Исследование гипотезы Гильбрайта

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #598138 писал(а):

Не понял, почему не является доказательством - рассмотрение всех случаев?

Имелось ввиду, что $x$ пробегает счетное множество - в таком случае недостаточно.

[vicvolf]

Уже начиная с m=2310 ИС1 находится в 10 строке разностей, а ИС2 находится в 9 строке, так как максимум первых разностей 127-113=14 находится, хотя среди простых чисел меньших $p^2_{r+1}=169$, но ближе к центру.
При m=30030 максимум первых разностей равный 22 находится среди вычетов больших $p^2_{r+1}=289$, т.е. еще ближе к центру ПСВ, поэтому очевидно тенденция, что номер строки ИС1 больше ИС2 сохранится.

[Sonic86]

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #598554 писал(а):

Уже начиная с m=2310 ИС1 находится в 10 строке разностей, а ИС2 находится в 9 строке, так как максимум первых разностей 127-113=14 находится, хотя среди простых чисел меньших $p^2_{r+1}=169$, но ближе к центру.
При m=30030 максимум первых разностей равный 22 находится среди вычетов больших $p^2_{r+1}=289$, т.е. еще ближе к центру ПСВ, поэтому очевидно тенденция, что номер строки ИС1 больше ИС2 сохранится.

Опровергли то есть? Ну значит вот так...

[vicvolf]

Sonic86, Ваша таблица прояснила вопрос!

-- 24.07.2012, 11:37 --

Sonic86 в сообщении #598131 писал(а):

Там еще остается самый плохой вопрос, но его на потом...

Что имеется в виду?

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #598566 писал(а):

Что имеется в виду?

Наверное, уже не играет роли...
Думается, что про рассуждениях неявно предполагалось, что чем больше длина пробела, тем ниже находится локальная ИС для данного пробела. Это требовало уточнений тоже.
Но сейчас пока не надо. Если надо будет - спрошу.

[vicvolf]

Проверил для $m=2\cdot3...13=30030$. Предположение подтвердилось! Номер строки ИС1 - 21. Номер строки ИС2 - 15!

[vicvolf]

