Книжку посоветуйте: group action

[apriv]

lek в сообщении #599693 писал(а):

apriv в сообщении #599686 писал(а):

антигомоморфизм

Нет смысла вводить этот термин. Поскольку если $x\to\phi(x)$ - (групповой) антигомоморфизм, то $x\to\phi(x)^{-1}$ - гомоморфизм групп (и наоборот).

А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

[lek]

apriv в сообщении #599694 писал(а):

А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Ясно, что для многих других алгебраических структур введение понятий левого и правого действия (или представления) вполне оправдано. Например, в любом классе линейных алгебр можно определить понятие бипредставления, которое требует определения как левого, так и правого представления. И это понятие вполне конструктивно и эффективно.

[AV_77]

lek в сообщении #599733 писал(а):

Нет смысла вводить этот термин для групп

Одна группа действует слева, а другая справа.

[apriv]

lek в сообщении #599733 писал(а):

apriv в сообщении #599694 писал(а):

А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Не вижу никакой принципиальной разницы. В природе встречаются левые и правые модули над кольцами, левые и правые действия групп, гомоморфизмы и антигомоморфизмы.

[Munin]

apriv в сообщении #599745 писал(а):

В природе встречаются

Facepalm.

[lek]

apriv в сообщении #599745 писал(а):

Не вижу никакой принципиальной разницы.

Разница есть. И связано это с тем, что класс всех групп удовлетворяет ряду хороших тождеств. Смотрите сами...
Пусть $G$ - группа и $\phi:G\to\phi(G)$ - ее антигомоморфизм: $\phi(ab)=\phi(b)\phi(a)$. Используя тождество ассоциативности и свойство обратимости элементов группы, легко показать, что

$$ (ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},\qquad\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1} $$

и следовательно

$$ \phi(a^{-1}b^{-1})=\phi(a^{-1})\phi(b^{-1}). $$

Поэтому

$$ \phi(a'b')=\phi(a')\phi(b') $$

для всех $a',b'\in G$. Таким образом, по антигомоморфизму группы всегда можно построить ее гомоморфизм и наоборот. Для большинства же других алгебраических структур гомоморфизм и антигомоморфизм не имеют подобной связи (чаще связи там вообще нет, а имеется просто пара независимых отображений).

[apriv]

lek в сообщении #599807 писал(а):

Таким образом, по антигомоморфизму группы всегда можно построить ее гомоморфизм и наоборот.

А по левому действию всегда можно построить правое действие и наоборот. А по контравариантному функтору — ковариантный и наоборот. Конечно, можно изучать только левые действия и только ковариантыне функторы, формально ничего не потеряв. Но пока что Ваши слова никак не противоречат тому, что в природе встречаются и гомоморфизмы, и антигомоморфизмы групп.

[lek]

К сожалению вы просто не воспринимаете (не понимаете?) то, что я вам пытаюсь объяснить. Смысла в дальнейшей дискуссии не вижу...

[AV_77]

Так как же быть, если надо рассматривать действие двух групп одновременно, причем одна действует слева, а вторая справа?

[apriv]

Я все прекрасно понимаю, кроме самой концепции «такое-то слово можно заменить на эквивалентную переформулировку, поэтому оно не нужно». Нет ничего плохого в избыточности и даже в том, что в математике одинаковые вещи называются разными именами. Если на $GL_n(k)$ рассматривается транспонирование матриц, то проще сказать, что оно является антигомоморфизмом, чем вводить новое отображение «транспонирование и взятие обратного» и говорить, что оно является гомоморфизмом. Если $G$ является группой и рассматривается отображение $G\to G$, $x\mapsto x^{-1}$, то проще сказать, что оно является антигомоморфизмом, чем говорить я уже и не знаю даже что.

[AlexDem]

apriv в сообщении #599850 писал(а):

оно является антигомоморфизмом

Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

[apriv]

AlexDem в сообщении #599852 писал(а):

Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

Ну уж извините, транспонирование не является гомоморфизмом из $GL_n(k)$ в себя при $n\geq 2$, и отображение $G\to G$, $x\mapsto x^{-1}$ не является гомоморфизмом, ежели группа $G$ неабелева.

[lek]

apriv в сообщении #599855 писал(а):

Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

Не совсем так. Если $\phi:a\to\phi(a)$ - антигомоморфизм, то отображение $\phi':a\to\phi'(a)=(\phi(a))^{-1}$ является гомоморфизмом. Надо было добавить штрихи к $\phi$ в формулах предыдущего сообщения. Не доглядел, sorry... Но в принципе вы правы, поскольку отображения $\phi$ и $\phi'$ взаимно определяют друг друга, ничего позитивного альтернативное (гомоморфизму) определение не дает (в случае групп, разумеется). Да и в теории групп (в отличие от теории колец, например) термин "антигомоморфизм", насколько я знаю, не встречается.

AV_77 в сообщении #599841 писал(а):

Так как же быть, если надо рассматривать действие двух групп одновременно, причем одна действует слева, а вторая справа?

А что вас смущает? Вполне реальная ситуация. При изучении квазигрупп такое наблюдается сплошь и рядом...

[AlexDem]

lek, угу, я тоже ошибся вслед за Вами, когда смотрел.

[AV_77]

lek в сообщении #599861 писал(а):

А что вас смущает? Вполне реальная ситуация. При изучении квазигрупп такое наблюдается сплошь и рядом...

Вот это:

lek в сообщении #599733 писал(а):

Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Ясно, что для многих других алгебраических структур введение понятий левого и правого действия (или представления) вполне оправдано. Например, в любом классе линейных алгебр можно определить понятие бипредставления, которое требует определения как левого, так и правого представления. И это понятие вполне конструктивно и эффективно.