанном интервале являются простыми числами, кроме 1,
и их индексы будут изменятся с ростом $p_r$.
Например, при $M=30,\;a_5=p_7=17,$ при
$M=210,\;a_5=p_8=19,$ при
$M=2310,\;a_5=p_9=23$ и т.д.

Да. поэтому номер простого числа для оценки $p_n^{0,53}$ вычисляется по формуле: $n=0,5\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i))+r-1$, где $0,5\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i))=0,28a^{p_r}/lnp_r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.08.2012, 12:34 


31/12/10
1555
При этом $\prod_1^r p_i=M(p_r)$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение25.08.2012, 17:42 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #610371 писал(а):
При этом $\prod_1^r p_i=M(p_r)$ ?

Да, конечно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.08.2012, 17:22 


31/12/10
1555
Что это даст в решении гипотезы Гильбрайта?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение26.08.2012, 20:39 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #610759 писал(а):
Что это даст в решении гипотезы Гильбрайта?

Доказательство леммы 2 для больших значений $p_r$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение19.09.2012, 18:43 
Заслуженный участник


08/04/08
8560
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Так. Если я правильно помню, здесь в основании треугольника лежит последовательность $\{2;3;...;p_r\}\cup\text{ПСВ}_m$.
vicvolf в сообщении #602709 писал(а):
Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: $2, p_{r+1}-1, 2, p_{r+1}-1, 2$.
Непонятно. У нас $k=k(r)$, $k$ не зависит больше ни от чего, в т.ч. не зависит и от неких разностей (я догадываюсь, что Вы сказать хотели, но хочу точной формулировки).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24 ... 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group