Исследование гипотезы Гильбрайта

[vicvolf]

Sonic86 спасибо, что приняли участие в обсуждении. Вчера, к сожалению, опоздал к началу!

Sonic86 в сообщении #585872 писал(а):

vicvolf в сообщении #585830 писал(а):

Все верно!

Блин Не то число написал: $M=14$:

$$ \begin{tabular}{cccccccccccccc} 1 & 3 & 5 & 9 & 11 & 13 & 15 & 17 & 19 & 23 & 25 & 27 & 29 & 31 \\ 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \end{tabular} $$

6-я строка - циклический сдвиг 4-й. Значит зацикливается.

То что Вы написали не является вообще ПСВ!
При M=14 получаем:
1 3 5 9 11 13
2 2 4 2 2
0 2 2 0
2 0 2
2 2
0
"0" в последней строке вполне соответствует утверждению теоремы.

-- 17.06.2012, 12:07 --

vorvalm в сообщении #585876 писал(а):

$\varphi(14)=6.$

Конечно!

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #585923 писал(а):

"0" в последней строке вполне соответствует утверждению теоремы.

Ааа, Вы его ограничиваете. Тогда буду дальше читать...

UPD:

vicvolf в сообщении #585923 писал(а):

То что Вы написали не является вообще ПСВ!

Это подпоследовательность из $\text{ПСВ}_{14}+14\mathbb{Z}$.

[vicvolf]

Sonic86 в сообщении #585926 писал(а):

vicvolf в сообщении #585923 писал(а):

"0" в последней строке вполне соответствует утверждению теоремы.

Ааа, Вы его ограничиваете. Тогда буду дальше читать...

Буду ждать!

[vorvalm]

Если в качестве основания брать не основную ПСВ, то
$\Delta$ так же сходится , когда вычеты ПСВ
расплолжены симметрично относительно числа $M $ ,
т.е. когда одни больше , другие меньше $M.$
А если вычеты расположены иначе ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #585970 писал(а):

Если в качестве основания брать не основную ПСВ, то
$\Delta$ так же сходится , когда вычеты ПСВ
расплолжены симметрично относительно числа $M $ ,
т.е. когда одни больше , другие меньше $M.$
А если вычеты расположены иначе ?

Ну почему только симметрично относительно m. Вот, например, треугольник Гильбрайта для M=3m:
Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{90}$ ($M=2*3^2*5$)

1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

[vorvalm]

Я имел в виду следующее.
Например, основная ПСВ(30): ,7,11,13,17,19,23,29.
Не основная ПСВ, у которой центр симметрии М=30.
17,19,23,29,31,37,41,43
2,4,6,2,6,4,2
2,2,4,4,2,2
0,2,0,2,0
2,2,2,2
0,0,0
И еще. Обозначение модуля со степенями простых чисел как-то не смотрится.
Не лучше ли обозначать модуль с коэффициентом: $M=km,$ где
в коэффициент k входят все простые числа модуля в степени $p^{n-1},$
а также другие числа, кроме $p_{r+1}.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #586246 писал(а):

Я имел в виду следующее.
Например, основная ПСВ(30): ,7,11,13,17,19,23,29.

Почему без "1"?

Цитата:

Не основная ПСВ, у которой центр симметрии М=30.
17,19,23,29,31,37,41,43
2,4,6,2,6,4,2
2,2,4,4,2,2
0,2,0,2,0
2,2,2,2
0,0,0

Да, для этой ПСВ также справедливо.

Цитата:

И еще. Обозначение модуля со степенями простых чисел как-то не смотрится.
Не лучше ли обозначать модуль с коэффициентом: $M=km,$ где
в коэффициент k входят все простые числа модуля в степени $p^{n-1},$
а также другие числа, кроме $p_{r+1}.$

Тогда надо указывать канонический вид m. Здесь надо учесть, что может быть m=2*3, а k=5.

[vorvalm]

Да, 1 пропущена.
Под модулем $m$ надо понимать $p_r\#.$
Но если $p_r\#=6,$ то $k$ не может быть 5, т.к
тогда это будет $p_{r+1}\#=30.$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #586334 писал(а):

Под модулем $m$ надо понимать $p_r\#.$

Да, можно писать $M=kp_r\#.$

-- 18.06.2012, 12:47 --

vorvalm в сообщении #586334 писал(а):

Но если $p_r\#=6,$ то $k$ не может быть 5, т.к
тогда это будет $p_{r+1}\#=30.$

Нет, это просто 5 раз повторили m=2*3 и в этом случае 5m не равно $p_{r+1}\#=30.$.
Здесь проблема! Получается, что это не ПСВ и теорема 2 на этот случай не распространяется. Получается, что в этом случае k может иметь разложение только по степеням 2 и 3, т.е получается 2m, 3m, 4m, 6m, 8m, 9m, 12m и.т.д.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #586335 писал(а):

Здесь проблема! Получается, что это не ПСВ и теорема 2 на этот случай не распространяется. Получается, что в этом случае k может иметь разложение только по степеням 2 и 3, т.е получается 2m, 3m, 4m, 6m, 8m, 9m, 12m и.т.д.

