Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Подредактировал текст теоремы.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
После r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать $n_1>r$ последовательных простых чисел: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1} <p^2_{r+1}$. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с $n_1$ последовательными простыми числами.
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1$ последовательных простых чисел, то он будет сходиться для $1, 2, …r+1, r+2,…n_1$ шагов решета Эратосфена. После $n_1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта последовательные простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1+1}$.
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_2$ последовательных простых чисел, то он будет сходиться для $1, 2, …r+1, r+2,…n_1, n_1+1,…n_2$ шагов решета Эратосфена. После $n_2$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта последовательные простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}… p_{n3}<p^2_{n2+1}$ и.т.д.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество шагов решета Эратосфена $n_k$ не превысит нужного, наперед заданного, числа N, а треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после N шагов решета Эратосфена, будет сходиться.
Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Ваше доказательство основано на математической индукции, но почему вы берете
такой большой шаг индукции?
Ведь если ваше утверждение верно для $r$ шагов решета, то достаточно
доказать это утверждение для $r+1$ шагов.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #583144 писал(а):

Ваше доказательство основано на математической индукции,
если ваше утверждение верно для $r$ шагов решета, то достаточно доказать это утверждение для $r+1$ шагов.

Спасибо! Я подумаю.

А сейчас продолжение.
Обозначим количество чисел в подпоследовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена, не превосходящих число N – $E_r(N)$. На основании формулы включений и исключений получаем при $p_{r+1}$ < √N:
$E_r(N)$= r + N-1 - ∑[N/pi] + ∑[N/pi pj] - ∑[N/pi pj pk] +…+(-1)r[N/p1 p2… pr] (4),
где суммирование ведется по произведению простых делителей числа $M=p_1p_2…p_r$.
Например, после первого шага решета Эратосфена для N=30 количество таких чисел равно $E_1(30)=15$, после второго - $E_2(30)=11$. Естественно количество чисел после каждого шага решета Эратосфена убывает. Когда число шагов решета Эратосфена достигнет значения, что $p_{r+1}$ ≥ √N, то величина $E_r(N)$ достигнет своего минимального значения $\pi(N) $- количества простых чисел, не превосходящих числа N, и мы получаем известную формулу [3]:
$\pi(N) $= π(√N) + N-1 - ∑[N/pi] + ∑[N/pi pj] - ∑[N/pi pj pk] +…+(-1)r[N/p1 p2… pr] (5),
где суммирование ведется по произведению простых делителей числа $M=p_1p_2…p_r$.
Таким образом, для количества чисел в подпоследовательности, полученной после r-ого шага решета Эратосфена, не превосходящих число N выполняется условие:
$E_r(N)$.≥$\pi(N) $ (6).
Учитывая формулу (3), мы получаем соотношение:
$\pi(k,N)$≤$\pi(N) $≤$E_r(N)$ (7).
Равенства выполняются при k=2 и $p_{r+1}$ ≥ √N.
Следовательно, по количеству чисел в подпоследовательности, не превосходящих числа N, простые числа действительно занимают пограничное значение между рассматриваемыми подпоследовательностями.
Однако для сходимости треугольника Гильбрайта важно не только количество чисел в подпоследовательности, не превосходящих заданного числа, но и плотность их распределения в подпоследовательности. Действительно, в этом случае, как говорится, возможен вариант - в одном месте густо, а в другом - пусто. Поэтому для сходимости треугольника Гильбрайта важно, чтобы расстояние между членами подпоследовательности не превосходило бы расстояние между последовательными простыми числами.
Подпоследовательность чисел в решете Эратосфена имеет расстояние между числами, не превосходящее расстояние между последовательными простыми числами. Например, при r=3 между простыми числами 47 и 53 находится составное число 49. Как было показано в теореме 4, что треугольник Гильбрайта, в основании которого находится данная подпоследовательность, сходится.
С другой стороны, подпоследовательность простых чисел в арифметической прогрессии при k>2 имеет расстояние между числами, превосходящее расстояние между последовательными простыми числами. Например, в арифметической прогрессии 4t+3 пропущены простые числа 5,13,17 и.т.д. В теореме 1 было показано, что треугольник Гильбрайта, в основании которого находится данная подпоследовательность, расходится.
Таким образом, в работе показано, что последовательность простых чисел в основании треугольника Гильбрайта является пограничной, в смысле сходимости треугольника Гильбрайта.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #583144 писал(а):

