Книжку посоветуйте: group action

[lek]

apriv в сообщении #599850 писал(а):

Я все прекрасно понимаю, кроме самой концепции «такое-то слово можно заменить на эквивалентную переформулировку, поэтому оно не нужно». Нет ничего плохого в избыточности и даже в том, что в математике одинаковые вещи называются разными именами.

Ну что же... Эта точка зрения тоже имеет право на существование. Надо только уметь вовремя остановиться. Ведь эквивалентных формулировок может быть много и даже очень много...

[apriv]

lek в сообщении #599861 писал(а):

Да и в теории групп (в отличие от теории колец, например) термин "антигомоморфизм", насколько я знаю, не встречается.

Простите за ссылку на википедию, но вот тут пишут: In group theory, an antihomomorphism is a map between two groups that reverses the order of multiplication.

[lek]

AV_77, все же не понял. В выделенном вами фрагменте несколько утверждений. Что вы имеете ввиду? Вопрос сформулируйте...

apriv, да бог ним с этим определением. Нравится - используйте. Но думаю, что в стандартных учебных курсах по теории групп (Каргаполов-Мерзляков, Кострикин, Холл,...) вы такого не найдете. Терминология давно сложилась и меняется весьма медленно...

[Joker_vD]

lek
Третье издание "Теории групп" Куроша вышло в 1967 году, но:

[lek]

Joker_vD, я в курсе... Но это не учебный курс, а энциклопедический (охватывает период развития теории групп до 1965 года). Там много чего еще есть, что исследовалось, а затем было забыто (или почти забыто) и отброшено за ненужностью...

[AlexDem]

А так - правильно (в обозначениях lek)?

$xa = R_a(x)$

$R_a^{-1}(xa) = x$

$R_a((xa)^{-1}) = x$

$R_a(a^{-1}x^{-1}) = x$

$a^{-1}x^{-1} = R_a^{-1}(x)$

$a^{-1}x^{-1} = R_a(x^{-1})$

$a^{-1}x' = R_a(x')$

-- Пт июл 27, 2012 13:36:03 --

Ещё бы как-то добиться того, чтобы $x$ не трогать, потому что множество $X$ - не обязательно группа, откуда там обратный... Или здесь есть какие-то дополнительные соображения?

[AlexDem]

Хотя вот - поскольку $X$ это множество, то обратный задаём как хотим, например $x^{-1} = x$, тогда получим чётко:

$a^{-1}x = R_a(x)$

как-то так...

[apriv]

AlexDem в сообщении #599999 писал(а):

А так - правильно (в обозначениях lek)?

Это какая-то бессмысленная выкладка (во всяком случае, пока нет каких-то пояснений). Задумайтесь, что тут определено, а что нет; что такое $xa$ и $ax$ и почему это вдруг $(xa)^{-1}=a^{-1}x^{-1}$, если $x^{-1}$ не определено никак или определено совершенно произвольно, как Вы далее предлагаете.

[lek]

AlexDem, стандартная идеология здесь такая. Есть группа $G$ и есть некоторое множество $X$. Надо определить левое и правое действие $G$ на $X$. Это можно сделать следующим образом. Определим два отображения $L:G\to E(X)$ и $R:G\to E(X)$ группы $G$ в группу преобразований $E(X)$ множества $X$ формулами

$$ L:a\to L_{a},\qquad R:a\to R_{a}. $$

Операторы $L_{a}$ и $R_{a}$ порождают в $E(X)$ некоторую подгруппу (поэтому они называются порождающими данной подгруппы). Потребуем, чтобы эти операторы удовлетворяли следующим тождествам:

$$ L_{ab}=L_{a}L_{b},\quad R_{ab}=R_{b}L_{a},\quad L_{a}R_{b}=R_{b}L_{a},\quad L_{a^{-1}}=L_{a}^{-1},\quad R_{a^{-1}}=R_{a}^{-1} . $$

Выписанные тождества называются определяющими для данной группы операторов (замечу, что любую группу можно задать некоторой системой порождающих элементов и определяющих соотношений). После того, как найдена полная система порождающих, удовлетворяющих этим определяющим соотношениям считается, что задача представления исходной группы операторами (действующими на $X$) решена.
Обратите внимание на то, что здесь мы не накладываем каких-либо дополнительных условий на элементы $X$ (и это обычный подход), а работаем только с группой операторов. Таким образом только первая пара ваших уравнений имеет смысл в этой (общепринятой) интерпретации.