Уточнил некоторые доказательства.
Теорема 3.
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов ПСВm на интервале от 0 до m содержит ИС.
Доказательство
На основания следствия теоремы 2 на интервале от 0 до m находится строка разностей, состоящая из одних нулей. Если выше строки, состоящей из одних нулей в треугольнике Гильбрайта, нет других строк, содержащих только числа 0 и 2, то строка, состоящая из одних нулей, удовлетворяет определению ИС. Если выше строки из одних нулей есть строки, состоящие только из чисел 0 и 2, то выберем ту из них, которая находится выше других. Данная строка удовлетворяет определению ИС ч.т.д. Назовем ее ИС1.
Следствие 1
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0,5m до 1,5m содержит ИС. Назовем ее ИС2.
Доказательство проводится аналогично теореме 3.
Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС. Номер строки ИС равен номеру строки ИС1, если номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 и равен номеру строки ИС2, если номер строки ИС2 больше номера строки ИС1.
Доказательство следует из теоремы 3, следствия 1 и свойства ИС.
Примечание. При m = 2, 6 треугольник Гильбрайта не имеет ИС1 и ИС2, но имеет ИС на интервале от 0 до 1,5m.
При m = 2 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 3
2
Рис. 2 Треугольник Гильбрайта при m=2 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 2 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится в 1-ой строке разностей.
При $m=2\cdot3=6$ получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 5 7
4 2
2
Рис. 3 Треугольник Гильбрайта при m=6 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 3 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится во 2-ой строке разностей.
Исследование положения строки ИС при m>6 приводятся ниже.
При $m=30=2\cdot3\cdot5$ получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0
Рис. 4 Треугольник Гильбрайта при m=30 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 4 видно, что ИС1 находится в 2-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 3-ей строке разностей. Следовательно, ИС находится в 3-ей строке разностей треугольника Гильбрайта.
При $m=210=2\cdot3\cdot5\cdot7$ ИС1 находится в 9-ой строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 15 строке разностей. Следовательно, ИС находится в 15-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
При $m=2310=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11$ ИС1 находится в 10-ой строке треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 9-ой строке разностей. Следовательно, ИС находится в 10-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
Таким образом, начиная с m=2310 номер строки ИС1 больше, чем номер строки ИС2. Это происходит потому, что максимум первых разностей для данного модуля находится ближе к значению 0,5m между вычетами 113 и 127 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m), но еще меньше значения $p^2_{r+1}=169$.
При увеличении значения m данная тенденция - номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 сохраняется, так как максимум первых разностей при увеличении m находится все ближе к значению 0,5m.
Например, для $m=30030=2\cdot3\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13$ максимум первых разностей уже находится между вычетами 9439 и 9461 (имеется также симметричное значение относительно 0,5m). При m=30030 ИС1 находится в 21 строке разностей треугольника Гильбрайта, а ИС2 – в 15 строке разностей. Следовательно, ИС находится в 21-ой строке разностей треугольника Гильбрайта.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ содержит ИС на интервале от 0 до nm, который является продолжением ИС на интервале от 0 до 1,5m, где n – натуральное число,
Доказательство. На основании следствия 2 теоремы 3 треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС.
По определению nПСВ$_m$, данная последовательность содержит разности в треугольнике Гильбрайта, периодически повторяющиеся с периодом m, в том числе и ИС на интервале от 0 до 1,5m, поэтому последовательность вычетов nПСВ$_m$ содержит строку индикатор сходимости на интервале от 0 до nm, который является продолжением ИС на интервале от 0 до 1,5m.
В качестве примера на рис.5 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием $3\cdot$ПСВ$_m$, где $m=30=2\cdot3\cdot5$, а n=3:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
Рис.5 Треугольник Гильбрайта с основанием $3\cdot$ПСВ$_{30}$
На рис.5 ИС выделена жирным шрифтом.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #599477 писал(а):

Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС. Номер строки ИС равен номеру строки ИС1, если номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 и равен номеру строки ИС2, если номер строки ИС2 больше номера строки ИС1.
Доказательство следует из теоремы 3, следствия 1 и свойства ИС.

Ааа, я не понял можно доказательство подробно или ссылку на него. Мне не очевидно. Я вот понимаю, если предполагать, что обе ИС имеют номер строки, не превосходящий половину высоты треугольника (или, что то же самое, не превосходящий половины числа членов исходной последовательности). Тогда мы просто продолжаем вышележащую ИС до нижележащей, и тогда левая ИС содержит не менее половины членов последовательности и правая ИС тоже - их объединяем - получается общая ИС.
А вот если хотя бы одна ИС имеет номер строки более половины числа членов последовательности - тогда неочевидно.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #599710 писал(а):

vicvolf в сообщении #599477 писал(а):

Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС. Номер строки ИС равен номеру строки ИС1, если номер строки ИС1 больше номера строки ИС2 и равен номеру строки ИС2, если номер строки ИС2 больше номера строки ИС1.
Доказательство следует из теоремы 3, следствия 1 и свойства ИС.

Ааа, я не понял можно доказательство подробно или ссылку на него. Мне не очевидно. Я вот понимаю, если предполагать, что обе ИС имеют номер строки, не превосходящий половину высоты треугольника (или, что то же самое, не превосходящий половины числа членов исходной последовательности). Тогда мы просто продолжаем вышележащую ИС до нижележащей, и тогда левая ИС содержит не менее половины членов последовательности и правая ИС тоже - их объединяем - получается общая ИС.
А вот если хотя бы одна ИС имеет номер строки более половины числа членов последовательности - тогда неочевидно.

