2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 19  След.
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2012, 15:07 


23/02/12
3234
Добрый день! За счет чего происходит увеличение максимальной разности в ПСВ$_m$ больше $2p_{r-1}$, начиная с $m>2\cdot3...23$ - dm=40? Интервалы между простыми числами, например, при $p^2_{r+1}=29^2=841$ значительно меньше. Здесь максимальные разности находятся значительно ближе к 0,5m, но $40>2p_{r-1}=38$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2012, 18:37 


31/12/10
1555
Расположение разностей $d=2p_{r-1}$ в ПСВ мы можем определить теоретически.
Они находятся на стыках $nM_{r-1}.$
Это означает, что даже при $n=1$ эти разности будут находится
гораздо "дальше", чем $p^2_{r+1}$ (кроме $d=14$).
По мере увеличения модуля ПСВ в ее "недрах" образуются разности $d>2p_{r-1}$ по законам,
которых мы пока не знаем.
Можно лишь ориентироваться гипотезой Лежандра и т.п.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение30.07.2012, 20:23 


23/02/12
3234
vorvalm в сообщении #597172 писал(а):
по моим данным она удерживается в интервале $2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < 2p_{r+1}.$

Тогда из каких соображений Вы указывали верхнюю границу -$2p_{r+1}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 08:18 


31/12/10
1555
Когда я занимался этим вопросом, компьютеры были недоступны.
Недавно я вновь проверил свои данные и увы, они оказались не точными.
Так что в интервале известна только нижняя граница
$2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < ?$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 09:39 


23/02/12
3234
vorvalm в сообщении #601356 писал(а):
Так что в интервале известна только нижняя граница
$2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < ?$

Жаль, хотелось бы иметь формальную оценку сверху!

-- 31.07.2012, 09:42 --

vorvalm в сообщении #601124 писал(а):
Можно лишь ориентироваться гипотезой Лежандра
А какую Вы имеете в виду?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 09:54 


31/12/10
1555
$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 13:23 


23/02/12
3234
vorvalm в сообщении #601378 писал(а):
$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$

В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 уже доказано, что $p_{n+1}-p_n<(p_n)^u$+ε, где υ=0,525.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 15:53 


31/12/10
1555
Но это все-таки не $\sqrt{p_n}$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение31.07.2012, 16:41 


23/02/12
3234
Почти, зато это уже не гипотеза, а доказанное утверждение.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение06.08.2012, 20:52 


23/02/12
3234
Добрый день!
Как найти асимтотику роста числа членов ПСВ не превосходящих половину модуля, т.е функции:
0,5\varphi(m), где m=2\cdot3...p_r, или функции n=4\cdot6...p_{r}-1?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение07.08.2012, 09:28 


31/12/10
1555
По Мертенсу

$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$

здесь постоянная $A$ отличается от постоянной Мертенса

$C=e^{- \gamma}$

Ориентировочно можно считать $A=e^{-1}$

Отсюда $0,5\varphi(M) \sim 0,5AM/\ln M$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение07.08.2012, 14:23 


23/02/12
3234
vorvalm в сообщении #603690 писал(а):
По Мертенсу
$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$

А где это можно посмотреть? Можно ссылку?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение07.08.2012, 19:10 


31/12/10
1555
К.Прахар.1967. стр.94.
Я заменил $x=M=p_r \#$, но т.к. мы берем произведение
не по всем $p<M,$ но только от 2 до $p_r,$ то изменяется постоянная $(e^{-\gamma}).$
Теоретически найти эту постоянную мне не удалось, но практически она
приближается к $e^{-1}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение08.08.2012, 17:55 


23/02/12
3234
vorvalm в сообщении #603690 писал(а):
По Мертенсу
$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$
здесь постоянная $A$ отличается от постоянной Мертенса
$C=e^{- \gamma}$
Ориентировочно можно считать $A=e^{-1}$
Отсюда $0,5\varphi(M) \sim 0,5AM/\ln M$

Спасибо, действительно по теореме 117 (Бухштаб стр. 94) $\varphi(M)/M=$П$(1-{p_i}^{-1})$, где i берется от 1 до r.
С другой стороны по Мертенсу (Бухштаб стр. 355) при $x=p_r$ получаем:
П$(1-{p_i}^{-1}) \sim e^{- c}/\ln p_r$, где с-постоянная Эйлера.
Поэтому у Вас небольшая неточность:
$0,5\varphi(M) \sim 0,5M\cdot e^{- c}/\ln p_r$.
Но все равно мне это ничего не дает, так как справа стоит $M=2\cdot3....p_r$. Это не лучше, чем $0,5\varphi(M)=4\cdot 6....p_r-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение09.08.2012, 08:18 


31/12/10
1555
Да, у вас все правильно, но использование асимптотики в конкретных,
локальных вычислениях не дает достаточно точных результатов.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group