2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение27.07.2012, 17:24 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Да, я уже понял (так же проверил) -- просто много всего сразу, не успеваю во всё сразу вникнуть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 18:23 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Посмотрев ещё раз, что мне пытались втолковать lek на протяжении нескольких сообщений и apriv в этом сообщении:

apriv в сообщении #599607 писал(а):
В первом равенстве написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $gh$. Во втором равенствен написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $hg$.


-- и даже Munin, сложил следующую картину. Насколько она далека от истины? :-)

==

В общем, получается примерно так: мы ищем какой-то гомоморфизм $G$ в симметрическую группу над $X$, которую обозначаем $E(X)$. Гомоморфизм всегда существует, не обязательно "хороший", но хотя бы в единичный элемент из $E(X)$ мы всю $G$ отобразить сможем.

Элементы $E(X)$, затронутые гомоморфизмом, образуют подгруппу $P$ (поскольку $G$ у нас группа). Преобразование $x \mapsto x^{-1}$ на этих элементах является анти-изоморфизмом, то есть определяет подгруппу $P^{-1} = P$ с теми же элементами и той же операцией $\circ$, но теперь элементы $G$ ставятся в соответствие элементам $P$ по-другому.

Ну а запись вида $h \cdot g \cdot x$ или $x \cdot g \cdot h$ -- делается для красоты, вместо этого можно писать $(h \circ g) (x) = h(g(x))$ и $(g \circ h) (x) = h(g(x))$, т.е. $x$ здесь -- аргумент функции, с ним никакое изменение порядка аргументов не нужно. А левое иди правое действие приводят к разным нотациям записи суперпозиции -- прямой или обратной.

?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:09 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
AlexDem в сообщении #600496 писал(а):
Элементы $E(X)$, затронутые гомоморфизмом, образуют подгруппу $P$ (поскольку $G$ у нас группа). Преобразование $x \mapsto x^{-1}$ на этих элементах является анти-изоморфизмом, то есть определяет подгруппу $P^{-1} = P$ с теми же элементами и той же операцией $\circ$, но теперь элементы $G$ ставятся в соответствие элементам $P$ по-другому.

Подгруппы $P$ и $P'$, соответствующие левому и правому действиям, вообще говоря, не совпадают. Но антиизоморфны.


AlexDem в сообщении #600496 писал(а):
Ну а запись вида $h \cdot g \cdot x$ или $x \cdot g \cdot h$ -- делается для красоты, вместо этого можно писать $(h \circ g) (x) = h(g(x))$ и $(g \circ h) (x) = h(g(x))$, т.е. $x$ здесь -- аргумент функции, с ним никакое изменение порядка аргументов не нужно. А левое иди правое действие приводят к разным нотациям записи суперпозиции -- прямой или обратной.

А запись да, для удобства. Ведь удобнее написать $ax$ или $xa$ вместо $f_a(x)$ или $(x)g_a$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:22 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
AV_77 в сообщении #600510 писал(а):
Подгруппы $P$ и $P'$, соответствующие левому и правому действиям, вообще говоря, не совпадают.

Почему? Они ведь вроде ничем не отличаются -- носитель и сигнатура совпадают.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:24 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Элементы у них разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:32 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Я исхожу из того, что $P$ -- группа, поэтому содержит все обратные элементы, т.е. замкнута относительно $x \mapsto x^{-1}$. Как могут получиться другие элементы?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:42 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Обратные тут совершенно не при чем.
Если два гомоморфизма $f \colon G \to S(G)$ и $g \colon G \to S(G)$. Они каждому элементу $a \in G$ сопоставляют подстановки $f_a$ и $g_a$, следующим образом: $f_a(x) = ax$ и $(x)g_a = xa$. Каждая такая подстановка однозначно определяется тем,куда переводится единичный элемент $e \in G$: если $f_a = g_b$ для некоторых $a, b \in G$, то из равенства $f_a(e) = ae = a$ и $(e)g_b = eb = b$ следует, что $a = b$. Теперь из равенства $f_a = g_a$ следует, что для любого $x \in G$ выполняется $ax = xa$, то есть $a$ - элемент центра. В остальных случаях подстановки $f_a$ и $g_a$ разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 19:59 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
А, ну если там какой-то другой антиизоморфизм взять, не $x \mapsto x^{-1}$ -- тогда да. Просто меня больше всего интересовало то, почему парный гомоморфизм гарантировано существует.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 20:02 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
AlexDem в сообщении #600526 писал(а):
А, ну если там какой-то другой антиизоморфизм взять, не $x \mapsto x^{-1}$ -- тогда да.

