2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 19  След.
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение13.07.2012, 19:39 


23/02/12
3060
vorvalm в сообщении #594814 писал(а):
Интервал $(1,p^2_{r+1})$ является составной частью ПСВ(М)
и вычеты этого интервала подчиняются всем закономерностям ПСВ.

Но в этом интервале нет простых чисел $2, 3,...p_r$. Если расстояние "6" преобладает расстояния 2,4 и 4,2 в ПСВ, то это не значит, что это будет справедливо только для простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение13.07.2012, 21:05 


31/12/10
1555
Разности $d=6$ (чистые) преобладают в любой ПСВ
по модулям $M>210,$ и, следовательно, в интервале $(1,p^2_{r+1})$.
Например, в ПСВ(2310) в интервале (1,169) число чистых $d=6$ равно 8,
а разностей (2,4) и (4,2) всего 6.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение14.07.2012, 22:42 


23/02/12
3060
vorvalm в сообщении #595008 писал(а):
Разности $d=6$ (чистые) преобладают в любой ПСВ
по модулям $M>210,$ и, следовательно, в интервале $(1,p^2_{r+1})$.
Например, в ПСВ(2310) в интервале (1,169) число чистых $d=6$ равно 8,
а разностей (2,4) и (4,2) всего 6.

Но будет ли это отношение для этого интервала простых чисел также стремиться к бесконечности?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение15.07.2012, 07:51 


31/12/10
1555
Нам нет необходимости доказывать стремление к бесконечности отношения числа чистых разностей $d=6$ к числу остальных
в интервале $(1,p^2_{r+1}).$
Достаточео того, что это доказано для вычетов ПСВ.
Ведь нам важно не стремление к бесконечности этого отношения в указанном интервале, а то, что чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение15.07.2012, 19:03 


23/02/12
3060
vorvalm в сообщении #595389 писал(а):
чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

А об этом подробнее?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение15.07.2012, 19:29 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vicvolf в сообщении #595618 писал(а):
А об этом подробнее?
Если $d=6$ задано и рассматривается ПСВ по модулю $p_1...p_r$, где $p_r>d$ то число таких разностей легко считается: каждой разности соответствует $7$ чисел $x,x+1,...,x+6$ таких, то $x\not\equiv 0\pmod{p_1},...,x\not\equiv 0\pmod{p_r},$ $x+6\not\equiv 0\pmod{p_1},...,x+6\not\equiv 0\pmod{p_r}$ + еще условие, что каждое $x+i, i=1,...,5$ делится хотя бы на одно из $p_j$. Поскольку остатки от деления независимы и $d=6$, то число далее вычисляется чисто комбинаторно: заметим, что если $2\nmid x,x+6$, то уже $2\mid x+1,x+3,x+5$. Далее, $3\nmid x+6\Leftrightarrow 3\nmid x$, поэтому остаток $x\mod 3$ может быть выбран 2-я способами, причем симметричными: либо $3\mid x+2$, либо $3\mid x+4$. Рассмотрим только 1-й случай: считаем, что $3\mid x+2$, а итоговое число вариантов в конце удвоим. Остается лишь условие $p_3\mid x+4 \vee ... \vee p_r\mid x+4$. Поскольку при $j\geqslant 3$ условия $x\not\equiv 0\pmod{p_j}$ и $x+6\not\equiv 0\pmod{p_j}$ не равносильны, то каждое из них исключает $2$ варианта значения $x\mod p_j$ - остается лишь $p_j-2$ варианта остатка. А так как остатки по разным простым числам независимы, то всего имеем $(p_3-2)...(p_r-2)$ варианта. Наконец, проще найти число остатков $x\mod p_j$, при которых $p_3\nmid x+4 \wedge ... \wedge p_r\nmid x+4$ - среди всех $(p_3-2)...(p_r-2)$ вариантов таких ровно $(p_3-3)...(p_r-3)$, а значит условию $p_3\mid x+4 \vee ... \vee p_r\mid x+4$ удовлетворяют $(p_3-2)...(p_r-2)-(p_3-3)...(p_r-3)$ вариантов.
Таким образом, в ПСВ по модулю $p_1...p_r$ ровно $2((p_3-2)...(p_r-2)-(p_3-3)...(p_r-3))$ разностей $d=6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение15.07.2012, 20:33 


31/12/10
1555
Sonic86
Совершенно верно.
Последнее равенство можно записать с помощью функций Эйлера:
$N(B[6])=2(\varphi_2(M_r)-\varphi_3(M_r))$
Но эта формула дает число "чистых" разностей" в ПСВ($M_r$).
А нас интересует число этих разностей в интервале $(1,p_{r+1}^2)$

