Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #587145 писал(а):

Что понимать под симвoлом $M?$

Думаю, что это модуль ПСВ. $M=2*3*...*p_r$.

[vorvalm]

Тогда как понимать выражение:

[quote="Sonic86 в сообщении #586964"]

... множество $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$...

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #587482 писал(а):

Тогда как понимать выражение:

Sonic86 в сообщении #586964 писал(а):

... множество $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$...

Да! А здесь похоже $M=2, 3,...p_r$. Хотя рядом стоит $\text{ПСВ}_M$. Я думаю автор пояснит, что имел в виду?

[Sonic86]

Sonic86 в сообщении #586964 писал(а):

Вы взяли не $\text{ПСВ}_M=\{a:1\leqslant a\leqslant M, \text{НОД}(a,M)=1\}, M=p_1\ldots p_r$, а $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$

[vorvalm]

"Где это видано", чтобы одним и тем же символом
обозначались разные понятия ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #587500 писал(а):

"Где это видано", чтобы одним и тем же символом
обозначались разные понятия ?

Ну ладно, не в этом соль! Важно, что поняли!

[vorvalm]

vicvolf
Я лично не понял. Объясни мне тупому, ведь даже если
вместо $M$ будет $P(r)=\{2,3,...p_r\},$ то причем тут +1.
Это что, конкатенация, но чего?, 1 или $p_{r+1}$.
Если 1, то она все равно убирается \$ \{1\}$, но в ПСВ она остается.
Получается какая-то абракадабра, похожая на простую небрежность или снобизм.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #587567 писал(а):

vicvolf
Я лично не понял. Объясни мне тупому, ведь даже если
вместо $M$ будет $P(r)=\{2,3,...p_r\},$ то причем тут +1.
Это что, конкатенация, но чего?, 1 или $p_{r+1}$.
Если 1, то она все равно убирается \$ \{1\}$, но в ПСВ она остается.
Получается какая-то абракадабра, похожая на простую небрежность или снобизм.

Извините сейчас занят, но сегодня напишу.

[Sonic86]

vorvalm в сообщении #587567 писал(а):

вместо $M$ будет $P(r)=\{2,3,...p_r\},$ то причем тут +1.

А как Вы понимаете, например, запись $ax^2+bx+c$?

[vorvalm]

Не надо путать "божий дар с яичницей".

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #587567 писал(а):

vicvolf
вместо $M$ будет $P(r)=\{2,3,...p_r\},$ то причем тут +1.
Это что, конкатенация, но чего?, 1 или $p_{r+1}$.
.

Я понял, что $p_{r+1}$, т.е. ${M+1}={$2,3,...p_{r+1}$}.

-- 21.06.2012, 18:23 --

Sonic86 в сообщении #586964 писал(а):

Треугольник в формулировке теоремы построен на последовательности $\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ (обозначим его $T_1$), т.е. мы взяли последовательность и дополнили ее справа.

Все намного проще. Треугольник в формулировке теоремы построен на последовательности $\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ})\setminus\{1\}$. Я ничего не дополнял справа. Просто взял ПСВ без первой 1 и дополнил слева простыми числами $p_1, p_2,... p_r$.

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #587660 писал(а):

Я понял, что {M+1}={2,3,...$p_{r+1}$}.

И я вас понял. Извините, что вмешался в это дело.
Просто не терплю некомпетентность.

[vicvolf]

Все нормально! Просто вышла небольшая путаница с обозначениями! Я еще раз благодарен всем участникам обсуждения, чья компетенция меня вполне устраивает! Надеюсь и на дальнейшее продуктивное обсуждение!

