Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #593805 писал(а):

Я просто не очень понял - у Вас ИС-ов несколько - они соответствуют частям последовательности в 1-й строке треугольника или нет? Если да, то как ставится соответствие? (может так: часть последовательности - прообраз данной ИС? Тогда прообразы могут пересекаться - это нормально? Если да, то хотелось бы явно это увидеть написанным в тексте - а то приходится додумывать наугад)

(Оффтоп)

vicvolf в сообщении #593435 писал(а):

Нет это не значит, что у объединенного интервала ИС не существует. В этом случае ИС будет расположена в строке с наибольшим номером, так как по определению, там будет строка содержащая на объединенном интервале только числа 0 и 2. Если взять строку с меньшим номером, то на одном из отрезков будут числа большие 2, а если взять номер строки больше, то не проходит по определению , так как ИС эта строка с наименьшим номером, содержащая 0 и 2.

Я не опровергал ничего - я просто показал, что определение записано некорректно. Ну можете не обращать внимания - можно и потелепатить...

ИС соответствует не только первой строке, но определенному интервалу первой строки. При этом предполагается, что ИС существует на каждом интервале. Тогда ИС существует на объединении таких интервалов, если они пересекаются.
Например, если в 1-ой строке находится nПСВ$_m$, то ИС существует на всем объединенном интервале кроме нескольких первых простых чисел: $1, p_{r+1},...$ на интервале от 0 до 0,5m при r>1.
Лемма, как раз отвечает на вопрос, с какого числа начинается ИС на интервале от 0 до 0,5m.
Лемма
Для простого числа - $p_$k, с которого начинается ИР в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до m, где $m=2 \cdot 3…p_r$, выполняется соотношение $p_k$< $p^2_{ r+1}$.
Доказательство. Из приведенных выше примеров видно, что номер строки ИС (k) при увеличении r может, как возрастать, так и убывать. Максимальное возрастание k будет при следующей последовательности первых разностей треугольника Гильбрайта: $2, p_{r+1}-1, 2, p_{r+1}-1, 2$. При этом вторая разность принимает значение $p_{r+1}-1-2= p_{r+1}-3 $ и k возрастает пропорционально $p_{r+1}-3$, т.е. $k=O(p_{r+1}-3)$ (4). В основании треугольника Гильбрайта данному k соответствует простое число $p_k$, которое на основании асимптотической формулы простых чисел [3] можно представить в виде $p_k=O(k\ln (k))$ (5). Подставляя в (5) выражение (4) получаем: $p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3)))$ (6).
Учитывая, что $p_{r+1}-3=O((r+1)\ln (r+1))$, получаем:
$p_k=O((p_{r+1}-3) \ln ((p_{r+1}-3))=O(r+1)\ln (r+1)\ln [(r+1)\ln (r+1)]=O(r+1)\ln ^2(r+1))$ (7).
Величина $p^2_{r+1}=O((r+1)^2\ln ^2(r+1)) $ больше, чем $p_k=O((r+1)\ln ^2(r+1)) $(8) ч.т.д.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Дискуссионные темы (М)» в форум «Карантин», чтобы дать автору возможность набрать все формулы в последнем сообщении в $\TeX$.

После того как исправите сообщение, сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

Заменил

m = 2 3

на

m = 2 \cdot 3

[vicvolf]

Toucan в сообщении #593886 писал(а):

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Дискуссионные темы (М)»

Заменил

m = 2 3

на

m = 2 \cdot 3

Спасибо!

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #593805 писал(а):

Я просто не очень понял - у Вас ИС-ов несколько - они соответствуют частям последовательности в 1-й строке треугольника или нет? Если да, то как ставится соответствие? (может так: часть последовательности - прообраз данной ИС? Тогда прообразы могут пересекаться - это нормально? Если да, то хотелось бы явно это увидеть написанным в тексте - а то приходится додумывать наугад)

Да, можно считать, что ИС является образом первой строки. Соответственно, часть последовательности 1-ой строки является прообразом ИС. Указанные части последовательностей 1-ой строки - прообразы могут пересекаться, как дано в условии теоремы 5.

