Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$

и снова:

Sonic86 в сообщении #638230 писал(а):

С чего Вы взяли, что разность $dm=p_{r+1}-1$ на отрезке $[0;M/2]$ единственна? Может их там две или три чисто случайно?

Я уже писал, что на основании свойств ПСВ таких разностей только 2 от 0 до m, которые симметричны, а от 0 до m/2 - одна. Я не буду доказывать свойства ПСВ, которые известны.

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для треугольника Гильбрайта T с основанием nПСВ$_m$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.

Цитата:

Нет, условия леммы выполняются лишь для подтреугольника $T$, построенного на последовательности $a_1,...,a_k$, где $a_2-a_1=dm$, $k=I(T)$.

Посмотрите условие леммы - там делается вывод для всего треугольника:
Лемма. Рассмотрим 2 треугольника Гилбрайта $T_1, T_2$, пусть $T_1$ построен на некоторой последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p_n$, а $T_2$ построен на последовательности нечетных чисел $p_1,...,p_{n-1},p'_n$, где $p_n'=p_n+2$. Пусть $\max (p_{j+1}-p_j)=p_{n+1}-p_n$, обозначим этот максимум $dm$. И пусть все разности под последним членом последовательности в $T_1$ положительны. Тогда $I(T_1)\leqslant I(T_2)$.

dm - это глобальный максимум разностей для всего треугольника Гильбрайта, построенного на ПСВ, а не локальный, для какого-то подтреугольника. Вы все время это путаете!

vicvolf в сообщении #639262 писал(а):

На основания следствия 2 леммы для треугольника T выполняется неравенство: $I(T)<dm$

Цитата:

А это с чего? У Вас следствие леммы 1 имеет вид $I(T_1)\leqslant I(T_2)$, а не $I(T)<C$
Тоже надо доказывать.

Вы видно не там смотрите. Вот формулировка следствия 2 леммы:
Следствие 2
Если в треугольнике Гильбрайта T существует ИС, то $I(T)< dm$.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #639533 писал(а):

уже писал, что на основании свойств ПСВ таких разностей только 2 от 0 до m, которые симметричны, а от 0 до m/2 - одна.

Нет таких свойств у ПСВ. Докажите явно или дайте ссылку.

-- Сб ноя 03, 2012 09:31:01 --

vicvolf в сообщении #639533 писал(а):

Посмотрите условие леммы - там делается вывод для всего треугольника:

вывод делается для всего треугольника в лемме, а не для произвольного треугольника в произвольной теореме, которая ссылается на лемму. А в теореме этот треугольник оказывается именно подтреугольником. Подумайте, мне неохота объяснять уже тривиальные вещи.

vicvolf в сообщении #639533 писал(а):

Вы видно не там смотрите. Вот формулировка следствия 2 леммы:
Следствие 2
Если в треугольнике Гильбрайта T существует ИС, то $I(T)< dm$.

В смысле Вы в доказательстве леммы 2 используете факт следствия, получаемого из недоказанной пока леммы 2. Циклическая ссылка детектед.

[vicvolf]

Цитата:

Нет таких свойств у ПСВ. Докажите явно или дайте ссылку.

Хорошо подумаю!

Цитата:

вывод делается для всего треугольника в лемме, а не для произвольного треугольника в произвольной теореме, которая ссылается на лемму. А в теореме этот треугольник оказывается именно подтреугольником.

Согласен, исправлю. Это выполняется для интервала 0 до m/2, при условии, что там одна dm и для интервала от m/2 до m, как симметричного. Далее по теореме 4 для всей nПСВ$_m$ имеется ИС.

Цитата:

В смысле Вы в доказательстве леммы 2 используете факт следствия, получаемого из недоказанной пока леммы 2. Циклическая ссылка детектед.

Там нет циклической ссылки. Следствие 2 из леммы без номера. На это следствие я ссылаюсь при доказательстве леммы 2.

[vicvolf]

Внес последние исправления в доказательство леммы 2.

