2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:13 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Вот здесь встречаю запись:

Цитата:
There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.


Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:23 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Отчего ж не получается? В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие (ну, или наоборот).

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:31 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Ну вот пусть у нас $x \in R$, берём $10$ и пишем: $2 \cdot 10 := 10 \cdot \frac 1 2$, то есть $20 := 5$, т.е. ":=" - это не равенство.

apriv в сообщении #599581 писал(а):
В этой формуле определено левое действие группы, если задано какое-нибудь правое действие

Нет, не какое-нибудь, здесь о соответствии говорится. Какое-нибудь левое действие можно было просто определить: $g' \cdot x$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:42 
Заслуженный участник


08/01/12
915
AlexDem в сообщении #599572 писал(а):
Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается.

А у меня получается. Еще раз, если задано правое действие $G$ на $X$, то определено выражение $x\cdot g$ для всех $g\in G$, $x\in X$. Теперь можно задать новое левое действие $G$ на $X$, положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$. Обратите внимание, что в этом равенстве слева и справа значки точечки $\cdot$ разные — справа это данное нам правое действие, а слева — совершенно другое, задаваемое нами левое действие. То есть, в Вашем примере изначально определено $x\cdot 2^{-1}$, а Вы определяете $2\cdot x$ по этому равенству. Так мы показали, что по каждому правому действию можно построить соответствующее левое действие. Ну и наоборот, по левому действию совершенно аналогично строится правое действие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 14:56 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
apriv в сообщении #599591 писал(а):
положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:00 
Заслуженный участник


08/01/12
915
AlexDem в сообщении #599599 писал(а):
apriv в сообщении #599591 писал(а):
положив для всех $g\in G$, $x\in X$ по определению $g\cdot x=x\cdot g^{-1}$

А почему левое действие строится как $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$, а, например, не как $g \cdot x := x \cdot g$?

Потому что так определенное действие не будет левым действием, поскольку, как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$. Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:08 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
apriv в сообщении #599601 писал(а):
как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

apriv в сообщении #599601 писал(а):
Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 15:13 
Заслуженный участник


08/01/12
915
AlexDem в сообщении #599606 писал(а):
apriv в сообщении #599601 писал(а):
как правило, $g\cdot h$ не равно $h\cdot g$

А $g \cdot h$ разве всегда равно $h \cdot g^{-1}$? Я привёл пример с $10$, но Вы сказали, что это у меня там точка слева не та. Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

А $(g\cdot h)^{-1}$ всегда равно $h^{-1}\cdot g^{-1}$.
Цитата:
apriv в сообщении #599601 писал(а):
Посмотрите на аксиомы для левого и правого действия, чем они отличаются?

Только умножением -- слева или справа вроде бы.

Сравните $g\cdot (h\cdot x)=(g\cdot h)\cdot x$ и $(x\cdot h)\cdot g=x\cdot (h\cdot g)$. В первом равенстве написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $gh$. Во втором равенствен написано: если на $x$ сначала подействовать $h$, а потом подействовать $g$, то результат такой же, как если подействовать сразу $hg$. Первое называется левым действием, второе называется правым действием.

-- 26.07.2012, 16:14 --

AlexDem в сообщении #599606 писал(а):
Так и в выражении $g\cdot h = h\cdot g$ она тогда тоже будет не та, что справа.

Отчего ж не та? Умножение-то в группе какое было, такое и осталось.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 17:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
AlexDem в сообщении #599572 писал(а):
Вот здесь встречаю запись:

Цитата:
There is a correspondence between left actions and right actions, given by associating the right action $x \cdot g$ with the left action $g \cdot x := x \cdot g^{-1}$.


Непонятен смысл значка "$:=$", ибо подставляю, например, $2 \cdot x \ne x \cdot 2^{-1}$ -- равенства не получается. Хотел посмотреть в какой-нибудь умной книжке, что это за соответствие такое -- что-то не нашёл.


Это конечно не равенство, а скорее соответствие (между двумя представлениями группы).
Пусть $G$ - некоторая группа, $a\in G$ и $X=G$. Через $L_{a}$ и $R_{a}$ обозначим операторы левого и правого умножения на элемент $a$ (в группе $G$) соответственно:
$$
L_{a}:x\to ax,\qquad R_{a}:x\to xa,
$$
а символами $L_{G}$ и $R_{G}$ - группы, порожденные всеми такими левыми и (соответственно) правыми операторами. Тогда легко показать, что существуют изомрфизмы:
$$
G\to L_{G}\to R_{G}\quad (a\to L_{a}\to R_{a^{-1}}),
$$
где операторы записываются (действуют) слева. Таким образом, поскольку
$$
ax=L_{a}x,\qquad xa^{-1}=R_{a^{-1}}x,
$$
запись
$$
ax:=xa^{-1} 
$$
означает просто, что левое $G\to L_{G}$ и правое $G\to R_{G}$ представления группы $G$ на себе изоморфны (и этот изоморфизм задается отображением $L_{a}\to R_{a^{-1}}$, где $a\in G$).

PS
Случай $X\ne G$ исследуется аналогично (однако вместо изоморфизмов здесь появятся гомоморфизмы)...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 17:43 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
AlexDem
Вы, кажется, не обращаете внимания, что $x$ и $g$ берутся из разных множеств. Так что у вас, по сути, не один значок умножения, а три разных. Давайте обозначим их по-разному:
Умножение между собой элементов группы $g,h\in G$: $g\circ h\in G$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №1 - левое действие: $g\triangleright x\in X$
Для него выполняется ассоциативность $g\triangleright (h\triangleright x)=(g\circ h)\triangleright x$
Умножение элемента пространства $x\in X$ на элемент группы $g\in G$ №2 - правое действие: $x\triangleleft g\in X$
Для него выполняется ассоциативность $(x\triangleleft g)\triangleleft h=x\triangleleft (g\circ h)$
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями: $g\triangleright x=x\triangleleft g^{-1}.$

Предлагаемые вами аналогии с числами, соответственно, никуда не годятся. Возьмите разнородные объекты: векторы и числовые множители, векторы и преобразования пространства, или что-нибудь ещё в таком духе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:03 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
Ща, мне надо всё прочитать и обдумать -- пока спасибо за подсказки ... :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
Munin в сообщении #599669 писал(а):
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:16 
Заслуженный участник


08/01/12
915
lek в сообщении #599681 писал(а):
Munin в сообщении #599669 писал(а):
Теперь станет видно, что речь идёт о соотношении между двумя разными операциями:

Эти две разные операции - суть левое и правое представление группы $G$ на множестве $X$ (т.е. пара гомоморфизмов $G$ в группу преобразований множества $X$).

Лучше пусть будет один гомоморфизм, а другой антигомоморфизм :)

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
16/12/19
71277
Что вы человека заваливаете? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
apriv в сообщении #599686 писал(а):
антигомоморфизм

Для групп нет смысла вводить этот термин. Поскольку если $x\to\phi(x)$ - антигомоморфизм групп, то $x\to\phi(x)^{-1}$ - гомоморфизм групп (и наоборот).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу 1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group