[Sonic86]

А ИР - это что такое?

vicvolf в сообщении #593868 писал(а):

ИР

vicvolf в сообщении #590823 писал(а):

Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство. Проведем доказательство теоремы 5 методом математической индукции.

vicvolf в сообщении #590823 писал(а):

Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа 2, 3,...p_{k+1},...p_n <p^2_{r+1}

Не понял - Вы под решетом понимаете вычеркивание на каждом шаге чисел, кратных $p_k$, но лишь превосходящих $p_k$. Ну видимо так...

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #594164 писал(а):

А ИР - это что такое?

Эта описка. На самом деле ИС.

vicvolf в сообщении #590823 писал(а):

Теорема 5. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.

Эта не та теорема. Теорема 5 находится в сообщении от 07.07.2012. Кроме того я посылал Вам материал, где дана Теорема 5, как в сообщении от 07.07.2012

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #594164 писал(а):

vicvolf в сообщении #590823 писал(а):

Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с последовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то в основании треугольника Гильбрайта будут простые числа 2, 3,...p_{k+1},...p_n <p^2_{r+1}

Не понял - Вы под решетом понимаете вычеркивание на каждом шаге чисел, кратных $p_k$, но лишь превосходящих $p_k$. Ну видимо так...

Обычное решето Эратосфена при шаге r=k получаем подряд простые числа от 2 до $p_n<p^2_{k+1}$, а далее вычеты nПСВ$_m$, где модуль $m=2 \cdot 3...p_k$.
Например, при r=1 получаем подряд простые: $2, 3. 5, 7<9=3^2$ и далее вычеты. При r=2 получаем подряд простые числа от 2 до $23<5^2$ и далее вычеты.

[Sonic86]

У Вас утверждение о том, что ИС треугольника Гилбрайта, построенная на $\text{ПСВ}_M$ находится выше ИС треугольника Гилбрайта, построенная на $\{a: \frac{M}{2}\leqslant a\leqslant\frac{3M}{2},\gcd(a,M)=1\}$ (где $M=p_1...p_r$) существенно для доказательства или нет? Я его здесь не вижу, но я не вижу также то, почему оно верно.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #594806 писал(а):

У Вас утверждение о том, что ИС треугольника Гилбрайта, построенная на $\text{ПСВ}_M$ находится выше ИС треугольника Гилбрайта, построенная на $\{a: \frac{M}{2}\leqslant a\leqslant\frac{3M}{2},\gcd(a,M)=1\}$ (где $M=p_1...p_r$) существенно для доказательства или нет? Я его здесь не вижу, но я не вижу также то, почему оно верно.

Такого утверждения я не доказываю. Больше того - это утверждение не верно!

[vicvolf]

Покажем, что ИС в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m.
При m=30 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 7 11 ...19 23 29 31 37 41
6 4… 4 6 2 6 4
2 … 2 4 4 2
… 2 0 2
Рис. 2 Треугольник Гильбрайта, в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0 до 1,5m для m=30
На рис. 2 на интервале от 1 до 29 (от 0 до m) строка индикатор сходимости ИС1 находится во 2-ой строке разностей. Разности под вычетами 1, 7, 11 расположены симметрично разностям вычетов 19, 23, 29 (они выделены жирным шрифтом). Указанные разности определяют положение строки индикатора сходимости во 2-ой строке разностей. На интервале от 19 до 41 (от 0,5m до 1,5m) строка индикатор сходимости ИС2 находится в 3-ей строке разностей. Разности под вычетами 19, 23, 29 расположены симметрично разностям вычетоа 31, 37, 41 (они выделены жирным шрифтом). Между вычетами 31 и 29 находится разность 2, которая с рядом стоящими 6, дает во 2-ой строке 4, поэтому ИС2 находится ниже 2-ой строки, где находится ИС1.
Аналогично доказывается, что ИС в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m и для больших значений m.

[Sonic86]

Ага, ну вот я как раз это и не понимаю
Утверждение доказывается для $m=30$, а потом предлагается рассуждать аналогично (причем неизвестно, всегда ли это пройдет) для всех остальных $m$, но ведь остальных $m$ - бесконечное множество, а доказательство должно быть конечным

[vicvolf]

Оформил, как лемму и ввел некоторые уточнения.