Доказательство
На основании теоремы 4 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_m$ имеет строку ИС. Последовательность nПСВ$_m$ начинается с вычетов $1, p_{r+1}, ..$, а строка первых разностей с $p_{r+1}-1$, поэтому максимум строки первых разностей nПСВ$_m$ - $dm \geq p_{r+1}-1$.
Покажем, что под dm все разности выше строки ИС положительны.
Рассмотрим случай $dm = p_{r+1}-1$.
Рядом с dm находятся разности:$ ...., p_{r+i} -p_{r+i-1}, ...,p_{r+3}-p_{r+2}, p_{r+2}-p_{r+1}, dm=p_{r+1}-1.$
Разность dm образуется, как результат пропуска простых чисел от 2 до $p_r$, а разности рядом являются разностями рядом стоящих вычетов. Самым критичным является случай когда разница между dm и остальными первыми разностями минимальна. Это достигается при r=1.
Действительно, в этом случае, все разности равны, так как $p_{r+1}-1=p_{2}-1=3-1=2$. Это соответствует ПСВ(2).
Проверим ПСВ(2):
1 3 5 7 9 11 ....
2 2 2 2 2 .....
все разности положительны.
Следовательно, для больших значений dm тем более все разности выше строки ИС, находящиеся под dm, положительны.
nПСВ$_m$ является строго возрастающей последовательностью нечетных чисел с возможными пропусками. Все разности nПСВ$_m$, находящиеся выше строки ИС под dm, положительны. Поэтому для подтреугольника $T$, построенного на последовательности $a_1,...,a_k$, где $a_2-a_1=dm$, $k=I(T)$ выполняются условия доказанной выше леммы и ее следствия.
На основания следствия 2 леммы для T выполняется неравенство: $I(T)<dm$, поэтому номер $p_k$ -$k<dm$ (1). На основании теоремы 4 это выполняется для всего треугольника Гильбрайта с основанием nПСВ$_m.$
Выше я показывал, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется для всех значений m из QIES ...
Покажем, что соотношение $p_k<p^2_r$ выполняется и для больших значений m.
Для больших значений $p_r, p_k$ на основании асимтотической формулы простых чисел [3] и неравенства (1) получаем:
$p_k <dm\ln dm$ (2).
Выполняя экстраполяцию значений QIES, получаем:
$dm<p^{4/3}_r$ (3).
Подставляя (3) в (2) получаем соотношение:
$p_k<4/3p^{4/3}_r \cdot \ln p_r<p^2_r$, которое справедливо для всех $p_r$ ч.т.д.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #639153 писал(а):

Следствие лемм
Если в основании треугольника Гильбрайта ($T_r$) находится последовательность, полученная после r-ого шага решета Эратосфена, то для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r выполняется: $p_k<p^2_r$.
Доказательство
Сначала докажем, что $I(T_r) \leq I(T_p)$, где $T_p$ - треугольник Гильбрайта, в основании которого находится nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$.
Предположим, что $I(T_p)=k$. Добавим в основание треугольника простые числа: $2,3...p_r$ и удалим 1 - получим $T_r$. Покажем, что $I(T_r) \leq k$. Предположим противное, что $I(T_p)>k$. Сделаем обратное преобразование и перейдем к $T_p$. В этом случае на основании леммы для nПСВ$_m$ $I(T_p)$ не уменьшится и останется больше k, но это противоречит условию, что $I(T_p)=k$. Следовательно, предположение, что $I(T_p)>k$ не верно и $I(T_r) \leq I(T_p)$.
Если $I(T_r) \leq I(T_p)$, то на основании леммы 2 для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r, выполняется: $p_k<p^2_r$.

Другое доказательство следствия.

Сначала докажем, что $I(T_r) = I(T_p)$, где $T_p$ - треугольник Гильбрайта, в основании которого находится nПСВ$_m$, где $m=2 \cdot 3...p_r$.
Пусть в основании треугольника Гильбрайта находится nПСВ$_m$, тогда на основании теоремы 4 данный $T_p$ имеет строку ИС, которая является продолжением ИС на интервале от 0 до 1,5m. Добавим в основание треугольника Гильбрайта $T_p$ простые числа от 2 до $p_r$ и удалим 1- получим $T_r$.
Если $dm>p_{r+1}-1$, то dm не находится на интервале от 1 до $p_{r+1}$, поэтому при переходе от $T_p$ к $T_r$
dm остается без изменения и на основании леммы 2 положение строки ИС не изменится.
Если $dm=p_{r+1}-1$, то положение ИС определяется ИС2 на интервале от 0,5m до 1,5m, поэтому при переходе от $T_p$ к $T_r$ dm остается без изменения и на основании леммы 2 положение строки ИС также не изменится.
Следовательно, $I(T_r) = I(T_p)$.
Так как $I(T_r) = I(T_p)$, то на основании леммы 2 для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для $T_r$, выполняется: $p_k<p^2_r$ ч.т.д.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #637732 писал(а):

