Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #586964 писал(а):

vicvolf в сообщении #585044 писал(а):

Следствие 2 (Теоремы 3)
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее подпоследовательность натуральных чисел ПСВ$_M$, начиная с простого числа $p_{r+1}$, будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
Доказательство.
В этом случае, подпоследовательность натуральных чисел в основании треугольника Гильбрайта, начиная с простого числа $p_{r+1}$ полностью совпадает с ПСВ$_M$. Поэтому первые и последующие разности в Треугольнике Гильбрайта, с номерами больше r, полностью совпадают с аналогичными разностями в треугольнике Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$, а следовательно, и со строкой разностей, содержащей нули ч.т.д.

В таком виде это ничего не доказывает.
Во-первых, Вы взяли не $\text{ПСВ}_M=\{a:1\leqslant a\leqslant M, \text{НОД}(a,M)=1\}, M=p_1\ldots p_r$, а $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$, а Ваша теорема о нулевой строке доказана не для такого множества, а для $\text{ПСВ}_M$, так что пока не факт, что в треугольнике Гилбрайта, построенном на последовательности $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$, будет нулевая строка. (Тем более, что множество $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ несимметрично относительно середины)
Во-вторых (и это более существенно), пусть мы даже предположим, что в треугольнике, построенном на $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ есть нулевая строка; обозначим его $T_0$. Треугольник в формулировке теоремы построен на последовательности $\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ (обозначим его $T_1$), т.е. мы взяли последовательность и дополнили ее справа. В результате в треугольнике $T_1$, все строки длины $\geqslant r$ буду получаться из строк треугольника $T_0$ дописыванием слева $r$ каких-то чисел. Но каких? - неизвестно. Если нулевую строку дополнить слева $r$ числами, то получится нулевая строка? - неизвестно. Даже если пытаться по индукции доказывать - пусть в треугольнике, построенном на простых числах $p_1,\ldots,p_r$ есть нулевая строка и в $T_0$ есть нулевая строка. Следует ли отсюда, что в $T_1$ есть нулевая строка? - неизвестно. Если номера нулевых строк совпадут (что маловероятно), то есть, а если не совпадут - неизвестно что будет.
В доказательстве об этом нет ничего, так что пока доказательства нет.
Так что еще пилить и пилить...

Sonic86 рад продолжению обсуждения! Посмотрите условие следствия теоремы. Здесь нет никого продолжения справа - вся последовательность в основании треугольника Гильбрайта не превосходит M. Продолжение справа вводится позже. Я ввел новые понятия и продолжил тему. Я постарался изложить материал так, чтобы не приходилось возвращаться назад. Давайте обсудим новый материал! Готов ответить на вопросы.

[vicvolf]

Сделаю уточнения.
Теорема 2. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.
Под модулем m в теме понимается $m=2*3*...*p_r$.

[vorvalm]

Sonic86 в сообщении #587925 писал(а):

vicvolf в сообщении #587660 писал(а):

$\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$

vicvolf
Извините, но я не нашел этого выражения в вашем сообщении.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588002 писал(а):

Sonic86 в сообщении #587925 писал(а):

vicvolf в сообщении #587660 писал(а):

$\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$

vicvolf
Извините, но я не нашел этого выражения в вашем сообщении.

Я этого и не писал. Это было не в моем сообщении. Хватит этой перепалки!
Давайте начнем обсуждение моего нового сообщения!

[vorvalm]

Прежде чем обсуждать теоремы, необходимо разобраться с терминологией.
Иначе получается разговор глухого с немым.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588112 писал(а):

Прежде чем обсуждать теоремы, необходимо разобраться с терминологией.

Извините, а что не понятно в терминологии моего сообщения? Пожалуйста, спрашивайте.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #587958 писал(а):

Теорема 2. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.
Под модулем m в теме понимается $m=2*3*...*p_r$.

Далеко ходить не надо. У вас ПСВ$_M$, а модуль $m.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588163 писал(а):

vicvolf в сообщении #587958 писал(а):

Теорема 2. Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится ПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.
Под модулем m в теме понимается $m=2*3*...*p_r$.

