2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
apriv в сообщении #599850 писал(а):
Я все прекрасно понимаю, кроме самой концепции «такое-то слово можно заменить на эквивалентную переформулировку, поэтому оно не нужно». Нет ничего плохого в избыточности и даже в том, что в математике одинаковые вещи называются разными именами.

Ну что же... Эта точка зрения тоже имеет право на существование. Надо только уметь вовремя остановиться. Ведь эквивалентных формулировок может быть много и даже очень много...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:56 
Заслуженный участник


08/01/12
915
lek в сообщении #599861 писал(а):
Да и в теории групп (в отличие от теории колец, например) термин "антигомоморфизм", насколько я знаю, не встречается.

Простите за ссылку на википедию, но вот тут пишут: In group theory, an antihomomorphism is a map between two groups that reverses the order of multiplication.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 23:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
AV_77, все же не понял. В выделенном вами фрагменте несколько утверждений. Что вы имеете ввиду? Вопрос сформулируйте...

apriv, да бог ним с этим определением. Нравится - используйте. Но думаю, что в стандартных учебных курсах по теории групп (Каргаполов-Мерзляков, Кострикин, Холл,...) вы такого не найдете. Терминология давно сложилась и меняется весьма медленно...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 00:29 
Заслуженный участник


09/09/10
3729
lek
Третье издание "Теории групп" Куроша вышло в 1967 году, но:

Изображение

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 09:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
Joker_vD, я в курсе... Но это не учебный курс, а энциклопедический (охватывает период развития теории групп до 1965 года). Там много чего еще есть, что исследовалось, а затем было забыто (или почти забыто) и отброшено за ненужностью...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 12:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
А так - правильно (в обозначениях lek)?

$xa = R_a(x)$

$R_a^{-1}(xa) = x$

$R_a((xa)^{-1}) = x$

$R_a(a^{-1}x^{-1}) = x$

$a^{-1}x^{-1} = R_a^{-1}(x)$

$a^{-1}x^{-1} = R_a(x^{-1})$

$a^{-1}x' = R_a(x')$

-- Пт июл 27, 2012 13:36:03 --

Ещё бы как-то добиться того, чтобы $x$ не трогать, потому что множество $X$ - не обязательно группа, откуда там обратный... Или здесь есть какие-то дополнительные соображения?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 13:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Хотя вот - поскольку $X$ это множество, то обратный задаём как хотим, например $x^{-1} = x$, тогда получим чётко:

$a^{-1}x = R_a(x)$

как-то так...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 14:15 
Заслуженный участник


08/01/12
915
AlexDem в сообщении #599999 писал(а):
А так - правильно (в обозначениях lek)?

Это какая-то бессмысленная выкладка (во всяком случае, пока нет каких-то пояснений). Задумайтесь, что тут определено, а что нет; что такое $xa$ и $ax$ и почему это вдруг $(xa)^{-1}=a^{-1}x^{-1}$, если $x^{-1}$ не определено никак или определено совершенно произвольно, как Вы далее предлагаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 14:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
AlexDem, стандартная идеология здесь такая. Есть группа $G$ и есть некоторое множество $X$. Надо определить левое и правое действие $G$ на $X$. Это можно сделать следующим образом. Определим два отображения $L:G\to E(X)$ и $R:G\to E(X)$ группы $G$ в группу преобразований $E(X)$ множества $X$ формулами
$$
L:a\to L_{a},\qquad R:a\to R_{a}.
$$
Операторы $L_{a}$ и $R_{a}$ порождают в $E(X)$ некоторую подгруппу (поэтому они называются порождающими данной подгруппы). Потребуем, чтобы эти операторы удовлетворяли следующим тождествам:
$$
L_{ab}=L_{a}L_{b},\quad  R_{ab}=R_{b}L_{a},\quad  L_{a}R_{b}=R_{b}L_{a},\quad L_{a^{-1}}=L_{a}^{-1},\quad R_{a^{-1}}=R_{a}^{-1} .
$$
Выписанные тождества называются определяющими для данной группы операторов (замечу, что любую группу можно задать некоторой системой порождающих элементов и определяющих соотношений). После того, как найдена полная система порождающих, удовлетворяющих этим определяющим соотношениям считается, что задача представления исходной группы операторами (действующими на $X$) решена.
Обратите внимание на то, что здесь мы не накладываем каких-либо дополнительных условий на элементы $X$ (и это обычный подход), а работаем только с группой операторов. Таким образом только первая пара ваших уравнений имеет смысл в этой (общепринятой) интерпретации.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 15:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
AlexDem в сообщении #600015 писал(а):
Хотя вот - поскольку $X$ это множество, то обратный задаём как хотим, например $x^{-1} = x$...