Следствие 2
Если в треугольнике Гильбрайта T существует ИС, то $I(T)< dm$.
Это следует из того, что при увеличении dm на 2 $I(T)$ максимально увеличивается также на 2, а при dm=2 $I(T)=1$, если в полученном треугольнике существует ИС.

Уточним следствие 2 леммы.
Следствие 2
Определим характеристики случайной величины роста I(T) при увеличении значения dm на 2, если в треугольнике Гильбрайта T существует ИС.
Исследование этого вопроса проведем в предположение, что появление значений 0 и 2 в элементах треугольника Гильбрайта под строкой ИС равновероятно.
В этом случае при увеличении значения dm на 2 в двух случаях из четырех $(a_{k, n-2}=0, a_{k, n-1}=0$ или $a_{k, n-2}=2, a_{k, n-1}=0 )$, т.е. с вероятностью ½ значение I(T) остается без изменения. В одном случае из четырех $(a_{k,n-2}=2, a_{k,n-1}=2)$, т.е. с вероятностью ¼ значение I(T) увеличится на 1. Если элементы $a_{k, n-2}=0, a_{k, n-1}=2, a_{k+1, n-2}=2$ , т.е с вероятностю 1/8 значение I(T) увеличивается на 2. Если элементы $a_{k, n-2}=0, a_{k, n-1}=2, a_{k+1, n-2}=0, a_{k+2, n+2}=2$, то с вероятностю 1/16 значение I(T) увеличится на 3 и.т.д. Если элементы $a_{k, n-2}=0, a_{k, n-1}=2, a_{k+1, n-2}=0, …. a_{k+l, n+2}=2$, то с вероятностью (1/2)l+2 значение I(T) увеличится на l+1 и.т.д.
Таким образом, функция распределения данной случайной величины имеет вид:
$F(l)=1-(0,5)^{l+1}$ (4).
Учитывая это, математическое ожидание роста I(T) при увеличении значения dm на 2 определяется формулой:
$M_2(I)=\sum_{l=0}^{\infty}{\frac {l+1} {2^{l+2}}}=1$(5).
Тогда математическое ожидание величины I(T) при dm определяется формулой:
$M_{dm}(I)=0,5dm\sum_{l=0}^{\infty}{\frac {l+1} {2^{l+2}}}=0,5dm$ (6).
Теперь определим дисперсию роста I(T) при увеличении значения dm на 2:
$D_2(I)=M_2(I^2)-M_2^2(I)=\sum_{l=0}^{\infty}{\frac {(l+1)^2} {2^{l+2}}}-1=3-1=2$ (7).
Тогда дисперсия величины I(T) при dm определяется формулой:
$D_{dm}(I)=M_{dm}(I^2)-M_{dm}^2(I)=\frac{(dm)^2} {4}\sum_{l=0}^{\infty}{\frac {(l+1)^2} {2^{l+2}}}-\frac {(dm)^2} {4}=\frac {(dm)^2} {2}$(8).
По формуле (4) получаем, что $I(T) \leq dm$ с вероятностью p=7/8≈0,88, $I(T) \leq 1,5dm$ с вероятностью p=15/16≈0,94, $I(T) \leq 2dm$ с вероятностью p=31/32≈0,969, $I(T) \leq 2,5dm$ с вероятностью p=63/64≈0,984, $I(T) \leq 3dm$ с вероятностью p=127/128≈0,992, $I(T) \leq 3,5dm$ с вероятностью p=255/256≈0,996, $I(T) \leq 4dm$ с вероятностью p=511/512 $I(T) \leq 4dm$ с вероятностью p=511/512≈0,998, $I(T) \leq 4,5dm$ с вероятностью p=1023/1024≈0,999.
На основании (4) и свойства функции распределения:
$\lim \limits_{l \to \infty} {F(l)}=\lim \limits_{l \to \infty} {1-0,5^{l+1}}=1$ (9)
или
$\lim \limits_{l \to \infty} {P(I(T) \leq ldm)}=1$ (10).