Конечно, если m достаточно велико, то это не имеет значение!

[vorvalm]

Здесь надо четко разграничить понятия.
По какому модулю мы рассматриваем ПСВ, по $m$ или по $M=km ?$
Если только по $m,$ то коэффициент надо ставить перед ПСВ, например, кПСВ($m$) -
здесь к уже не является коэффициентом при $m$ и может быть любым числом.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #586736 писал(а):

Здесь надо четко разграничить понятия.
По какому модулю мы рассматриваем ПСВ, по $m$ или по $M=km ?$
Если только по $m,$ то коэффициент надо ставить перед ПСВ, например, кПСВ($m$) -
здесь к уже не является коэффициентом при $m$ и может быть любым числом.

Согласен. Теорема 3 о наличии нулевой строки в ПСВ справедлива для любого ПСВ по модулю m и M, но не справедлива для кПСВ($m$) , где к - любое число.
Я провел исследования на компьютере по определению нулевой строки для больших ПСВ и выяснил:
1. Нулевая строка в ПСВ при больших m находится низко (например, при m=210 в 43 строке разностей и состоит из 5 нулей).
2. Нулевая строка в ПСВ при больших M=km не является продолжением нулевой строки для ПСВ с m (например при m=210 и k=2 в 91 строке разностей и состоит также из 5 нулей).
Это дает объяснение наличия подряд нескольких нулей в строках разностей треугольника Гильбрайта с основанием 2, 3 и.т.д. последовательные простые числа, к чему я позже возвращусь, но мало, что дает для исследования сходимости треугольника Гильбрайта.
Сейчас у меня есть идеи по направлению дальнейших исследований и в скором времени я опубликую их в теме. Большое спасибо участникам обсуждения за замечания и предложения по улучшению работы!

[Sonic86]

vicvolf в сообщении #585044 писал(а):

Следствие 2 (Теоремы 3)
Треугольник Гильбрайта, в основании которого находятся простые числа: $2, 3,…p_r$ и далее подпоследовательность натуральных чисел ПСВ$_M$, начиная с простого числа $p_{r+1}$, будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
Доказательство.
В этом случае, подпоследовательность натуральных чисел в основании треугольника Гильбрайта, начиная с простого числа $p_{r+1}$ полностью совпадает с ПСВ$_M$. Поэтому первые и последующие разности в Треугольнике Гильбрайта, с номерами больше r, полностью совпадают с аналогичными разностями в треугольнике Гильбрайта с основанием ПСВ$_M$, а следовательно, и со строкой разностей, содержащей нули ч.т.д.

В таком виде это ничего не доказывает.
Во-первых, Вы взяли не $\text{ПСВ}_M=\{a:1\leqslant a\leqslant M, \text{НОД}(a,M)=1\}, M=p_1\ldots p_r$, а $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$, а Ваша теорема о нулевой строке доказана не для такого множества, а для $\text{ПСВ}_M$, так что пока не факт, что в треугольнике Гилбрайта, построенном на последовательности $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$, будет нулевая строка. (Тем более, что множество $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ несимметрично относительно середины)
Во-вторых (и это более существенно), пусть мы даже предположим, что в треугольнике, построенном на $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ есть нулевая строка; обозначим его $T_0$. Треугольник в формулировке теоремы построен на последовательности $\{p_1,\ldots,p_r\}\cup(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$ (обозначим его $T_1$), т.е. мы взяли последовательность и дополнили ее справа. В результате в треугольнике $T_1$, все строки длины $\geqslant r$ буду получаться из строк треугольника $T_0$ дописыванием слева $r$ каких-то чисел. Но каких? - неизвестно. Если нулевую строку дополнить слева $r$ числами, то получится нулевая строка? - неизвестно. Даже если пытаться по индукции доказывать - пусть в треугольнике, построенном на простых числах $p_1,\ldots,p_r$ есть нулевая строка и в $T_0$ есть нулевая строка. Следует ли отсюда, что в $T_1$ есть нулевая строка? - неизвестно. Если номера нулевых строк совпадут (что маловероятно), то есть, а если не совпадут - неизвестно что будет.
В доказательстве об этом нет ничего, так что пока доказательства нет.
Так что еще пилить и пилить...

[vicvolf]

Sonic86 Большое спасибо за анализ. В предыдущем сообщении я уже писал, что теорема 3 хотя справедлива, но мало, что дает для доказательства сходимости треугольника Гильбрайта и пояснил почему.

[vorvalm]

Sonic86 в сообщении #586964 писал(а):

Во-первых, Вы взяли не $\text{ПСВ}_M=\{a:1\leqslant a\leqslant M, \text{НОД}(a,M)=1\}, M=p_1\ldots p_r$, а $(\text{ПСВ}_M\cup\{M+1\})\setminus\{1\}$,

[/quote]
Что понимать под симвoлом $M?$