Формальный вопрос по топологии

[AlexDem]

По общей топологии знаю пару хороших книг:

[1] Энгелькинг "Общая топология"
[2] Келли "Общая топология"

Во второй немного более подробно рассматриваются псевдометрики, но в физике та же "метрика Минковского" не является не только метрикой, но и псевдометрикой в определении общей топологии - для неё, например, уже несправедливо неравенство треугольника: M3 (и вместо M1 действует M1').

Может ещё быть полезным очень краткое изложение:
Гликлих "О понятиях топологического пространства".

Чтобы функция $\rho(x, y)$ была метрикой, а пространство - метрическим, должны соблюдаться аксиомы (см. [1], раздел 4.1):
M1: $\rho(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$
M2: $\rho(x, y) = \rho(y, x)$ для всех $x, y \in X$
M3: $\rho(x, y) + \rho(y, z) \ge \rho(x, z)$ для всех $x, y, z \in X$

Если вместо M1 справедлива M1', то $\rho(x, y)$ - уже не метрика, а псевдометрика:
M1': $\rho(x, x) = 0$ для всех $x \in X$

Чтобы получилась база топологии, необходимо, чтобы любая точка в пересечении двух r-"шаров" принадлежала бы третьему r-"шару", содержащемуся в этом пересечении. Та же "метрика" Минковского не порождает базу, а только предбазу топологии, поскольку для неё это условие не соблюдается.

[Bod]

Размышлял над задачей из книги Колмогорова, но так и не смог найти решение, а задача в следующем придумать такую метрику пространства при котром шар с большим радиусом будет содержаться в шаре с меньшим радиусом.
Подскажите пожалуйста её решение.

[Руст]

Bod писал(а):

Размышлял над задачей из книги Колмогорова, но так и не смог найти решение, а задача в следующем придумать такую метрику пространства при котром шар с большим радиусом будет содержаться в шаре с меньшим радиусом.
Подскажите пожалуйста её решение.

Берите шар (меньшего) радиуса 1 за всё пространство и обычную метрику. Тогда шар с центром на границе с радиусом меньше 2 будет собственным подмножеством шара радиуса 1.

[AlexDem]

Хм, а вот тут пишут, что обычная метрика не подходит:

Цитата:

Приведенные выше аксиомы метрического пространства кажутся нам вполне естественными. Во всяком случае, трудно предположить, что объект, наделенный таким расстоянием, может обладать странными свойствами. Когда герой романа Я. Гашека бравый солдат Швейк попал в сумасшедший дом, он встретился там с профессором, доказывавшим, что внутри земного шара имеется другой шар, значительно больше наружного. Профессора поделом упрятали в понравившееся Швейку учреждение. Трехмерное пространство, в котором мы живем, является одновременно и метрическим, и линейным. В нем подобное расположение шаров невозможно. Если же отказаться от линейности, то совсем просто построить пример метрического пространства, в котором шар большего радиуса вполне может лежать строго внутри шара меньшего радиуса. Выигрывая в общности, мы теряем в геометрической наглядности.

[Bod]

Цитата:

Берите шар (меньшего) радиуса 1 за всё пространство и обычную метрику. Тогда шар с центром на границе с радиусом меньше 2 будет собственным подмножеством шара радиуса 1.

Благодарю, однако обидно что до такого я не догадался сам, я почему то пытался подобрать метрику к пространству, а не пространство к метрике .
Интересно, а на бесконечных пространствах решение такой задачи возможно. Мне почему то кажется что нет, но доказывать это я пока не брался.

Цитата:

Если же отказаться от линейности, то совсем просто построить пример метрического пространства, в котором шар большего радиуса вполне может лежать строго внутри шара меньшего радиуса. Выигрывая в общности, мы теряем в геометрической наглядности.

Интересно бы увидеть этот самый пример.

[Brukvalub]

Обратите внимание на обсуждение примера 5 со стр.202 здесь: http://www.vilenin.narod.ru/Mm/Books/4/book4_5.pdf

[AlexDem]

Brukvalub писал(а):

Обратите внимание на обсуждение примера 5 со стр.202

Это Гелбаум "Контрпримеры в анализе", но ссылка битая. Так там рассматривается тот же вариант, что предложил Руст - на замкнутом круге...