Далеко ходить не надо. У вас ПСВ$_M$, а модуль $m.$

Спасибо. Везде в тексте сообщения под M (большое) понимается произвольный модуль ПСВ и в частности теорема 2 доказана для произвольного модуля. Под m (малое) везде в тексте сообщения понимается конкретный модуль - $m=2*3*...*p_r$.

[vorvalm]

Я считал, что этот вопрос был решен ранее.
Но с другой стороны, обозначать произвольный модуль большой М
как-то не сруки. У Бухштаба произвольный модуль обозначается малой $m,$
а большое М ассоциируется с чем-то другим.
Я не навязываю своего мнения, но под М лучше всего понимать $M=\prod p_r=p_r\#,$
а последовательность ПСВ записывать с коэффициентом kПСВ$_M$,
тогда не будет проблем с модулем $kM.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #588207 писал(а):

Я считал, что этот вопрос был решен ранее.
Но с другой стороны, обозначать произвольный модуль большой М
как-то не сруки. У Бухштаба произвольный модуль обозначается малой $m,$ а большое М ассоциируется с чем-то другим.
Я не навязываю своего мнения,

Правильно! Хозяин -барин! Мне кажется, что общий случай лучше обозначать большой буквой, а частный - малой.

vorvalm в сообщении #588207 писал(а):

последовательность ПСВ записывать с коэффициентом kПСВ$_M$,
тогда не будет проблем с модулем $kM.$

Я так и сделал. В общем случае последовательность натуральных чисел, состоящую из n последовательных ПСВ$_M$ обозначил nПСВ$_M$. А в частном случае для m - nПСВ$_m$.
Но последовательность nПСВ$_M$ естественно не равна ПСВ$_{nM}$. Я уже об этом писал. Например, при m=2*3*5=30 последовательность 7ПСВ$_{30}$ не совпадает с последовательностью ПСВ$_{210}$. Поэтому в данном случае лучше не писать модуль $kM.$.

[Sonic86]

(если интересно)

Если в качестве исходной последовательности взять последовательность $n$ чисел из множества $\{0;2;4\}$, число сходящихся треугольников, построенных на них, обозначить $N_+$, а число расходящихся - $N_-$, то $N_{+}-N_{-}=1$.

[vorvalm]

У нас совершенно противоположное мнение об общем и частном.
Но если вы пишете ПСВ$_M,$ имея в виду общий случай, тогда
что понимать под М ? Что угодно ?
Ну ладно, это все мелочи. Я вот что подумал. А ведь Sonic86 прав, что
применил элементы теории множеств к вашей теме. В этом "что-то есть", только без выкрутас.
Если вы владеете теорией множеств, то можно порассуждать.
Я не очень "copenhagen" в этом, но постараюсь подтянуться.
Например, мне кажется, что строку $A_1$ можно считать отображением
основания...или я не туда...

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #588240 писал(а):

(если интересно)

Если в качестве исходной последовательности взять последовательность $n$ чисел из множества $\{0;2;4\}$, число сходящихся треугольников, построенных на них, обозначить $N_+$, а число расходящихся - $N_-$, то $N_{+}-N_{-}=1$.

Интересно! Рад, что Вы опять стали думать об этой теме. Данная строка не может быть строкой первых разностей, так как включает 0. Она может быть расположена между строкой первых разностей и строкой индикатора сходимости, но может такой строки вообще не быть. Пусть даже есть, а что это дает?

-- 23.06.2012, 21:42 --

vorvalm в сообщении #588250 писал(а):

А ведь Sonic86 прав, что
применил элементы теории множеств к вашей теме. В этом "что-то есть",
Если вы владеете теорией множеств, то можно порассуждать.
Я не очень "copenhagen" в этом, но постараюсь подтянуться.

Пока это просто метод описания.

Цитата:

Например, мне кажется, что строку $A_1$ можно считать отображением основания...или я не туда...

Отображения уже давно используются в проблеме Гильбрайта. Например, посмотрите несколько теорем в начале темы.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #588318 писал(а):

Пока это просто метод описания.

Да, так и есть. Точнее язык описания.

[vorvalm]

Когда мы рассматриваем кПСВ$_m$ без 1, то надо иметь в виду,
что в этом случае одиночные ПСВ будут начинаться с $p_{r+1}$
и заканчиваться $m+1,$ т.е. должно соблюдаться равенство $\varphi(m).$
Иначе это будут не ПСВ.