Формальный вопрос по топологии

[Bod]

В общем то вопрос носит довольно формальный характер и тем не менее хотелось бы для себя довольно четко уяснить следующее:
Под топологией понимается следующее определение:
Пусть дано множество X. Система T его подмножеств называется топологией на X, если выполнены следующие свойства:
- Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T,
- Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих T, принадлежит T,
- X и 0 принадлежат T.
Под кольцом понимается:
Система множеств если объединение и пересечение любых двух множеств этой системы так же принадлежит этой системе (определение по Хаусдорфу).
То есть исходя из этого топологией можно назвать кольцо произвольных подмножеств X к которому принадлежат X и 0. Я правильно понимаю или нет?

[Someone]

Нет. В определении кольца (по Хаусдорфу) говорится об объединении двух (и, следовательно, любого конечного числа) множеств, а в определении топологии - об объединении любого (в том числе и бесконечного) семейства множеств.

[Bod]

Цитата:

говорится об объединении двух (и, следовательно, любого конечного числа) множеств

Почему только конечного? почему операцию объединения нельзя продолжить до бесконечности?

[Someone]

Bod писал(а):

Цитата:

говорится об объединении двух (и, следовательно, любого конечного числа) множеств

Почему только конечного? почему операцию объединения нельзя продолжить до бесконечности?

Потому же, почему и операцию пересечения нельзя продолжить "до бесконечности". Обратите внимание, что операции объединения и пересечения в определение топологии входят несимметрично. Операцию можно применять только конечное число раз, а предельный переход - это уже другая операция. И это даст только объединение счётного семейства множеств, а оно может быть и несчётным.

[PAV]

Рассмотрим совокупность числовых множеств конечного объема. Оно замкнуто относительно конечных объединений и пересечений, но не относительно бесконечных.

[Bod]

Собственно не очень понял причины, но несиметричность действительно есть я её сразу даже и не заметил. она играет принципиальное значение?

[PAV]

Просто нельзя в математике переходить от "конечных" операций к "бесконечным" просто так. И все.

Добавлено спустя 1 минуту 22 секунды:

На самом деле, если хотите, то просто докажите замкнутость относительно конечных операций опираясь только на попарные. Все получится. А для бесконечных операций такого доказательства не получится, потому что это неверно.

[Bod]

Еще один вопрос по поводу определения кольца:
У Хаусдорфа как я и говорил раньше под кольцом понимается:
Система множеств если объединение и пересечение любых двух множеств этой системы так же принадлежит этой системе.
В то время как у Колмогорова: непустая система множеств

\[\Sigma \]

называется кольцом если она обладает свойством что из

\[A \in \Sigma {\text{ }}B \in \Sigma \]

следует

\[ \begin{gathered} A\Delta B \in \Sigma \hfill \\ A \cap B \in \Sigma \hfill \\ \end{gathered} \]

Но операции из определения Хаусдорфа

\[ \cup {\text{ }} \cap \]

не могут быть приведены к операциям из определения Колмогорова

\[ \Delta {\text{ }} \cap {\text{ }} \]

. Так кто из них прав? или я опять в чем то ошибся?

Добавлено спустя 35 минут 26 секунд:

Цитата:

На самом деле, если хотите, то просто докажите замкнутость относительно конечных операций опираясь только на попарные. Все получится. А для бесконечных операций такого доказательства не получится, потому что это неверно.

Рассмотрим относительно операции объединения:
возмем два множества из системы(

\[\Sigma \]

)

\[A \in \Sigma {\text{ }}B \in \Sigma \]

тогда

\[A_1 = A \cup B \in \Sigma \]

теперь возьмем произвольное

\[{\text{ }}B_1 \in \Sigma \]

тогда

\[A_2 = A_1 \cup B_1 \in \Sigma \]

по аналогии продолжаем для любых

\[ B_n \in \Sigma \]

.
Если n - конечно то вопросов не возникает но если n устремляется к бесконечности то что? разве что то меняется и мы получим множество

\[ A_n \notin \Sigma \]

?

Добавлено спустя 17 минут 12 секунд:

Цитата:

Рассмотрим совокупность числовых множеств конечного объема. Оно замкнуто относительно конечных объединений и пересечений, но не относительно бесконечных

А все понял понял огромное спасибо за пример

\[ A_n \]

действительно может не принадлежать

\[ \Sigma \]

из-за возможной неограниченности объема

[Someone]

Bod писал(а):

Еще один вопрос по поводу определения кольца:
У Хаусдорфа как я и говорил раньше под кольцом понимается:
Система множеств если объединение и пересечение любых двух множеств этой системы так же принадлежит этой системе.
В то время как у Колмогорова: непустая система множеств

\[\Sigma \]

называется кольцом если она обладает свойством что из

\[A \in \Sigma {\text{ }}B \in \Sigma \]

следует

\[ \begin{gathered} A\Delta B \in \Sigma \hfill \\ A \cap B \in \Sigma \hfill \\ \end{gathered} \]

Вы имеете в виду вот эту книгу: А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.?

