2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 26  След.
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 18:15 


31/12/10
1555
Но это только для основания 2,3,5,7,11.
А если основание другое ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 18:37 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #582300 писал(а):
Но это только для основания 2,3,5,7,11.
А если основание другое ?

Например
2 3 5 7 13 17
1 2 2 6 4
1 0 4 2
1 4 2
3 2
1
Треугольник расходится. А11=2, А22=0, А33=4>2, A44=2. Треугольник может расходиться из-за большого расстояния между любыми элементами. В данном случае 13-7=6.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 18:52 


31/12/10
1555
Да. Здесь явно просматривается связь между величиной интервала простых чисел
и максимально возможной разностью на этом интервале.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 21:35 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #582312 писал(а):
Да. Здесь явно просматривается связь между величиной интервала простых чисел
и максимально возможной разностью на этом интервале.

Вот я и хочу показать, что расстояния между последовательными простыми числами 2, 3, и.т.д. является границей сходимости. Если просеивать эту последовательность арифметической прогрессией и увеличить расстояние между простыми числами, то последовательность будет расходиться. А если взять в основании треугольника Гильбрайта последовательность решета Эратосфена, где расстояние будет меньше, чем между последовательными простыми числами. то треугольник будет сходиться.

-- 08.06.2012, 22:14 --

Продолжение о сходимости треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательнось решета Эратосфена.
Отметим, что после r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а n1-1>r последовательных простых чисел: 2, 3, …pr, pr+1,… pn1 <p2r+1. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с n1-1 последовательными простыми числами. Например, после 4 шагов решета Эратосфена, кроме простых чисел: 2,.3, 5, 7 подпоследовательность будет содержать последовательные простые числа от 11 до 113, т.е еще 26 простых числа.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1}+1$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество последовательных простых чисел в основании треугольника Гильбрайта nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.
Буду благодарен за замечания и предложения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 22:49 


31/12/10
1555
Предложение. Не ленитесь обрабатывать текст по LaTeX.
Иначе получается не солидно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение08.06.2012, 23:14 


23/02/12
3335
Да. немного подредактирую.
Продолжение о сходимости треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательнось решета Эратосфена.
Отметим, что после r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а $n_1-1>r$ последовательных простых чисел: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1} <p^2_{r+1}$. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с $n_1-1$ последовательными простыми числами. Например, после 4 шагов решета Эратосфена, кроме простых чисел: 2,.3, 5, 7 подпоследовательность будет содержать последовательные простые числа от 11 до 113, т.е еще 26 простых числа.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1+1}$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество последовательных простых чисел в основании треугольника Гильбрайта nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 12:49 


23/02/12
3335
vicvolf в сообщении #581535 писал(а):
Продожение.
В последнем примере мы рассмотрели ПСВ по модулю 30=2*3*5, т.е модуль равный произведению последовательных простых чисел. Обозначим такой модуль – m, т.е $m=2*3*5*…* p_r$ , где $p_r$ – простое число с номером r.
Теперь рассмотрим подпоследовательность натуральных чисел, состоящую из n ПСВm, т.е периодическую последовательность с периодом m, состоящую из n периодов, где $n= 2^{a1}*3^{a2}*…* {p_r}^{a_r}$, при этом некоторые ai могут быть равны 0. Легко увидеть, что таким образом мы получили ПСВ по модулю $M=2^{a1+1}*3^{a2+1}*…* {p_r}^{ar+1}$. На основании теоремы 3 для указанной ПСВ$_M$ треугольник Гильбрайта также будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
В качестве примера на рис.3 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$ (M=60=22*3*5)
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
Рис.3 Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$

Еще один пример на эту тему:
В качестве примера рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{90}$ ($M=90=2*3^2*5$)
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Здесь в основании находится ПСВ по модулю 3*m, где m=2*3*5.
Таким образом. последовательность нулей находится в 9 строке разностей, также как и для ПСВ по модулю 2m. Аналогично будет для ПСВ по модулю n*m, если n>1. Положение строки нулей зависит только от модуля $m=2*3*..*p_r$.

Кстати, какое Ваше мнение по теореме 4?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 13:30 


31/12/10
1555
Пока соображаю...

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 13:44 


23/02/12
3335
Уточнение жирным цветом.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1+1}$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество шагов решета Эратосфена nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 19:17 


31/12/10
1555
По теореме 4.
Мне не понятно, зачем понадобилось изменять шаг решета с $r$ на $n_1-1.$
От этого ничего не меняется, но воспринимается с трудом.
Остальное позже.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 19:51 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #582709 писал(а):
По теореме 4.
Мне не понятно, зачем понадобилось изменять шаг решета с $r$ на $n_1-1.$
От этого ничего не меняется, но воспринимается с трудом.
Остальное позже.

Спасибо. После r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а $n_1>r$ последовательных простых чисел: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1} <p^2_{r+1}$. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с $n_1$ последовательными простыми числами, т.е. при большем, чем r числе шагов решета Эратосфена: r+1, r+2,... $n_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 20:09 


31/12/10
1555
Почему ближайшее простое число меньше $p^2_{r+1}$ имеет индекс $n_1$ ?...или $n_1-1$ ?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 20:17 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #582721 писал(а):
Почему ближайшее простое число меньше $p^2_{r+1}$ имеет индекс $n_1$ ?...или $n_1-1$ ?

Я исправил в предыдущем сообщении $n_1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 20:59 


31/12/10
1555
Обозначая шаг решета через $r$, мы подразумевам, что это плаваюшая
(незакрепленная) величина и как бы мы не обозначали ближайшее $p_x<p^2_{r+1}$
чтобы перейти к шагу x, нам придется все равно проходить шаги $r+1,\;r+2,$ и т.д.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследование гипотезы Гильбрайта
Сообщение09.06.2012, 22:27 


23/02/12
3335
vorvalm в сообщении #582739 писал(а):
Обозначая шаг решета через $r$, мы подразумевам, что это плаваюшая
(незакрепленная) величина и как бы мы не обозначали ближайшее $p_x<p^2_{r+1}$
чтобы перейти к шагу x, нам придется все равно проходить шаги $r+1,\;r+2,$ и т.д.

Да, согласен. Я подредактирую текст теоремы.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 384 ]  На страницу Пред.  1 ... 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ... 26  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group