[vicvolf]

Для продолжения темы введу новые понятия.
Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится последовательность нечетных чисел с возможными пропусками, начинающуюся с числа 3. Назовем строку разностей треугольника Гильбрайта «индикатором сходимости», если она будет первой строкой (сверху), содержащей только числа 0 и 2. Понятно, что ниже строки индикатора сходимости в треугольнике Гильбрайта находятся только строки разностей, содержащие только числа 0 и 2.
Рассмотрим последовательность натуральных чисел, состоящую из n последовательных ПСВM (nПСВ$_M$). На основании сказанного разности рядом стоящих чисел ПСВ$_M$ образуют периодическую последовательность с периодом M, состоящую из n периодов.
Если взять последовательность nПСВ$_M$ на интервале от 0,5M до 1,5M, то можно показать, что разности рядом находящихся чисел будут расположены симметрично относительно значения M.
Тогда к теореме 2 (Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится nПСВ$_M$ содержит строку разностей, состоящую из одних нулей) можно добавить следствие.
Следствие.
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВ$_M$ на интервале от 0,5M до 1,5M содержит строку разностей, состоящую из одних нулей.
Доказательство следует из симметрии последовательность nПСВ$_M$ на интервале от 0,5M до 1,5M относительно значения М.
Рассмотим треугольник Гильбрайта, когда в его основании находится интервал от 0,5m до 1,5m последовательности nПСВ$_m$. В середине указанной последовательности в основании находятся числа: $…, m-p_{r+1}, m-1, m+1, m+p_{r+1},….$ В середине строки первых разностей находятся числа: $…, p_{r+1}-1, 2, p_{r+1}-1,…$ Ниже находятся симметрично расположенные строки разностей, среди которых находится строка индикатор сходимости. Расположение этой строки зависит от r.
Теорема 3
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВ$_m$ на интервале от 0,5m до 1,5m содержит строку разностей – индикатор сходимости.
Доказательство
На основания следствия теоремы 2 на интервале от 0,5m до 1,5m содержит строку разностей, состоящую из одних нулей. Если выше строки, состоящей из одних нулей в треугольнике Гильбрайта, нет других строк, содержащих только числа 0 и 2, то строка, состоящая из одних нулей, удовлетворяет определению строки – индикатора сходимости. Если выше строки из одних нулей есть строки, состоящие только из чисел 0 и 2, то выберем ту из них, которая находится выше других. Данная строка удовлетворяет определению строки – индикатор сходимости.
Следствие 1
Треугольник Гильбрайта, у которого в основании находится последовательность nПСВ$_m$ содержит строку разностей – индикатор сходимости, которая является продолжение строка индикатора сходимости на интервале от 0,5m до 1,5m.
Доказательство. По определению nПСВ$_m$ данная последовательность содержит разности в треугольнике Гильбрайта периодически повторяющиеся с периодом m, в том числе и строку – индикатор сходимости.
В качестве примера на рис.2 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВ$_m$, где m=30=2*3*5, а n=3:
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Рис.2 Треугольник Гильбрайта с основанием 3*ПСВm
На рис.2 строка индикатор сходимости выделена жирным шрифтом.
Следствие 2
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее последовательность nПСВ$_m$, будет содержать строку индикатор сходимости, которая расположена также, как в треугольнике Гильбрайта с основанием nПСВ$_m$.
Доказательство.
В этом случае, последовательность натуральных чисел в основании треугольника Гильбрайта, начиная с простого числа $p_{r+1}$ полностью совпадает с nПСВ$_m$. Поэтому первые и последующие разности в Треугольнике Гильбрайта, с номерами больше r, полностью совпадают с аналогичными разностями в треугольнике Гильбрайта с основанием nПСВ$_m$, а следовательно, и со строкой разностей индикатора сходимости.
Остается определить, где будет находиться строка индикатор сходимости под простыми числами: $2, 3,…p_r$. Расположение строки индикатора сходимости не изменится, когда интервал nПСВ$_m$ $(1, p_{r+1})$ будет заменен на простые числа: $2, 3,…p_r$ с меньшими расстояниями между ними, так как они все вместе укладываются внутрь интервала $(1, p_{r+1})$.
Буду благодарен за замечания и предложения.

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #587660 писал(а):

$\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$

vicvolf в сообщении #587660 писал(а):

Я ничего не дополнял справа.

vicvolf в сообщении #587915 писал(а):

с основанием 3*ПСВ$_m$, где m=30=2*3*5, а n=3

vicvolf в сообщении #587915 писал(а):

91

Так добавляли или нет?