Асимптотическая плоскость

[ИСН]

У Вас слишком сильное требование. На многообразии вполне могут расти какие-то рога, уходящие в бесконечность не вдоль нашего линейного подпространства.
Безотносительно: вот, Shtorm, каким языком обычно пишутся математические определения. А Вы хотите...

[Oleg Zubelevich]

ИСН в сообщении #589618 писал(а):

У Вас слишком сильное требование. На многообразии вполне могут расти какие-то рога, уходящие в бесконечность не вдоль нашего линейного подпространства.

Согласен, но модификация в соответствие с Вашим замечанием очевидна

ИСН в сообщении #589618 писал(а):

Безотносительно: вот, Shtorm, каким языком обычно пишутся математические определения. А Вы хотите...

не понял

[ИСН]

1) очевидна? И как?
2) Это я Вас ставлю в пример топикстартеру, а то у него все определения сделаны из травы, перьев и щепок.

[Shtorm]

Joker_vD в сообщении #589262 писал(а):

... Правильно ли я понял нынешнее определение: есть поверхность $S$. Сечем ее плоскостью $N$, на ней получается кривая $C_N=N\cap S$. У этой кривой обнаруживается асимптота $L_N$, тогда мы строим плоскость $H$ так, чтобы $H\perp N$, $H\cap N=L_N$, и называем плоскость $H$ асимптотической плоскостью поверхности $S$?

Joker_vD в сообщении #589310 писал(а):

Я буду обозначать за $H_\perp$ произвольную плоскость, перпендикулярную $H$.

ИСН
Если требовать, чтобы все $H_\perp$ доставляли кривульку, асимптотой к которой будет $H\cap H_\perp$, то асимптотических плоскостей вообще не будет. Ну возьмем просто плоскую кривую в пространстве, у которой есть асимптота. Хотелось бы, чтобы у ней была и асимптотическая плоскость, причем содержащая эту асимптоту, верно?

Согласно определению, которое есть на данный момент времени, должно быть семейство параллельных плоскостей $N$, в которых образуются кривые, имеющие асимптоты в плоскости, называемой асимптотической плоскостью. Одну плоскость в определении мы отбросили уже давно, потому, что бывают поверхности, у которых действительно только одна такая плоскость $N$ и есть. Яркий пример приводил AKM вот в этом сообщении.

$$z=\frac{1}{x^2+y^2}+x^2$$

Здесь только для плоскости $x=0$ мы получаем кривую, имеющую асимптоту в плоскости $z=0$. Но это абсурдно считать, что данная поверхность имеет асимптотическую плоскость (А.П.) Ведь только одно направление поверхности приближается к этой плоскости, а вся остальная поверхность искривляется по параболе. Если же вдруг мы всё же примем за истину, что $z=0$ - является асимптотической плоскостью, то тогда будем рассекать данную поверхность плоскостями $x=C$, и тогда для каждого С – будет получаться своя А.П.?? Это абсурд.

И зачем это нам нужно, чтобы каждая плоская кривая в пространстве имела свою А.П.? Вполне достаточно, что кривые – имеют асимптоты, а вот поверхности – имеют А.П.

[Oleg Zubelevich]

[Joker_vD]

Ну хорошо, должно быть семейство параллельных плоскостей. И я так понимаю, оно должно "непрерывно" параметризоваться отрезком/интервалом $[a;b]$/$(a;b)$, и содержать больше одной плоскости?

[Shtorm]

Joker_vD в сообщении #589727 писал(а):

Ну хорошо, должно быть семейство параллельных плоскостей. И я так понимаю, оно должно "непрерывно" параметризоваться отрезком/интервалом $[a;b]$/$(a;b)$, и содержать больше одной плоскости?

Больше одной плоскости - однозначно.
Непрерывно - мы с ИСН исследовали этот вопрос: у ряда поверхностей есть линии разрыва и линии локальных неоднородностей. Поэтому вердикт такой, что в локальных неоднородностях поверхность может не иметь таких плоскостей $N$, но А.П. у поверхности есть. То есть локальные неоднородности - не оказывают влияние на глобальное свойство поверхности.
И наконец интервал $(a;b)$ - я считаю, что он должен быть бесконечным, за исключением точек локальных неоднородностей.

