Исследование гипотезы Гильбрайта

[vorvalm]

Я этого не отрицаю, но согласитесь, ваша оценка выглядит тяжеловестно,
аргумент функционально связан довольно сложно.
Меня всегда интересовала оценка типа:
$2p_{r-1}\leqslant d_m\leqslant 2p_x$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608931 писал(а):

Я этого не отрицаю, но согласитесь, ваша оценка выглядит тяжеловестно,
аргумент функционально связан довольно сложно.
Меня всегда интересовала оценка типа:
$2p_{r-1}\leqslant d_m\leqslant 2p_x$

Что же делать! Не все так просто! . Верхняя оценка у Вас оказалась неточной!

[vorvalm]

Если внимательно посмотреть последовательность А048670 (ссылка Sonic86),
то можно заметить некоторую зависимость $d_m$ от $p_r$ и верхний предел искать в форме $f(x)\cdot p_r,$
где $f(x)$ - медленно возрастающая функция.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #608983 писал(а):

Если внимательно посмотреть последовательность А048670 (ссылка Sonic86),
то можно заметить некоторую зависимость $d_m$ от $p_r$ и верхний предел искать в форме $f(x)\cdot p_r,$
где $f(x)$ - медленно возрастающая функция.

Это на этом интервале, а если брать асимптотику $(p_r>2000)$, то она растет значительно быстрее. Кроме того в асимптотике я использовал формулу Мертенса - она дает некоторое превышение значений при малых значениях $p_r$. Формула $max(p_{n+1}-p_n)=(nlnn)^{0,53}$ дает неплохую аппроксимацию для максимальной разности между простыми числами и для малых n, но это конечно превышает значения для ПСВ. Надо также уточнить формулу: $n=0,28a^{p_r}/lnp_r + r- 1$. Для малых значений $p_r$ можно взять а=2,2. В этом случае, например, при $p_r=7$ мы получим $max(p_{n+1}-p_n)=13,7$. В этом случае фактическое значение $max(p_{n+1}-p_n)=14$ для простых чисел, а для ПСВ равно 10. При $p_r>2000$ надо брать значение а=2,83.

[vorvalm]

Сравнивать разности между вычетами ПСВ и простыми числами в этой ПСВ
по-моему нельзя. Единственное, что можно принять во внимание: если нам
будет известно, что в ПСВ нет разности между вычетами $d_m$,
то ее нет и среди простых чисел интервавла ($p_{r+1},p_{r+1}^2$).
А вот если эта разность есть в ПСВ, то это еще не значит, что она есть и в указанном интервале.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #609638 писал(а):

Сравнивать разности между вычетами ПСВ и простыми числами в этой ПСВ
по-моему нельзя. Единственное, что можно принять во внимание: если нам
будет известно, что в ПСВ нет разности между вычетами $d_m$,
то ее нет и среди простых чисел интервавла ($p_{r+1},p_{r+1}^2$).
А вот если эта разность есть в ПСВ, то это еще не значит, что она есть и в указанном интервале.

Нет я не сравниваю максимальную разность в ПСВ с простыми числами данной ПСВ на интервале ($p_{r+1},p_{r+1}^2$). Я ищу оценку верхней границы максимальной разности в ПСВ. При оценке я использую то, что максимум разности ПСВ достигается на интервале от 0 до 0,5m, а также то, что разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами. Так как разности между простыми числами возрастают с увеличением номера простого числа, как $p_n^{0,53}$, то максимум этой разности достигается при номере простого числа соответствующем середине ПСВ -0,5m. Исходя из этого делается оценка верхней границы максимальной разности ПСВ.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #609713 писал(а):

разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами.

Как это понимать?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610159 писал(а):

vicvolf в сообщении #609713 писал(а):

разности между вычетами ПСВ меньше соответствующих номеров разностей между простыми числами.

Как это понимать?

Возьмем, например, вычеты ПСВ(30):
$a_1=1,a_2=7,a_3=11,a_4=13,....$
и соответственно простые числа:
$p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7,p_5=11,p_5=13,...$.
Так вот разность вычетов ПСВ - $a_4-a_3=13-11=2$ соответствует разности между простыми числами - $p_5-p_4=13-11=2$.

[vorvalm]

Т.е. индексы простых чисел не совпадают с индексами вычетов ПСВ
в интервале ($1, p_{r+1}^2$).
Вычеты ПСВ в указанном интервале являются простыми числами, кроме 1,
и их индексы будут изменятся с ростом $p_r$.
Например, при $M=30,\;a_5=p_7=17,$ при
$M=210,\;a_5=p_8=19,$ при
$M=2310,\;a_5=p_9=23$ и т.д.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610335 писал(а):

Т.е. индексы простых чисел не совпадают с индексами вычетов ПСВ
в интервале ($1, p_{r+1}^2$).
Вычеты ПСВ в указанном интервале являются простыми числами, кроме 1,
и их индексы будут изменятся с ростом $p_r$.
Например, при $M=30,\;a_5=p_7=17,$ при
$M=210,\;a_5=p_8=19,$ при
$M=2310,\;a_5=p_9=23$ и т.д.

Да. поэтому номер простого числа для оценки $p_n^{0,53}$ вычисляется по формуле: $n=0,5\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i))+r-1$, где $0,5\varphi(\prod_{i = 1}^{r}(p_i))=0,28a^{p_r}/lnp_r$.

[vorvalm]

При этом $\prod_1^r p_i=M(p_r)$ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610371 писал(а):

При этом $\prod_1^r p_i=M(p_r)$ ?

Да, конечно.

[vorvalm]

Что это даст в решении гипотезы Гильбрайта?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #610759 писал(а):

Что это даст в решении гипотезы Гильбрайта?

Доказательство леммы 2 для больших значений $p_r$.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #602709 писал(а):

Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИС в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.

Так. Если я правильно помню, здесь в основании треугольника лежит последовательность $\{2;3;...;p_r\}\cup\text{ПСВ}_m$.

vicvolf в сообщении #602709 писал(а):

Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: $2, p_{r+1}-1, 2, p_{r+1}-1, 2$.

Непонятно. У нас $k=k(r)$, $k$ не зависит больше ни от чего, в т.ч. не зависит и от неких разностей (я догадываюсь, что Вы сказать хотели, но хочу точной формулировки).