Понятие "обратный" подразумевает вполне конкретную вещь. Если вы хотите ввести какую-то произвольную одноместную операцию на множестве, нет повода называть её "обратный элемент". Её есть повод так называть, если на множестве есть двуместная операция, $x\otimes y\in X,$ такая что для неё есть единица $e$: $x\otimes e=e\otimes x=x,$ и некоторые элементы её порождают: $x\otimes y=e.$ Тогда можно ввести одноместную операцию, указывающую для элемента его "напарника" для порождения единицы (мы пока ещё не утверждаем, что он всегда существует, хотя очевидно, что он не более чем один), и вот её можно называть "обратный элемент", и обозначать $x^{-1}.$ А без этого всего, вы имеете просто одноместную операцию с неоговорёнными свойствами, $x^\dagger,$ $\tilde{x}$ или $\pi x,$ и можете задавать её как хотите, хоть $x^\dagger=x,$ но смысла обратного элемента здесь не будет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 15:48 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Munin, я только зевнул, что там зацепляется этот обратный в формулах, поэтому произвольно определить его нельзя -- а так, почему бы нет, через него бы определялась какая-то бинарная операция на $X$. Тем не менее, если иметь дело с группой $X = G$, то вывод примерно правильный, и видно, откуда вообще у этого изоморфизма ноги растут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72408
AlexDem в сообщении #600065 писал(а):
там зацепляется этот обратный в формулах

Как именно? Распишите, указывая разные операции разными значками, пожалуйста.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 16:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
AlexDem в сообщении #600065 писал(а):
Тем не менее, если иметь дело с группой $X=G$, то вывод примерно правильный, и видно, откуда вообще у этого изоморфизма ноги растут.

Даже в этом случае только две ваши первые формулы будут верны. Остальные же тождества для произвольной группы не справедливы. Они будут справедливы только для очень узкого класса групп - абелевых групп с элементами порядка 2, т.е. если к групповым тождествам добавить условия
$$
ab=ba,\qquad a^2=1.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 16:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
lek, ага, понял, спасибо. Просто я, не посмотрев, использовал следующее:
lek в сообщении #599807 писал(а):
Используя тождество ассоциативности и свойство обратимости элементов группы, легко показать, что
$$ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},\qquad\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1} $$


$R_a^{-1}(xa) = x \qquad (2)$

$R_a((xa)^{-1}) = x \qquad (3)$

то есть в данном случае - формулу $\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}$, а она только для гомеоморфизма верна.

Всё равно мне стало немного более понятно, думаю, что с Вашим сегодняшним комментарием должен уже разобраться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 16:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
843
ЦФО, Россия
Смотрите:
$$
R_{a}^{-1}(xa)=R_{a^{-1}}(xa)=(xa)a^{-1}=x(aa^{-1})=x.
$$
Это верно.
$$
R_{a}((xa)^{-1})=((xa)^{-1})a=(a^{-1}x^{-1})a\ne x.
$$
А это верно только для абелевых групп с элементами порядка 2. Поскольку только в этом случае
$$
(a^{-1}x^{-1})a=(x^{-1}a^{-1})a=x^{-1}(a^{-1}a)=x^{-1}=x.
$$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group