[Munin]

AlexDem в сообщении #600015 писал(а):

Хотя вот - поскольку $X$ это множество, то обратный задаём как хотим, например $x^{-1} = x$...

Понятие "обратный" подразумевает вполне конкретную вещь. Если вы хотите ввести какую-то произвольную одноместную операцию на множестве, нет повода называть её "обратный элемент". Её есть повод так называть, если на множестве есть двуместная операция, $x\otimes y\in X,$ такая что для неё есть единица $e$: $x\otimes e=e\otimes x=x,$ и некоторые элементы её порождают: $x\otimes y=e.$ Тогда можно ввести одноместную операцию, указывающую для элемента его "напарника" для порождения единицы (мы пока ещё не утверждаем, что он всегда существует, хотя очевидно, что он не более чем один), и вот её можно называть "обратный элемент", и обозначать $x^{-1}.$ А без этого всего, вы имеете просто одноместную операцию с неоговорёнными свойствами, $x^\dagger,$ $\tilde{x}$ или $\pi x,$ и можете задавать её как хотите, хоть $x^\dagger=x,$ но смысла обратного элемента здесь не будет.

[AlexDem]

Munin, я только зевнул, что там зацепляется этот обратный в формулах, поэтому произвольно определить его нельзя -- а так, почему бы нет, через него бы определялась какая-то бинарная операция на $X$. Тем не менее, если иметь дело с группой $X = G$, то вывод примерно правильный, и видно, откуда вообще у этого изоморфизма ноги растут.

[Munin]

AlexDem в сообщении #600065 писал(а):

там зацепляется этот обратный в формулах

Как именно? Распишите, указывая разные операции разными значками, пожалуйста.

[lek]

AlexDem в сообщении #600065 писал(а):

Тем не менее, если иметь дело с группой $X=G$, то вывод примерно правильный, и видно, откуда вообще у этого изоморфизма ноги растут.

Даже в этом случае только две ваши первые формулы будут верны. Остальные же тождества для произвольной группы не справедливы. Они будут справедливы только для очень узкого класса групп - абелевых групп с элементами порядка 2, т.е. если к групповым тождествам добавить условия

$$ ab=ba,\qquad a^2=1. $$

[AlexDem]

lek, ага, понял, спасибо. Просто я, не посмотрев, использовал следующее:

lek в сообщении #599807 писал(а):

Используя тождество ассоциативности и свойство обратимости элементов группы, легко показать, что

$$ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},\qquad\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1} $$

$R_a^{-1}(xa) = x \qquad (2)$

$R_a((xa)^{-1}) = x \qquad (3)$

то есть в данном случае - формулу $\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}$, а она только для гомеоморфизма верна.

Всё равно мне стало немного более понятно, думаю, что с Вашим сегодняшним комментарием должен уже разобраться.

[lek]

Смотрите:

$$ R_{a}^{-1}(xa)=R_{a^{-1}}(xa)=(xa)a^{-1}=x(aa^{-1})=x. $$

Это верно.

$$ R_{a}((xa)^{-1})=((xa)^{-1})a=(a^{-1}x^{-1})a\ne x. $$

А это верно только для абелевых групп с элементами порядка 2. Поскольку только в этом случае

$$ (a^{-1}x^{-1})a=(x^{-1}a^{-1})a=x^{-1}(a^{-1}a)=x^{-1}=x. $$