При m=2, 6 данное условие не выполняется. В этих случаях вообще не существует ИС1 и ИС2 (об этом я писал в примечании к теореме 3), но существует ИС на интервале от 0 до 1,5m. Однако это не мешает выполнению теоремы 4. Для m=2 треугольник Гильбрайта будет:
1 3 5 7 9...
2 2 2 2......
Номер строки разностей с ИС равен 1, как и на интервале от 0 до 1,5m.
Для m=6 треугольник Гильбрайта будет:
1 5 7 11 13 17 19...
4 2 4 2 4 2....
2 2 2 2 2......
Номер строки разностей с ИС равен 2, как и на интервале от 0 до 1,5m.
При m>6 данное условие выполняется и существуют ИС1 и ИС2.
Для m=30 номер строки разностей ИС1 равен 2, для ИС2 -3, для ИС -3. Половина числа членов последовательности равна 4 >3.
Для m=210 номер строки разностей ИС1 равен 9, для ИС2 -15, для ИС -15. Половина числа членов последовательности равна 24 >15.
Для m=2310 номер строки разностей ИС1 равен 10, для ИС2 -9, для ИС -10 Половина числа членов последовательности равна 240 >10.
Для m=30030 номер строки разностей ИС1 равен 21, для ИС2 -15, для ИС -21. Половина числа членов последовательности равна 2800 >21.
Соотношение монотонно убывает: 3/4, 15/24, 10/240, 21/2800.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #599887 писал(а):

Соотношение монотонно убывает: 3/4, 15/24, 10/240, 21/2800.

Ну вот опять: если $a_1>a_2, a_2>a_3, a_3>a_4$, то отсюда не следует, что $(\forall n) a_n>a_{n+1}$
Доказательство есть или нет? (может в тексте есть?)

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #599477 писал(а):

Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС.

Хочу обратить внимание, что Ваше условие может не выполняться, а ИС на интервале от 0 до 1,5m существует.

Цитата:

Примечание. При m = 2, 6 треугольник Гильбрайта не имеет ИС1 и ИС2, но имеет ИС на интервале от 0 до 1,5m.
При m = 2 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 3
2
Рис. 2 Треугольник Гильбрайта при m=2 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 2 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится в 1-ой строке разностей.
При $m=2\cdot3=6$ получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 5 7
4 2
2
Рис. 3 Треугольник Гильбрайта при m=6 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 3 видно, что треугольник не имеет ИС1 и ИС2. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС находится во 2-ой строке разностей.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #600487 писал(а):

vicvolf писал(а):

Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m содержит ИС.

Это формулировка, а доказательства там явного нету, я про него и спрашиваю.

[vicvolf]

В работе - Odlyzko A.M. Iterated absolute values of differences of consecutive primes Math.Comp. 61, 373-380, 1993, на которую я ссылался в теме, введена функция G(N), которая похожа на номер строки ИС для простых чисел. Точнее номер строки ИС равен G(N)-1, т.к я учитывая только строки разностей. Там сказано, что G(N) существует для всех простых чисел, для которых она была проверена и его значение мало. Затем дается таблица, фрагменты которой я приведу.
Слева номер простого числа (аналог количества элементов в треугольнике Гильбрайта), справа G(N):
25 5
168 15
1229 35
9552 65
76498 95
664579 135
5761455 175
50847534 249
455052511 329
4118054813 417
37607912018 481
346065536839 635
Из таблицы видно, что (G(N)-1)/N существенно меньше 0,5.
Учитывая, что разности между простыми числами растут значительно быстрее,чем между ПСВ по понятным причинам, то указанное соотношение справедливо и для ПСВ.

[Sonic86]

Значит скорее всего утверждение, что номер ИС не превосходит половины высоты, верно.
Как бы его попробовать доказать?
Есть вот такой факт: в $\text{ПСВ}_M$ $2$ последовательные разности всегда различны (иначе бы в $\text{ПСВ}_M$ содержались числа $a,a+d,a+2d$, хотя бы одно из которых кратно $3$). Сам по себе факт дохлый. Может его можно как-то развить?

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #600743 писал(а):

Значит скорее всего утверждение, что номер ИС не превосходит половины высоты, верно.
Как бы его попробовать доказать?

Вы согласны, что номер строки ИС является $O(d_m)$, где $d_m$ - максимальная разность между вычетами при модуле m?