Асимптотическая плоскость

[ИСН]

Какой кривой? Посмотрите на этот сплющенный геликоид, наконец. Что представляют собой его сечения вертикальными плоскостями?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591713 писал(а):

Какой кривой? Посмотрите на этот сплющенный геликоид, наконец. Что представляют собой его сечения вертикальными плоскостями?

Прямые.

[ИСН]

Я плохо сформулировал вопрос. Что представляет собой его сечение одной плоскостью?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591727 писал(а):

Я плохо сформулировал вопрос. Что представляет собой его сечение одной плоскостью?

Параллельные прямые.

[ИСН]

Какие, сколько?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591732 писал(а):

Какие, сколько?

Надеюсь я правильно вообще начал рассуждать? А то ведь при попытке написать уравнение плоскости, заданной параметрически, перпендикулярной к $OXY$ я потерпел неудачу. А то бы подставил в уравнение этого экспоненциального геликоида и нет проблем.
Я исходил из того, что геликоид получается двумя одновременными движениями прямой, перепендикулярной оси. Вращательным движением и поступательным движением. В нашем геликоиде прямая поступательно движется по экспонете. Следовательно в сечении одной плоскостью мы получаем параллельные прямые (отрезки, если параметры ограничить), которые постепенно сгущаются ближе к плоскости $z=0$. То есть расстояние между этими прямыми становится всё меньше и меньше.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591712 писал(а):

Алексей К., пытался строить в Maple Вашу поверхность, вышла эдакая загогулина. Правда почему-то она не во всех октантах пространства расположена или это так должно быть?

Мы уже где-то обсуждали программы. Методом Ньютона рисовать не умеете?
Возьмите кривую, которая получается при $t=0$ (нижняя образующая жёлоба). Узнайте в ней логарифмическую спираль. Она во всех октантах расположена? Эти вещи проверяются не Маплом, а приведёнными формулами.

-- 03 июл 2012, 21:12:43 --

Посмотрите сечение жёлоба при $\varphi=0$, например.

Эту штуку можно упростить, сделав ширину постоянной $w\equiv\operatorname{const}\,({}=1)$. Тогда надо отказаться от участка $\varphi<0$. Зато показатель степени $r$ в $z=(\ldots)^{r\,[=e^\varphi]}$ можно на просто $\varphi$ заменить.

[ИСН]

Shtorm в сообщении #591737 писал(а):

Следовательно в сечении одной плоскостью мы получаем параллельные прямые (отрезки, если параметры ограничить), которые постепенно сгущаются ближе к плоскости $z=0$. То есть расстояние между этими прямыми становится всё меньше и меньше.

Ага, так. Будете ли Вы теперь настаивать, что этот объект можно спокойно считать частным случаем кривой, а также искать у него фичи и свойства, определённые для кривых? Асимптотическую прямую, например - есть ли она у него?

[Shtorm]

ИСН в сообщении #591741 писал(а):

Будете ли Вы теперь настаивать, что этот объект можно спокойно считать частным случаем кривой, а также искать у него фичи и свойства, определённые для кривых? Асимптотическую прямую, например - есть ли она у него?

Конечно нет!!! Так я об этом и говорю. Поскольку тут нет кривых и асимптот, а в нашем определении - они есть - то следует усовершенствовать определение. Но при этом, понятие асимптоты и прямой к которой стремится асимптота - чётко определена учебниками. Я говорю вообще в теории. А нам придётся обходится в усовершенствовании определения без асимптот походу, а как-то по другому.

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591757 писал(а):

Но при этом, понятие асимптоты и прямой к которой стремится асимптота - чётко определена учебниками.

Пожалуй, в выходные обдумаю... Раньше вряд ли получится.

[Shtorm]

Алексей К. в сообщении #581760 писал(а):

Shtorm в сообщении #581752 писал(а):

Однако алгоритмы поиска вертикальных и наклонных асимптот отличаются

Наверное, лишь от того отличаются, что школьники-первокурсники ищут асимптоты графиков функций (а не плоских кривых). И прямые (искомые асимптоты) им рано параметризовать. Записать прямую параметрически, или $ax+by+c=0$, и плевать --- вертикальная она асимптота или горизонтальная. Ну, так в большинстве тех задачек было, когда я геометрию в детстве решать любил.

Вот как раз кстати и в продолжении темы, раз речь зашла про асимптоты. Никак не могу найти учебники, задачники в которых бы асимптоты искали описываемым Вами способом. Не скажете алгоритм поиска асимптот - тот которым Вы в детстве решали?

[Алексей К.]

И не исчите.
Есть куча разных задач, где искомая прямая может оказаться горизонтальной, вертикальной, какой угодно:
проведение прямой по двум заданным точкам, построение радикальной оси пары окружностей, построение троцкианы семейства кривых, построение асимптоты заданной кривой, МНК-фит прямой по измерениям координат точек, итд итп.

Совсем тупой программист при вертикальном решении получит ошибку и сбой.
Не совсем тупой программист напишет, что с вертикальными решениями его программа не справляется.
Я, как человек, учивший математику, параметризо(вы)вал прямую, и наплевать мне было, что $\tau=\pi/2$.
Современный программист идёт на форум и плачет: "я математику плохо учил, а тут надо... модель $y=kx+b$ не всегда работает... как сделать?"

Параметризуйте прямую $ax+by+c=0, \; a^2+b^2=1,$ и будет Вам счастье.

-- 03 июл 2012, 23:14:21 --

(Оффтоп)

Shtorm в сообщении #591784 писал(а):

Не скажете алгоритм поиска асимптот

Каждый раз, когда Вы какую-нибудь ерунду называете высокопарными словами вроде "алгоритм", у меня что-то дёргается в брюхе. Амплитуда угрожающе возросла.

[Shtorm]

Параметризовал я прямую, а что дальше? Мне же нужно найти коэффициенты в уравнении прямой, исходя из самой функции. Дальше функцию параметризовывать?

[Shtorm]

Ещё для дальнейшего исследования данного вопроса понадобится параметризовывать различные поверхности. Алексей К., я читал, что Вы большой специалист по данному вопросу. Вот если к примеру, мне нужно параметризовать плоскость, которая перпендикулярна плоскости $XOY$, то я рассуждаю так: уравнение $Ax+By+D=0$ задаёт искомую плоскость, $u$ и $v$ - параметры. Следовательно

$$\begin{cases}x=u,\\y=v-\frac {D}{B},\\z=?,\end{cases}$$

Как записать z ??

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #591909 писал(а):

... параметризовывать различные поверхности. Алексей К., я читал, что Вы большой специалист по данному вопросу.

Если Вы где-то откопали мою биографию, то уверяю --- писал её не я. А я

11.09.2011 в сообщении #482212 честно писал(а):

Чудится мне, что я впервые в жизни отпараметризовал поверхность...

-- 04 июл 2012, 07:01:35 --

Возьмите точку $\vec{r}_0$ на плоскости (например, ближайшую к началу координат) и два не-обязательно-взаимно-перпендикулярных вектора $\vec{e}_{1,2}$ в этой плоскости. Тогда $\vec{r}=\vec{r}_0+u\cdot \vec{e}_1+v\cdot \vec{e}_2$. Распишите по координатам, типа $\vec{r}=(x,y,z)$ итд.

(Я не говорил и не гарантирую, что это поможет. Я не знаю определения А.П. и не думал о методах её поиска, и неинтересно всё это. Вы же берётесь ковыряться в этом ......, не зная основ аналитической геометрии. Как-то неестественно это.)

Один вектор, очевидно, (0,0,1), второй можно получить как векторное произведение $(0,0,1)\times(A,B,0)$.