Лемма 2
Строка индикатор сходимости в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m, при m>6.
При m=2 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 3
2
Рис. 2 Треугольник Гильбрайта при m=2 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 2 видно, что треугольник не имеет строки индикатора сходимости (ИС1) на интервале от 0 до m. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС2 находится в 1-ой строке разностей.
При m=6 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 5 7
4 2
2
Рис. 3 Треугольник Гильбрайта при m=6 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 3 видно, что треугольник не имеет строки индикатора сходимости (ИС1) на интервале от 0 до m. На интервале от 0 до 1,5m строка индикатор сходимости ИС2 находится в 2-ой строке разностей.
При m=30 получаем следующий треугольник Гильбрайта:
1 7 11 ...19 23 29 31 37 41
6 4… 4 6 2 6 4
2 … 2 4 4 2
… 2 0 2
Рис. 4 Треугольник Гильбрайта, в основании находится последовательность вычетов nПСВm на интервале от 0 до 1,5m для m=30
На рис. 4 на интервале от 1 до 29 (от 0 до m) строка индикатор сходимости ИС1 находится во 2-ой строке разностей. Разности под вычетами 1, 7, 11 расположены симметрично разностям вычетов 19, 23, 29 (они выделены жирным шрифтом). Указанные разности определяют положение строки индикатора сходимости во 2-ой строке разностей. На интервале от 19 до 41 (от 0,5m до 1,5m) строка индикатор сходимости ИС2 находится в 3-ей строке разностей. Разности под вычетами 19, 23, 29 расположены симметрично разностям вычетоа 31, 37, 41 (они выделены жирным шрифтом). Между вычетами 31 и 29 находится разность 2, которая с рядом стоящими 6, дает во 2-ой строке 4, поэтому ИС2 находится ниже 2-ой строки, где находится ИС1.
Аналогично доказывается, что ИС в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m и для больших значений m.

[Sonic86]

Ну так все равно то же самое: Вы очень конкретно рассматриваете треугольник Гилбрайта для $m=30$. А потом просто говорите, что

vicvolf в сообщении #596006 писал(а):

Аналогично доказывается, что ИС в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m и для больших значений m.

Это же ничего не доказывает. Рассуждение надо писать в общем виде.
Вам понятно или нет?

[vicvolf]

Попробуем в общем виде.
Лемма 2. Строка индикатор сходимости в треугольнике Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность вычетов nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m находится ниже, чем на интервале от 0 до m, при m>6.
Доказательство
При m>6 получаем следующую схему разностей в треугольнике Гильбрайта на интервале от 0 до 1,5m:
$p_{r+1}-1$ 4 2 ... 2 4 $p_{r+1}-1$ 2 $p_{r+1}-1…$
$p_{r+1}-5$ 2 2 2 … 2 2 2 $p_{r+1}-5$ $p_{r+1}-3$ $p_{r+1}-3$...
$p_{r+1}-7$ 0 0 2 0 ... 0 2 0 0 $p_{r+1}-7$ 2 0…
$p_{r+1}-7$ 0 2 2 … 2 2 0 $p_{r+1}-7$ $p_{r+1}-9$ 2…
$p_{r+1}-7$ 2 0 … 0 2 $p_{r+1}-7$ 2 $p_{r+1}-11$ …
$p_{r+1}-9$ 2 … 2 $p_{r+1}-9$ $p_{r+1}-9$ $p_{r+1}-13$ …
$p_{r+1}-11$ ... $p_{r+1}-11$ 0 4…
…………………………….
Рис. 4 Схема разностей треугольника Гильбрайта при m>6 на интервале от 0 до 1,5m
Из рис. 4 видно, что на интервале от 0 до m в треугольнике Гильбрайта имеются два симметричных треугольника разностей, отделенные многоточиями. Затем следует в первых разностях число «2» и далее следует повторение данного интервала.
Таким образом, для m=30 $p_{r+1}=7$ и ИС1 для интервала от 0 до m в треугольнике Гильбрайта находится в 2-ой строке разностей, так как $p_{r+1}-5=2$. Далее на интервале до 1,5m находится число $p_{r+1}-3=4$, поэтому ИС2 для интервала от 0,5m до 1,5m находится ниже. Для m=2310 $p_{r+1}=13$ и ИС1 для интервала от 0 до m в треугольнике Гильбрайта находится в 7-ой строке разностей, так как $p_{r+1}-11=2$. Далее на интервале 0,5m до 1,5m находится число «4», поэтому ИС2 находится ниже. При увеличении r схема разностей продлевается вниз.