О проблеме Гольдбаха

[vicvolf]

Добрый день! За счет чего происходит увеличение максимальной разности в ПСВ$_m$ больше $2p_{r-1}$, начиная с $m>2\cdot3...23$ - dm=40? Интервалы между простыми числами, например, при $p^2_{r+1}=29^2=841$ значительно меньше. Здесь максимальные разности находятся значительно ближе к 0,5m, но $40>2p_{r-1}=38$?

[vorvalm]

Расположение разностей $d=2p_{r-1}$ в ПСВ мы можем определить теоретически.
Они находятся на стыках $nM_{r-1}.$
Это означает, что даже при $n=1$ эти разности будут находится
гораздо "дальше", чем $p^2_{r+1}$ (кроме $d=14$).
По мере увеличения модуля ПСВ в ее "недрах" образуются разности $d>2p_{r-1}$ по законам,
которых мы пока не знаем.
Можно лишь ориентироваться гипотезой Лежандра и т.п.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #597172 писал(а):

по моим данным она удерживается в интервале $2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < 2p_{r+1}.$

Тогда из каких соображений Вы указывали верхнюю границу -$2p_{r+1}$?

[vorvalm]

Когда я занимался этим вопросом, компьютеры были недоступны.
Недавно я вновь проверил свои данные и увы, они оказались не точными.
Так что в интервале известна только нижняя граница
$2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < ?$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #601356 писал(а):

Так что в интервале известна только нижняя граница
$2p_{r-1}\leqslant d_{\max} < ?$

Жаль, хотелось бы иметь формальную оценку сверху!

-- 31.07.2012, 09:42 --

vorvalm в сообщении #601124 писал(а):

Можно лишь ориентироваться гипотезой Лежандра

А какую Вы имеете в виду?

[vorvalm]

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #601378 писал(а):

$p_{n+1}-p_n<\sqrt{p_n}$

В работе Pintz, J. "Very large gaps between consecutive primes". J. Number Theory 63 (2): 286–301, 1997 уже доказано, что $p_{n+1}-p_n<(p_n)^u$+ε, где υ=0,525.

[vorvalm]

Но это все-таки не $\sqrt{p_n}$

[vicvolf]

Почти, зато это уже не гипотеза, а доказанное утверждение.

[vicvolf]

Добрый день!
Как найти асимтотику роста числа членов ПСВ не превосходящих половину модуля, т.е функции:
0,5\varphi(m), где m=2\cdot3...p_r, или функции n=4\cdot6...p_{r}-1?

[vorvalm]

По Мертенсу

$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$

здесь постоянная $A$ отличается от постоянной Мертенса

$C=e^{- \gamma}$

Ориентировочно можно считать $A=e^{-1}$

Отсюда $0,5\varphi(M) \sim 0,5AM/\ln M$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #603690 писал(а):

По Мертенсу
$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$

А где это можно посмотреть? Можно ссылку?

[vorvalm]

К.Прахар.1967. стр.94.
Я заменил $x=M=p_r \#$, но т.к. мы берем произведение
не по всем $p<M,$ но только от 2 до $p_r,$ то изменяется постоянная $(e^{-\gamma}).$
Теоретически найти эту постоянную мне не удалось, но практически она
приближается к $e^{-1}$.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #603690 писал(а):

По Мертенсу
$\varphi(M)/M \sim A/\ln M$, $M=p_r\#.$
здесь постоянная $A$ отличается от постоянной Мертенса
$C=e^{- \gamma}$
Ориентировочно можно считать $A=e^{-1}$
Отсюда $0,5\varphi(M) \sim 0,5AM/\ln M$

Спасибо, действительно по теореме 117 (Бухштаб стр. 94) $\varphi(M)/M=$П$(1-{p_i}^{-1})$, где i берется от 1 до r.
С другой стороны по Мертенсу (Бухштаб стр. 355) при $x=p_r$ получаем:
П$(1-{p_i}^{-1}) \sim e^{- c}/\ln p_r$, где с-постоянная Эйлера.
Поэтому у Вас небольшая неточность:
$0,5\varphi(M) \sim 0,5M\cdot e^{- c}/\ln p_r$.
Но все равно мне это ничего не дает, так как справа стоит $M=2\cdot3....p_r$. Это не лучше, чем $0,5\varphi(M)=4\cdot 6....p_r-1$.

[vorvalm]

Да, у вас все правильно, но использование асимптотики в конкретных,
локальных вычислениях не дает достаточно точных результатов.