-- Ср июн 27, 2012 16:01:57 --

INGELRII в сообщении #589288 писал(а):

Такая мысль посетила:

1) Берем ваще тупо все плоскости $\{N_\alpha\}$. Сечем ими нашу поверхность. Получаем множество всевозможных кривых-сечений $\{L_\alpha\}$. Если какие-то плоскости поверхность не пересекают - нам пофиг.

2) Для каждой из полученного семейства кривых $L_\alpha$ смотрим, имеет ли она асимптоту. Если имеет - строим ее как прямую $m_\alpha$. Получаем семейство асимптотических прямых для всех сечений исходной поверхности, $\{m_\alpha\}$.

3) Теперь смотрим на полученное $\{m_\alpha\}$ и рассматриваем его как множество точек. Если оно содержит в качестве своего подмножества плоскости, то собственно вот - это и есть искомые асимптотические плоскости.

Думаю это будет адекватно и объективно. Единственно, что технически выполнить сложновато. А мы-то хотим найти изящное решение, с изящным поиском уравнений асипмтотичесих плоскостей (А.П.)

-- Ср июн 27, 2012 16:04:08 --

Алексей К. в сообщении #589355 писал(а):

Да инвертируйте поверхность относительно единичной сферы и смотрите, сколько раз оно через начало координат пройдёт, и какие там будут соприкасающиеся сферы.

Алексей К., а Вы опробировали Ваш метод? Он нормально адекватно работает?

[Oleg Zubelevich]

Пусть $M\subseteq X=\mathbb{R}^m$ -- гладкое многообразие.
Введем линейное многообразие $L=E+a$, где $a\in X$ -- некоторый фиксированный вектор, $E\subseteq X$ -- линейное пространство. И пусть $X=E\oplus U$ и $P_U:X\to U,\quad P_E:X\to E$ --соответствующие проекторы, $P_E+P_U=I$. Через $B_R$ обозначим шар радиуса $R$ с центром в нуле.

Будем говорить, что линейное многообразие $L$ является асимптотическим к многообразию $M$ если найдется гладкое подмногообразие $N\subseteq M$ удовлетворяющее условию :

для любого $\epsilon>0$ найдется $r>0$ такое, что если $R>r$ то

$$N\backslash B_R\ne\emptyset,\quad N\backslash B_R\subseteq\{x\in X\mid\|P_U(x-a)\|<\epsilon\}$$

Видимо, есть смысл ставить вопрос о максимальности $E$

[Joker_vD]

Хм, а мне предыдущее тоже нравилось... но и это неплохо.

Главное, что поверхность типа закручивающегося желоба, неограниченно приближающегося к $z=0$, имеет согласно этому определению $z=0$ асимптотической плоскостью.

[Shtorm]

Joker_vD в сообщении #589747 писал(а):

Хм, а мне предыдущее тоже нравилось... но и это неплохо.

Главное, что поверхность типа закручивающегося желоба, неограниченно приближающегося к $z=0$, имеет согласно этому определению $z=0$ асимптотической плоскостью.

А уравнение этого закручивающегося желоба можете написать?

[Joker_vD]

Я не уверен. Я четко его вижу, могу описать, но вот уравнение...

Система координат: икс в лицо, игрек вправо, зет в потолок. Возьмем поверхность $z=e^{-\sqrt{x^2+y^2}}$ (она получается из кривой $z=e^{-|x|}$ вращением вокруг оси $Oz$), возьмем поверхность $\begin{cases}x=t\cos t,\\y=t\sin t,\\t\geqslant0\end{cases}$ (это "цилиндр", основание которого — архимедова спираль), они пересекаются по некой кривой $C$. Теперь самое неформальное: к каждой точке $C$ пририсовываем полуокружность единичного радиуса "рогами вверх", так, чтобы эти полуокружности слились в желоб... хм.