Это ни как не связано с выбором антиизоморфизма. Просто группы левого и правого представления состоят из разных элементов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 20:17 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
839
ЦФО, Россия
AV_77 в сообщении #600528 писал(а):
Это ни как не связано с выбором антиизоморфизма. Просто группы левого и правого представления состоят из разных элементов.

AlexDem, дело в том, что образ группы $G$ в $E(X)$ равен прямому произведению $G'=G_1\times G_2$ подгрупп $G_1$ и $G_2$, порожденных операторами $L_{a}$ и $R_{a}$ соответственно. Поэтому их пересечение равно $\{1}\}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 20:35 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
lek в сообщении #600531 писал(а):
AlexDem, дело в том, что образ группы $G$ в $E(X)$ равен прямому произведению $G'=G_1\times G_2$ подгрупп $G_1$ и $G_2$, порожденных операторами $L_{a}$ и $R_{a}$ соответственно. Поэтому их пересечение равно $\{1\}$.

Образ $G$ это либо $G_1$, либо $G_2$, но никак не их прямое произведение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение28.07.2012, 21:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
839
ЦФО, Россия
AV_77 в сообщении #600539 писал(а):
Образ $G$ это либо $G_1$, либо $G_2$, но никак не их прямое произведение.

Да, конечно $G'$ не образ $G$, а группа, порожденная в $E(X)$ всеми операторами $L_{a}$ и $R_{a}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение29.07.2012, 14:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
839
ЦФО, Россия
AV_77, я тут еще раз прикинул... Ваше утверждение о том, что
AV_77 в сообщении #600528 писал(а):
... группы левого и правого представления состоят из разных элементов

ровно как и мое
lek в сообщении #600531 писал(а):
$G'=G_1\times G_2$

в общем случае не справедливо. Некоторые операторы левого и правого представления могут совпадать. Тривиальный пример - левое и правое действие абелевой группы на себе (в этом случае $L_{a}=R_{a}$ для всех $a\in G$). В общем же случае о группе $G'$ (которая порождается всеми операторами вида $L_{a}$ и $R_{a}$) можно сказать следующее: во-первых
$$
G'=G_1G_2
$$
(т.е. любой элемент $x\in G'$ представим в виде $x=L_{a}R_{b}$ для некоторых $a,b\in G$) и во вторых
$$
G_1\cap G_2\subset Z(G'),
$$
где $Z(G')$ - центр группы $G'$ (т.е. $xy=yx$ для всех $x\in  Z(G')$ и $y\in G'$). Эти утверждения легко доказать, если использовать тождества
$$
L_{ab}=L_{a}L_{b},\quad  R_{ab}=R_{b}L_{a},\quad  L_{a}R_{b}=R_{b}L_{a},\quad L_{a^{-1}}=L_{a}^{-1},\quad R_{a^{-1}}=R_{a}^{-1} .
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение29.07.2012, 14:25 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
lek в сообщении #600711 писал(а):
AV_77, я тут еще раз прикинул...

В общем случае они не совпадают. Это имелось в виду.
AV_77 в сообщении #600522 писал(а):
Если два гомоморфизма $f \colon G \to S(G)$ и $g \colon G \to S(G)$. Они каждому элементу $a \in G$ сопоставляют подстановки $f_a$ и $g_a$, следующим образом: $f_a(x) = ax$ и $(x)g_a = xa$. Каждая такая подстановка однозначно определяется тем,куда переводится единичный элемент $e \in G$: если $f_a = g_b$ для некоторых $a, b \in G$, то из равенства $f_a(e) = ae = a$ и $(e)g_b = eb = b$ следует, что $a = b$. Теперь из равенства $f_a = g_a$ следует, что для любого $x \in G$ выполняется $ax = xa$, то есть $a$ - элемент центра. В остальных случаях подстановки $f_a$ и $g_a$ разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение29.07.2012, 14:32 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
839
ЦФО, Россия
Все так. OK!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group