Формальный вопрос по топологии

[Bod]

Цитата:

Покажите для начала, что это равносильно тому, что каждое одноточечное множество замкнуто.

Ну это элементарно - точкой прикосновения множества называется точка в любой области которой имеется хотя бы одна точка этого множества. Учитывая что имеем из свойств отделимости T1 то что для любой точки y мы имеем хотя бы одну окрестность не содержащую рассматриваемую точку x входящую в одноточечное множество {x}, то значит что множество {x} содержит все свои точки прикосновения а следовательно замкнуто.

[Someone]

Так и есть. Поэтому дополнение к одноточечному множеству открыто. И теперь уже легко получить любое множество как пересечение достаточно большого семейства открытых.

[Bod]

Таким образом рассмотрев некоторое произвольное дополнение к множеству M где каждая точка закрыта мы получаем из правила двойственности

\[ \bigcap\limits_i {{\rm{X/\{ x}}_{\rm{i}} {\rm{\} }}} {\rm{ = X/}} \cup {\rm{\{ x}}_{\rm{i}} {\rm{\} }} \]

где

\[ {\rm{ x}}_{\rm{i}} \in {\rm{X/}}M \]

, а так как

\[ {\rm{X/}} \cup {\rm{\{ x}}_{\rm{i}} {\rm{\} }} \]

есть множество М то доказательство завершено.

[Someone]

Да. И, таким образом, мы не можем требовать, чтобы пересечение любого семейства открытых множеств тоже было открытым. Поскольку в $T_1$-пространствах открытыми окажутся все множества.

В какой-то старой работе я встречал такое определение: топологическое пространство называется дискретным, если в нём пересечение любого семейства открытых множеств является открытым.
Но, надо сказать, это определение устарело, и уже давно дискретным пространством называют такое, в котором все одноточечные подмножества открыты (и тогда вообще все множества одновременно открыты и замкнуты). Если в первом определении добавить условие замкнутости одноточечных множеств, то как раз получится второе.

[Bod]

Благодарю за отличный пример, он мне очень понравился.
Кстати вопрос - на сколько понятие топологии и топологических пространств находит применение в практических вопросах? Например важно ли это понятие в аналитической механике?

[Bod]

Вот ещё один вопрос по метрическим пространствам:
Возможно ли существование такой метрики пространства, когда радиусу R будет соответствовать не один а несколько неравных открытых шаров с центром в одной и той же точке.

[Brukvalub]

Нет, см. определение открытого шара.

[Bod]

Да да извиняюсь. Немного напутал вот и задал этот вопрос. Вообще сначала хотел задать такой вопрос: можно ли назвать пространство всех действительных чисел метрическим, если в качестве метрики будет выступать некоторая функция, которая модулю разности чисел ставит в соответствие некоторое число (расстояние между этими числами). Но эта функция не является все время растущей, то есть с ростом разности чисел она до определенного момента то же растет, но потом начинает снижаться (не до нуля).

[Brukvalub]

Это может нарушить неравенство треугольника.

[Bod]

Цитата:

Это может нарушить неравенство треугольника.

Буду вам очень признателен если вы это продемонстрируете.

[Brukvalub]

Пусть на участке a < x < b накладываемая на модуль функция f(x) > 2M и f(x) < M при x > c. Тогда при a <Ip-q I < b, Ip-sI > c , Iq-sI > с , точки p, q, s, очевидно, нарушат неравенство треугольника: f(Ip-q I)> f(Ip-sI)+f(Iq-sI)

[Bod]

Цитата:

Пусть на участке a < x < b накладываемая на модуль функция f(x) > 2M и f(x) < M при x > c. Тогда при a <Ip-q I < b, Ip-sI > c , Iq-sI > с , точки p, q, s, очевидно, нарушат неравенство треугольника: f(Ip-q I)> f(Ip-sI)+f(Iq-sI)

Благодарю вас, но вы наложили на функцию дополнительное условие, я же имел в виду - возможно ли найти такую функцию, которая будет обладать приведенными мною свойствами и тем не менее порождать метрику.

[RIP]

Bod писал(а):

возможно ли найти такую функцию, которая будет обладать приведенными мною свойствами и тем не менее порождать метрику.

Любая функция, которая удовлетворяет $1\leqslant f(r)\leqslant2$ при $r>0$, порождает метрику.

[Bod]

RIP, интересное замечание, а из неразрывных такие возможны?

[RIP]

$$f(r)=\begin{cases}2r,&r\in[0;1];\\1+\frac1r,&r\geqslant1.\end{cases}$$