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение16.07.2012, 09:11 


31/12/10
1555
Альтернатива проблеме Гольдбаха показывает, что любые четные разности можно найти среди простых чисел и в частности в интервале $(1,p^2_{r+1}).$ Если для $d=2,d=4$ это очевидно, то для других разностей это не очень, т.к. они могут представлятся не только " чистыми" разностями.
Итак, в интервале $(1,p^2_{r+1})$ есть разности $d=6$ ("чистые и не очень"), но число "чистых" при $M\rightarrow\infty$ становится подавляющем в ПСВ и в том числе в интервале $(1,p^2_{r+1})$ этой ПСВ.
Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение16.07.2012, 16:35 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vorvalm в сообщении #595639 писал(а):
Но эта формула дает число "чистых" разностей" в ПСВ($M_r$).
А нас интересует число этих разностей в интервале $(1,p_{r+1}^2)$
Ааа, тогда не знаю. Понятно, что можно оценить число чисел $x\in [2;p_{r+1}^2]$ таких, что $2\mid x+1;x+3;x+5$, $3\mid x+2; 5\mid x+4$, например, но вот проверить условия $p_j\nmid x,x+6$ уже сложнее...

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение16.07.2012, 18:02 


31/12/10
1555
Оценку числа "чистых" разностей в интервале $(1,p^2_{r+1})$
можно получить, используя среднее число этих разностей в ПСВ по модулю $M>210.$
$N(B[6])\approx 2p_{r+1}(p_{r+1}-1)(\varphi_2(M)-\varphi_3(M))/M.$
Например, при $M=2310, p_{r+1}=13, \varphi_2(M)=135, \varphi_3(M)=64, N(B[6])\approx 10.$
Sonic86
Используя вашу методику,можно ли найти аналогичные формулы числа "чистых" разностей
для $d=8$ или $d=10$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение16.07.2012, 18:24 
Заслуженный участник


08/04/08
8556
vorvalm в сообщении #595897 писал(а):
Используя вашу методику,можно ли найти аналогичные формулы числа "чистых" разностей для $d=8$ или $d=10$ ?
Не пробовал - наверное можно (я сам не решился - на $d=6$ остановился, там 2 проблемы: перебрать варианты делимостей + разобраться, как оптимально рассуждать в случаях, когда к.-л. простое делит одно из нескольких чисел) - по идее задача чисто комбинаторная :roll: Если можно, то формулы будут страшноватые скорее всего.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение18.07.2012, 19:22 


23/02/12
3060
vicvolf в сообщении #595618 писал(а):
vorvalm в сообщении #595389 писал(а):
чистые разности $d=6$ есть в этом интервале в любой ПСВ, что само по себе говорит об их беконечном числе в ряду простых чисел.

А об этом подробнее?

vorvalm я так и не получил ответ на этот вопрос!

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение18.07.2012, 21:27 


31/12/10
1555
vorvalm в сообщении #595779 писал(а):
Альтернатива проблеме Гольдбаха показывает, что любые четные разности можно найти среди простых чисел и в частности в интервале $(1,p^2_{r+1}).$ Если для $d=2,d=4$ это очевидно, то для других разностей это не очень, т.к. они могут представлятся не только " чистыми" разностями.
Итак, в интервале $(1,p^2_{r+1})$ есть разности $d=6$ ("чистые и не очень"), но число "чистых" при $M\rightarrow\infty$ становится подавляющем в ПСВ и в том числе в интервале $(1,p^2_{r+1})$ этой ПСВ.
Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение18.07.2012, 21:57 


23/02/12
3060
vorvalm в сообщении #596755 писал(а):
Можно, конечно, представить, что "чистые" разности сосредоточатся в ПСВ вне интервала, а в интервале будут только "нечистые" разности, но это уже из области фантастики.

Может действительно они распределены неравномерно и на интервале простых чисел их конечное количество. По крайней мере, что это не так - не доказано!

 Профиль  
                  
 
 Re: О проблеме Гольдбаха
Сообщение19.07.2012, 08:04 


31/12/10
1555
[quote="vorvalm в сообщении #595897"]Оценку числа "чистых" разностей в интервале $(1,p^2_{r+1})$
можно получить, используя среднее число этих разностей в ПСВ по модулю $M>210.$
$N(B[6])\approx 2p_{r+1}(p_{r+1}-1)(\varphi_2(M)-\varphi_3(M))/M.$
Например, при $M=2310, p_{r+1}=13, \varphi_2(M)=135, \varphi_3(M)=64, N(B[6])\approx 10.$
Можно, конечно, привести полное доказательство бесконечности чистых разностей $d=6$, но оно будет мало отличаться от теоремы о близнецах.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 271 ]  На страницу Пред.  1 ... 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ... 19  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group