Bod писал(а):

Но операции из определения Хаусдорфа

\[ \cup {\text{ }} \cap \]

не могут быть приведены к операциям из определения Колмогорова

\[ \Delta {\text{ }} \cap {\text{ }} \]

. Так кто из них прав? или я опять в чем то ошибся?

Там в § 5 главы I показано, как выражаются операции $\cup$ и $\setminus$ через $\triangle$ и $\cap$: $A\cup B=(A\triangle B)\triangle(A\cap B)$ и $A\setminus B=A\triangle(A\cap B)$.

Однако кольца множеств в смысле Хаусдорфа и кольца множеств в смысле Колмогорова - Фомина являются совершенно разными объектами. Кольцо в смысле Хаусдорфа не является кольцом в смыле Колмогорова - Фомина, поскольку разность множеств невозможно получить из объединения и пересечения. Они, некоторым образом, "оба правы", поскольку говорят о разных объектах, только называют их одинаково.

[Bod]

Цитата:

Вы имеете в виду вот эту книгу: А.Н.Колмогоров, С.В.Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. "Наука", Москва, 1972.?

Именно её. Кстати а какую книгу вы бы посоветовали на эту тему посмотреть?

Цитата:

Однакокольца множеств в смысле Хаусдорфа и кольца множеств в смысле Колмогорова - Фомина являются совершенно разными объектами. Кольцо в смысле Хаусдорфа не является кольцом в смыле Колмогорова - Фомина, поскольку разность множеств невозможно получить из объединения и пересечения. Они, некоторым образом, "оба правы", поскольку говорят о разных объектах, только называют их одинаково.

А какое из этих определений более общепринятое? просто сложно воспринимать что либо при "плавающей терминологии".

Ещё один, наверное не очень умный, вопрос:
с чем связано то что в определении топологии используют именно объединение произвольного семейства множеств, а пересечение лишь конечного числа? ведь на это же должна быть причина?

[Someone]

Bod писал(а):

Именно её. Кстати а какую книгу вы бы посоветовали на эту тему посмотреть?

На какую "эту"?

Bod писал(а):

Цитата:

Однако кольца множеств в смысле Хаусдорфа и кольца множеств в смысле Колмогорова - Фомина являются совершенно разными объектами.

А какое из этих определений более общепринятое? просто сложно воспринимать что либо при "плавающей терминологии".

Не знаю. Применение того или иного определения зависит от того, зачем оно нужно. Скорее всего, эти понятия употребляются в разных ситуациях. Вообще, если какой-то термин может употребляться в разных смыслах, то автор книги или статьи обычно указывает, в каком смысле он этот термин использует.

Bod писал(а):

Ещё один, наверное не очень умный, вопрос:
с чем связано то что в определении топологии используют именно объединение произвольного семейства множеств, а пересечение лишь конечного числа? ведь на это же должна быть причина?

Первоначально Хаусдорф определил топологию с помощью окрестностей. Это выглядело примерно так: каждой точке $x\in X$ множества $X$ ставится в соответствие непустое семейство $\mathcal B_x$ подмножеств множества $X$, называемых (открытыми) окрестностями точки $x$, удовлетворяющее следующим условиям:
1) если $O\in\mathcal B_x$, то $x\in O$;
2) если $O_1\in\mathcal B_x$ и $O_2\in\mathcal B_x$, то существует такая окрестность $O_3\in\mathcal B_x$, что $O_3\subseteq O_1\cap O_2$;
3) если $O\in\mathcal B_x$ и $y\in O$, то существует такая окрестность $O'\in\mathcal B_y$, что $O'\subseteq O$.

Например, в случае плоскости в качестве $\mathcal B_x$ можно взять семейство кругов с центром в точке $x$, имеющих рациональные радиусы (или хотя бы радиусы вида $\frac 1n$, $n\in\mathbb N$). Эти множества удовлетворяют перечисленным условиям. В действительности Хаусдорф и отталкивался от свойств кругов на плоскости.

Имея окрестности, можно определить открытые множества: множество $U\subseteq X$ называется открытым, если для каждой точки $x\in U$ существует такая окрестность $O\in\mathcal B_x$, что $O\subseteq U$ (словами: множество называется открытым, если оно вместе с каждой своей точкой содержит и некоторую окрестность этой точки).

Далее нетрудно проверить, что определённые таким способом открытые множества олбладают именно такими свойствами, какие Вы перечисляли. А топология определяется как семейство (всех) открытых множеств.

Наоборот, если топология на множестве $X$ уже есть, и окрестности точки $x\in X$ определены как произвольные открытые множества, содержащие точку $x$, то перечисленные выше свойства окрестностей будут выполняться.

[Bod]

Цитата:

На какую "эту"?