[AlexDem]

Интересно, а вот такая экзотика - "вывернутые шары": $\rho(x, y) = 1 / |x - y|$ образуют базу топологии? (Про неравенство треугольника можно, конечно, забыть). И что это будет - нечто вроде топологии Зарисского? Не похоже, случаем, на "вывернутый" земной шар сумасшедшего профессора?

Добавлено спустя 27 минут 53 секунды:

Насчёт базы - вроде нет, потому как пересечение шаров можно составить так, что получатся "очки", и точки между ними, по-моему, не будут принадлежать никакому другому вписанному шару

[Brukvalub]

AlexDem писал(а):

Brukvalub писал(а):

Обратите внимание на обсуждение примера 5 со стр.202

Это Гелбаум "Контрпримеры в анализе", но ссылка битая. Так там рассматривается тот же вариант, что предложил Руст - на замкнутом круге...

1. у меня эта ссылка работает (только что проверил)
2.Я указывал не на сам пример а на обсуждение невозможности такого примера в линейном нормированном пространстве с метрикой, порожденной этой нормой.

[Someone]

AlexDem, Вы интересуетесь всякими обобщениями понятия метрики. Я вот откопал кое-что:

Н.В.Величко. О симметризуемых пространствах. "Математические заметки", 12, № 5 (1972), 577 - 582.

Я.А.Кофнер. О $\Delta$-метризуемых пространствах. "Математические заметки", 13, № 2 (1973), 277 - 287.

Что стало с этими понятиями далее, не знаю.

[AlexDem]

Brukvalub писал(а):

1. у меня эта ссылка работает (только что проверил)
2. Я указывал не на сам пример а на обсуждение

Да, точно, под IE работает, это у меня Opera отказывалась дальше страницы загрузки идти. Ссылка очень помогла, спасибо!

Someone писал(а):

Я вот откопал кое-что

Спасибо, постараюсь разыскать...


Ещё есть финслеровы пространства, там метрика вообще как произведение определяется (Рунд "Дифференциальная геометрия финслеровых пространств")...

[Bod]

Вот еще один вопрос:
У Колмогорова понятие нигде не плотных множеств вводится как множество А которое не плотно ни в одном шаре, но тогда размышляя можно прийти к выводу что кроме пустого множества иных нигде не плотных множеств не существует, так как я всегда могу выбрать закрытый шар с нулевым радиусом и центром в точке принадлежащей [А] и таким образом сказать что множество А плотно в выбранном шаре. Но вот если бы он говорил об открытых шарах то положение изменилось бы так как радиус за нулевой взять было бы уже нельзя (точнее можно но такой шар был бы пустым).
Я прав или заблуждаюсь?

[AlexDem]

А у Энгелькинга везде открытые шары. Предложение 1.3.5 (раздел 1.3):

Цитата:

Множество $A$ всюду плотно в $X$ тогда и только тогда, когда любое непустое открытое подмножество в $X$ содержит точки множества $A$.

Множество $A$ нигде не плотно в $X$ тогда и только тогда, когда любое непустое открытое множество в $X$ содержит непустое открытое подмножество, не пересекающееся с множеством $A$.

Может у Колмогорова это подразумевалось само собой?

[Someone]

Bod писал(а):

Но вот если бы он говорил об открытых шарах то положение изменилось бы так как радиус за нулевой взять было бы уже нельзя (точнее можно но такой шар был бы пустым).

Шары нулевого радиуса обычно (по умолчанию) не рассматриваются. И, вероятно, в подразумеваемой Вами книжке Колмогорова и Фомина в определении нигде не плотного множества подразумеваются открытые шары. Но, в принципе, неаккуратность там усмотреть можно.

[Bod]

Благодарю, значит все таки хоть раз не я ошибся

Ну а теперь совсем дурацкий вопрос, надеюсь сильно ругаться не будете:
функцию

\[y = a \cdot x + c\]

(а и с - некоторые константы не равные 0)считают линейной не смотря на то что она не удовлетворяет требованиям, предъявляемым к линейным операторам, а именно:

\[y(x \cdot \alpha ) \ne \alpha \cdot y(x)\]

- проясните мне пожалуйста данную ситуацию, ведь и нелинейной её тоже как то язык не поворачивается назвать
ПС: извиняюсь что вопрос немного не по теме, но ради него отдельную тему создавать не хотелось.