2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 18:31 
Заслуженный участник


08/01/12
915
lek в сообщении #599693 писал(а):
apriv в сообщении #599686 писал(а):
антигомоморфизм

Нет смысла вводить этот термин. Поскольку если $x\to\phi(x)$ - (групповой) антигомоморфизм, то $x\to\phi(x)^{-1}$ - гомоморфизм групп (и наоборот).

А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
apriv в сообщении #599694 писал(а):
А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Ясно, что для многих других алгебраических структур введение понятий левого и правого действия (или представления) вполне оправдано. Например, в любом классе линейных алгебр можно определить понятие бипредставления, которое требует определения как левого, так и правого представления. И это понятие вполне конструктивно и эффективно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 19:47 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
lek в сообщении #599733 писал(а):
Нет смысла вводить этот термин для групп

Одна группа действует слева, а другая справа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 19:49 
Заслуженный участник


08/01/12
915
lek в сообщении #599733 писал(а):
apriv в сообщении #599694 писал(а):
А еще нет смысла вводить термин «правое действие», раз уже есть левое, да? И модули над кольцами все только левые, и функторы только ковариантные?

Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Не вижу никакой принципиальной разницы. В природе встречаются левые и правые модули над кольцами, левые и правые действия групп, гомоморфизмы и антигомоморфизмы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 20:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
09/12/19
71257
apriv в сообщении #599745 писал(а):
В природе встречаются

Facepalm.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 21:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
apriv в сообщении #599745 писал(а):
Не вижу никакой принципиальной разницы.

Разница есть. И связано это с тем, что класс всех групп удовлетворяет ряду хороших тождеств. Смотрите сами...
Пусть $G$ - группа и $\phi:G\to\phi(G)$ - ее антигомоморфизм: $\phi(ab)=\phi(b)\phi(a)$. Используя тождество ассоциативности и свойство обратимости элементов группы, легко показать, что
$$
(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1},\qquad\phi(a^{-1})=(\phi(a))^{-1}
$$
и следовательно
$$
\phi(a^{-1}b^{-1})=\phi(a^{-1})\phi(b^{-1}).
$$
Поэтому
$$
\phi(a'b')=\phi(a')\phi(b')
$$
для всех $a',b'\in G$. Таким образом, по антигомоморфизму группы всегда можно построить ее гомоморфизм и наоборот. Для большинства же других алгебраических структур гомоморфизм и антигомоморфизм не имеют подобной связи (чаще связи там вообще нет, а имеется просто пара независимых отображений).

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 21:09 
Заслуженный участник


08/01/12
915
lek в сообщении #599807 писал(а):
Таким образом, по антигомоморфизму группы всегда можно построить ее гомоморфизм и наоборот.

А по левому действию всегда можно построить правое действие и наоборот. А по контравариантному функтору — ковариантный и наоборот. Конечно, можно изучать только левые действия и только ковариантыне функторы, формально ничего не потеряв. Но пока что Ваши слова никак не противоречат тому, что в природе встречаются и гомоморфизмы, и антигомоморфизмы групп.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 21:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
К сожалению вы просто не воспринимаете (не понимаете?) то, что я вам пытаюсь объяснить. Смысла в дальнейшей дискуссии не вижу...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 21:46 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
Так как же быть, если надо рассматривать действие двух групп одновременно, причем одна действует слева, а вторая справа?

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 21:57 
Заслуженный участник


08/01/12
915
Я все прекрасно понимаю, кроме самой концепции «такое-то слово можно заменить на эквивалентную переформулировку, поэтому оно не нужно». Нет ничего плохого в избыточности и даже в том, что в математике одинаковые вещи называются разными именами. Если на $GL_n(k)$ рассматривается транспонирование матриц, то проще сказать, что оно является антигомоморфизмом, чем вводить новое отображение «транспонирование и взятие обратного» и говорить, что оно является гомоморфизмом. Если $G$ является группой и рассматривается отображение $G\to G$, $x\mapsto x^{-1}$, то проще сказать, что оно является антигомоморфизмом, чем говорить я уже и не знаю даже что.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:02 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
apriv в сообщении #599850 писал(а):
оно является антигомоморфизмом

Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:08 
Заслуженный участник


08/01/12
915
AlexDem в сообщении #599852 писал(а):
Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

Ну уж извините, транспонирование не является гомоморфизмом из $GL_n(k)$ в себя при $n\geq 2$, и отображение $G\to G$, $x\mapsto x^{-1}$ не является гомоморфизмом, ежели группа $G$ неабелева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/05/11
835
ЦФО, Россия
apriv в сообщении #599855 писал(а):
Насколько я понял, lek показал, что оно же является и гомоморфизмом, поэтому двух разных сущностей здесь нет, только и всего.

Не совсем так. Если $\phi:a\to\phi(a)$ - антигомоморфизм, то отображение $\phi':a\to\phi'(a)=(\phi(a))^{-1}$ является гомоморфизмом. Надо было добавить штрихи к $\phi$ в формулах предыдущего сообщения. Не доглядел, sorry... Но в принципе вы правы, поскольку отображения $\phi$ и $\phi'$ взаимно определяют друг друга, ничего позитивного альтернативное (гомоморфизму) определение не дает (в случае групп, разумеется). Да и в теории групп (в отличие от теории колец, например) термин "антигомоморфизм", насколько я знаю, не встречается.

AV_77 в сообщении #599841 писал(а):
Так как же быть, если надо рассматривать действие двух групп одновременно, причем одна действует слева, а вторая справа?


А что вас смущает? Вполне реальная ситуация. При изучении квазигрупп такое наблюдается сплошь и рядом...

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:45 
Заблокирован
Аватара пользователя


07/08/06

3474
lek, угу, я тоже ошибся вслед за Вами, когда смотрел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Книжку посоветуйте: group action
Сообщение26.07.2012, 22:54 
Заслуженный участник


11/11/07
1198
Москва
lek в сообщении #599861 писал(а):
А что вас смущает? Вполне реальная ситуация. При изучении квазигрупп такое наблюдается сплошь и рядом...

Вот это:
lek в сообщении #599733 писал(а):
Нет смысла вводить этот термин для групп (здесь речь идет только о группах, причем здесь модули и кольца?).

Ясно, что для многих других алгебраических структур введение понятий левого и правого действия (или представления) вполне оправдано. Например, в любом классе линейных алгебр можно определить понятие бипредставления, которое требует определения как левого, так и правого представления. И это понятие вполне конструктивно и эффективно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 61 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group