Кривая $C$ параметризована как $\begin{cases}x=t\cos t,\\y=t\sin t,\\z=e^{-t},\end{cases}$ где $t\geqslant 0$, касательная к ней имеет направление вектора $n(t)=(\cos t-t\sin t, \sin t+t\cos t, -e^{-t})$ — это нормальный вектор нормальной плоскости кривой $C$, в которой я и хочу строить полуокружность... в обычной $Oxy$ ее уравнение было бы $y=1-\sqrt{1-x^2}$, а вот в нормальной плоскости $n(t)\cdot(x,y,z)+(e^{-2t}-t)=0$?

-- Ср июн 27, 2012 18:27:26 --

Я сейчас не могу вспомнить, как выглядит трансляция+поворот, переводящие плоскость $(1,0,0)\cdot(x,y,z)+0=0$ в плоскость $n(t)\cdot(x,y,z)+(e^{-2t}-t)=0$, но оно есть, и переводит $S\colon\begin{cases}x=v\\y=1-\sqrt{1-v^2}\\z=0\end{cases}$ в интересующую $S'(t)\colon\begin{cases}x=x(t,v)\\y=y(t,v)\\z=z(t,v)\end{cases}$, и тогда при изменении параметров $0\leqslant t<+\infty,\,-1\leqslant v \leqslant 1$ получается мой желоб.

[Shtorm]

Joker_vD, после Вашего описания я тоже чётко представил себе этот желоб. Вы сказали, что определение, которое дал Oleg Zubelevich вполне сюда подходит. Я не спорю пока, буду разбираться. Но как из его определения нам извлечь методику нахождения уравнений А.П.? И потом встанет вопрос ещё, как искать вообще уравнения А.П. для поверхностей, заданных параметрически, в цилиндрической системе координат, в сферической..и ещё как нибудь...

[Алексей К.]

Shtorm в сообщении #589734 писал(а):

Алексей К., а Вы опробировали Ваш метод? Он нормально адекватно работает?

Нет, конечно.

Во-первых, "опробовать", но "апробировать".

Во-вторых, там всё очевидно. Причём всем очевидно, что оно работает (будете публиковать --- Вас обсмеют). За него не цепляются, потому что он вряд ли тянет на определение: в конце концов, задача определения соприкасающейся сферы будет эквивалентна исходной задаче.

В-третьих, эта задача совсем неинтересна и никому не нужна. Была бы от этих плоскостей польза --- их бы давно расписали. Здесь я по-прежнему солидарен с

ewert в сообщении #580923 писал(а):

... -- уж слишком много там разных бесконечностей. Соответственно, и подобное определение практически бесполезно; независимо от того, удастся ли придать ему формальный смысл.

В-четвёртых (на тему "разных бесконечностей"), --- Вы ещё не смотрели плоскости, которые "асимптотичны" в каком-то угловом секторе, скажем 18 оборотов. Или узеньком, как у пива. Или все $40^\circ$, и, соответственно, с волнистыми краями. Смотрели только про 180. А я специально не подсказывал, чтоб бодягу не раздувать.

[Shtorm]

Joker_vD, а вот до меня только сейчас дошло: если брать не Ваш желоб, а кривую, которая получается при пересечении спирального архимедова цилиндра и любой поверхности, выглядящей как круглый (эллиптичный) холм, с максимумом при $x=0, y=0$, то полученная кривая - сама по себе будет иметь асимптотическую плоскость (А.П.). То-то Вы так настаивали на наличии А.П. у плоских кривых. Теперь понятно. Вам бы надо было написать, что именно у пространственных кривых, а не у плоских. Тут я с Вами тогда согласен и это выводит нас на новый круг задач, связанных с поиском уравнений А.П. для пространственных кривых.

P.S. Кстати, а почему только архимедов спиральный цилиндр? Можно взять и логарифмический спиральный цилиндр. А почему только пересечение с холмом? Можно взять любую поверхность, имеющую свою собственную А.П.

[Shtorm]

ИСН в сообщении #589345 писал(а):

.. Другая, моя (ранее не формулировал): тупо любое континуальное подмножество. Интересный вариант, не находите? ...

Находим

(Оффтоп)

Это же то же самое, что и актуальная бесконечность

ИСН, то есть если мы возьмём то опредление, которое было и добавим про континуальное подмножество семейства параллельных плоскостей - то Вас такое устроит?
А как Вы оцените то последнее определение, которое предложил Oleg Zubelevich ?