Ведь если ваше утверждение верно для $r$ шагов решета, то достаточно доказать это утверждение для $r+1$ шагов.

Проведем доказательство теоремы 4 методом математической индукции.
Рассмотрим треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность решета Эратосфена при r=1:
2 3 5 7 9 11 и далее нечетные числа
1 2 2 2 2…….
1 0 0 0…….
Далее в строках треугольника будет первый элемент - 1, а остальные 0, поэтому треугольник Гильбрайта сходится.
Предположим, что треугольник Гильбрайта сходится для r=k и покажем, что в этом случае он будет сходиться при r=k+1.
Действительно, если треугольник сходится для r=k, т.е с подпоследовательностью, полученной после k шагов решета Эратосфена, то минимальное невычеркнутое число в этой подпоследовательности будет простое число $p_{k+1}$ [Бухштаб] . Таким образом, исходя из предположения, треугольник Гильбрайта сходится, когда в его основании находятся, как минимум простые числа: $2, 3,….p_k, p_{k+1}$, а следовательно, и после k+1 шага решета Эратосфена ч.т.д.

Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Приведенный численный пример неудачен.
Здесь не понятно,какое число $p_r.$
Надо избегать численных примеров в доказательстве.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #583350 писал(а):

Приведенный численный пример неудачен.

Это не численный пример. Это доказательство сходимости треугольника Гильбрайта при r=1 (1-ом шаге решета Эратосфена). Математическая индукция требует рассмотрения r=1, так как это показывает справедливость доказательства, начиная с r=1.

[vorvalm]

А почему вы взяли в качестве первого шага число $p_r=11.$
И потом у вас " далее нечетные простые числа".
Не просто нечетные числа, но вычеты ПСВ по модулю $p_r\#$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #583457 писал(а):

А почему вы взяли в качестве первого шага число $p_r=11.$
И потом у вас " далее нечетные простые числа".
Не просто нечетные числа, но вычеты ПСВ по модулю $p_r\#$

Нет при r=1 $p_r=2$. Можно написать 3, 5,7 и далее вычеты ПСВ по модулю $M=2^n$. А что скажите насчет последнего сообщения от 10.06.12?

[vorvalm]

Хорошо. Ваша теорема доказывает сходимость $\Delta$ Гильбрайта,
в основании которого лежит последовательность вычетов, образованная после $r$
шагов решета.
Однако, она еще не доказывает, что отдельно взятый интервал $(2,p^2_{r+1})$
в качестве основания $\Delta$ - сходится.
Этот интервал является относительно небольшой частью всей последовательности вычетов ПСВ.
В отношении другого сообщения не могу ничего сказать. Трудно разобрать текст без $LaTeX.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #583813 писал(а):

Хорошо. Ваша теорема доказывает сходимость $\Delta$ Гильбрайта,
в основании которого лежит последовательность вычетов, образованная после $r$
шагов решета.
Однако, она еще не доказывает, что отдельно взятый интервал $(2,p^2_{r+1}$
в качестве основания $\Delta$ - сходится.

По индукции предполагается, что при r=k треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность решета Эратосфена сходится, а это значит, что она сходится и для интервала простых чисел от 2 до $p^2_{k+1}$.