По функциональному анализу и теории функций действительного переменного.
Кстати вот ещё один сопряженный вопрос:
К свойствам открытых множеств определенных в метрическом пространстве относятся:
- Пересечение конечного множества открытых множеств, является открытым множеством.
- Объединение любого множества открытых множеств является множеством открытым.
Последнее у меняя сомнений не вызывает, но вот первое утверждение нельзя ли расширить до пересечения любого числа множеств. Попытаемся это доказать:
Возьмем семейство В всех открытых множеств метрического пространства X. Пересечение произвольного числа открытых множеств

\[\Gamma _i \in B\]

дает либо пустое множество либо не пустое. Первое как задачу тривиальную рассматривать не будем. Для второго же очевидно что имеется хотя бы одна точка x причем для каждого из множеств имеется окрестность (так как все они открыты)

\[O_i \left( {x,\varepsilon _i } \right) \subset \Gamma _i \]

. Множество всех

\[{\varepsilon _i }\]

(радиусов окрестностей) может быть более чем счетным (зависит множества пересекающихся множеств), причем так же может быть как открытым так и закрытым. Во втором случае всегда можно выбрать минимальное

\[{\varepsilon _i }\]

и построить окрестность с этим радиусом , тем самым доказав

\[ O(x,\varepsilon _{\min } ) \subset \bigcap\limits_i {\Gamma _i } \]

а следовательно множество является так же открытым. В первом же случае в качестве радиуса выберем

\[\inf (\varepsilon )\]

. Дальнейшие рассуждения аналогичные первому случаю. Таким образом можно сделать заключение что пересечение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

[Someone]

Bod писал(а):

Цитата:

На какую "эту"?

По функциональному анализу и теории функций действительного переменного.

А кеижка Колмогорова и Фомина Вас не устраивает?

Bod писал(а):

Множество всех

\[{\varepsilon _i }\]

(радиусов окрестностей) может быть более чем счетным (зависит множества пересекающихся множеств), причем так же может быть как открытым так и закрытым. Во втором случае всегда можно выбрать минимальное

\[{\varepsilon _i }\]

и построить окрестность с этим радиусом , тем самым доказав

\[ O(x,\varepsilon _{\min } ) \subset \bigcap\limits_i {\Gamma _i } \]

а следовательно множество является так же открытым. В первом же случае в качестве радиуса выберем

\[\inf (\varepsilon )\]

. Дальнейшие рассуждения аналогичные первому случаю. Таким образом можно сделать заключение что пересечение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

И получите Вы $\varepsilon _{\min}=0$ или $\inf\{\varepsilon\}=0$, а в определении $O(x,\varepsilon)$ требуется $\varepsilon>0$. Что дальше будете делать?

А вообще, как Вы относитесь к тому, что на плоскости (и вообще в пространстве, удовлетворяющем аксиоме отделимости $T_1$) каждое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств?

[Bod]

Someone писал(а):

Bod писал(а):

Bod писал(а):

Множество всех

\[{\varepsilon _i }\]

(радиусов окрестностей) может быть более чем счетным (зависит множества пересекающихся множеств), причем так же может быть как открытым так и закрытым. Во втором случае всегда можно выбрать минимальное

\[{\varepsilon _i }\]

и построить окрестность с этим радиусом , тем самым доказав

\[ O(x,\varepsilon _{\min } ) \subset \bigcap\limits_i {\Gamma _i } \]

а следовательно множество является так же открытым. В первом же случае в качестве радиуса выберем

\[\inf (\varepsilon )\]

. Дальнейшие рассуждения аналогичные первому случаю. Таким образом можно сделать заключение что пересечение любого числа открытых множеств есть открытое множество.

И получите Вы $\varepsilon _{\min}=0$ или $\inf\{\varepsilon\}=0$, а в определении $O(x,\varepsilon)$ требуется $\varepsilon>0$. Что дальше будете делать?

Большое спасибо - вы подтвердили мои сомнения по этому поводу (кстати $\varepsilon _{\min}=0$ - это не возможно )

Цитата:

А вообще, как Вы относитесь к тому, что на плоскости (и вообще в пространстве, удовлетворяющем аксиоме отделимости $T_1$) каждое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств?

В общем то похоже на правду, доказательство пока не придумал, но подумаю.

Цитата:

А кеижка Колмогорова и Фомина Вас не устраивает?

Не то что бы не устраивала, я люблю читать сразу по нескольким книгам, это сводит до минимума возможную вероятность некой предвзятости автора к тому или иному вопросу или неудачного трактования известных фактов (в математике это бывает редко, но вот в физике встречается)

[Someone]

Bod писал(а):

(кстати $\varepsilon _{\min}=0$ - это не возможно )

Ну да, погорячился.

Bod писал(а):

Someone писал(а):

А вообще, как Вы относитесь к тому, что на плоскости (и вообще в пространстве, удовлетворяющем аксиоме отделимости $T_1$) каждое множество является пересечением некоторого семейства открытых множеств?

В общем то похоже на правду, доказательство пока не придумал, но подумаю.

Аксиома отделимости $T_1$ означает, что для любых двух различных точек существует окрестность каждой из них, не содержащая другую. Покажите для начала, что это равносильно тому, что каждое одноточечное множество замкнуто.