[vicvolf]

Вариант доказательства гипотезы Гильбрайта с использованием приведенной системы вычетов и решета Эратосфена.
При доказательстве будет использована теорема:
Теорема 4
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ содержит ИС на интервале от 0, до nm, которая является продолжением ИС на интервале от 0,5m до 1,5m.

Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого, наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство.
Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 и далее вычеты nПСВ$_m$ по модулю m=2
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2,3,… p_k$, при которых согласно предположению треугольник сходится.
На основании теоремы о решете Эратосфена [3] треугольник Гильбрайта также будет сходиться для $2,3,… p_k, p_{k+1}, … p_n <p^2_{r+1}$
При r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2, 3,… p_k, p_{k+1}$,. Но треугольник уже сходится, как было сказано выше, для простых чисел в основании $2,3,… p_k, p_{k+1}, … p_n <p^2_{r+1}$. Тем более он будет сходиться для простых чисел в основании $2, 3,… p_k, p_{k+1}$. Далее для вычетов nПСВm треугольник будет сходиться на основании теоремы 4 ч.т.д.

Следствие. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится любое, наперед заданное число последовательных простых чисел: $2, 3,…p_n$ сходится.
Доказательство
На основании теоремы 5 треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого, наперед заданного, числа шагов решета Эратосфена - n, сходится.
Так как последовательные простые числа: $2, 3,…p_n$ входят в последовательность, полученную после n шагов решета Эратосфена, следовательно, для любого, наперед заданного числа n, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится простые числа: $2, 3,…p_n$ сходится ч.т.д.

Буду благодарен за замечания и предложения!

[vicvolf]

Последнее следствие можно сформулировать немного по-другому, чтобы оно полностью соответствовало гипотезе Гильбрайта.

Следствие. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится бесконечная последовательность простых чисел без пропусков: $2, 3,…p_n, …$ сходится, а следовательно любая строка данного треугольника начинается с 1.
Доказательство
На основании теоремы 5 треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого, наперед заданного, числа шагов решета Эратосфена - n, сходится.
Так как последовательные простые числа: $2, 3,…p_n$ входят в последовательность, полученную после n шагов решета Эратосфена, следовательно, для любого, наперед заданного числа n, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится простые числа: $2, 3,…p_n$ сходится.
Так как количество возможных шагов в решете Эратосфена не ограничено, то получаемая в основании треугольника Гильбрайта последовательность простых чисел, при которой он сходится, также неограниченная. Если треугольник Гильбрайта сходится, то из определения сходимости треугольника Гильбрайта, все строки данного треугольника начинаются с числа 1.

Данное следствие плюс доказанные в этой теме теоремы 2,3,4,5 являются моим доказательством гипотезы Гильбрайта.

Буду благодарен за вопросы, замечания и предложения!

[vicvolf]

Уточнение теоремы подчеркнуто.

Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого, наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство.
Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции. Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 и далее вычеты nПСВ$_m$ по модулю m=2
1 2 2 …….
1 0 …….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2,3,… p_k$, при которых согласно предположению треугольник сходится.
На основании теоремы о решете Эратосфена [3] треугольник Гильбрайта также будет сходиться для $2,3,… p_k, p_{k+1}, … p_n <p^2_{r+1}$
При r=k+1 (после k+1 шага решета Эратосфена) в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа $2, 3,… p_k, p_{k+1}$,. Но треугольник уже сходится, как было сказано выше, для простых чисел в основании $2,3,… p_k, p_{k+1}, … p_n <p^2_{r+1}$. Тем более он будет сходиться для простых чисел в основании $2, 3,… p_k, p_{k+1}$. Далее для вычетов nПСВm треугольник будет сходиться на основании теоремы 4 и следствия из сообщения от 11.11.12 ч.т.д.

Формулировка следствия лемм.
Если в основании треугольника Гильбрайта ($T_r$) находится последовательность, полученная после r-ого шага решета Эратосфена, то для числа $p_k$, с которого начинается строка ИС для T_r выполняется: $p_k<p^2_r$.