[vorvalm]

Интервал простых чисел $(2,p^2_{r+1})$ является частью всей последовательности
вычетов ПСВ по модулю $t\cdot p_r\#$
Так вот, та часть этой последовательности, которая следует непосредственно за интервалом $(2,p^2_{r+1})$
сглаживает большие разности между простыми числами указанного интервала.
Если же за интервалом $(2,p^2_{r+1})$ будут следовать не вычеты ПСВ,
но последовательные простые числа, то этого сглаживания уже не будет и неизвестно,
сойдется ли $\Delta$ Гильбрайта при $r\rightarrow \infty.$
Здесь надо искать другой подход.

[vicvolf]

Если рассматривать сходимость треугольника Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$ кроме первого интервала, то треугольник Гильбрайта сходится на всех интервалах на основании теоремы 3, т.е левая сторона треугольника будет, кроме первого интервала, всегда состоять только из чисел 0 и 2.

-- 12.06.2012, 22:44 --

Теперь рассмотрим сходимость треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена.
Указанную подпоследовательность можно разбить на два интервала. На первом интервале находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$. На втором интервале находятся числа ПСВ$_M$, сходимость которых исследовалась выше. Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$ расходился при r>2 из-за проблем, возникающих на интервале 1,…$p_{r+1}$ из-за большого расстояния $p_{r+1}-1$. В подпоследовательности натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, на данном интервале находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$, расстояния между которыми значительно меньше. Поэтому подпоследовательность натуральных чисел, получаемых после r-ого шага решета Эратосфена, сходится, если будет сходиться треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…..p_r$.
Я напомнил, что писал по этому вопросу в темах выше.

[vorvalm]

$\Delta$ Гильберта с основанием последовательности вычетов после $r$
шагов решета может и сходится..., но отдельные его части:
1) интервал $(2,p_r)$,
2) ПСВ по модулю $t\cdot p_r\#$
могут и не сходится.
В ПСВ разность $d=p_{r+1}-1$ не является максимальной при $p_r>7.$
Более того, в ПСВ как минимум есть разности $d=2p_{r-1}$
А если итти дальше (а мы считаем, что $r\rightarrow\infty$), то среди вычетов ПСВ
и среди простых чисел существуют арифметические прогрессии с разностью $k\cdot p_x\#$,
которые с увеличением шага решета будут создавать такие огромные разности
в строках $A_i$, что трудно даже себе представить.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #584304 писал(а):

$\Delta$ Гильберта с основанием последовательности вычетов после $r$
шагов решета может и сходится..., но отдельные его части:
1) интервал $(2,p_r)$,
2) ПСВ по модулю $t\cdot p_r\#$
могут и не сходится.

Из определения сходимости это быть не может! Во всех строках разностей при сходимости первые элементы равны 0 или 2.

Цитата:

В ПСВ разность $d=p_{r+1}-1$ не является максимальной при $p_r>7.$
Более того, в ПСВ как минимум есть разности $d=2p_{r-1}$
А если итти дальше (а мы считаем, что $r\rightarrow\infty$), то среди вычетов ПСВ
и среди простых чисел существуют арифметические прогрессии с разностью $k\cdot p_x\#$,
которые с увеличением шага решета будут создавать такие огромные разности
в строках $A_i$, что трудно даже себе представить

Да, я знаю, что разность $d=p_{r+1}-1$ не является максимальной. Однако она является самой критичной для сходимости треугольника Гильбрайта. Дело в том, что далее по теореме 3 в подпоследовательности ПСВ$_M$ в строке с номером не превосходяшим число Эйлера от $m=2*3*...*p_r$ начинаются строки нулей, а следовательно гарантируется сходимость (первый элемент в строке равен 0). Поэтому разности в середине ПСВ$_m$, на стыке первого и второго ПСВ$_m$ и далее в последующих ПСВ$_m$ не являются критичными для сходимости треугольника Гильбрайта.

[vorvalm]

Теорема 3 доказывает наличие нулевой строки для любой ПСВ, но это
при наличии 1 в составе ПСВ.
Но в последовательности вычетов после $r $ шагов единицы нет.