Исследование гипотезы Гильбрайта

[vorvalm]

Но это только для основания 2,3,5,7,11.
А если основание другое ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582300 писал(а):

Но это только для основания 2,3,5,7,11.
А если основание другое ?

Например
2 3 5 7 13 17
1 2 2 6 4
1 0 4 2
1 4 2
3 2
1
Треугольник расходится. А11=2, А22=0, А33=4>2, A44=2. Треугольник может расходиться из-за большого расстояния между любыми элементами. В данном случае 13-7=6.

[vorvalm]

Да. Здесь явно просматривается связь между величиной интервала простых чисел
и максимально возможной разностью на этом интервале.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582312 писал(а):

Да. Здесь явно просматривается связь между величиной интервала простых чисел
и максимально возможной разностью на этом интервале.

Вот я и хочу показать, что расстояния между последовательными простыми числами 2, 3, и.т.д. является границей сходимости. Если просеивать эту последовательность арифметической прогрессией и увеличить расстояние между простыми числами, то последовательность будет расходиться. А если взять в основании треугольника Гильбрайта последовательность решета Эратосфена, где расстояние будет меньше, чем между последовательными простыми числами. то треугольник будет сходиться.

-- 08.06.2012, 22:14 --

Продолжение о сходимости треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательнось решета Эратосфена.
Отметим, что после r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а n1-1>r последовательных простых чисел: 2, 3, …pr, pr+1,… pn1 <p2r+1. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с n1-1 последовательными простыми числами. Например, после 4 шагов решета Эратосфена, кроме простых чисел: 2,.3, 5, 7 подпоследовательность будет содержать последовательные простые числа от 11 до 113, т.е еще 26 простых числа.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1}+1$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество последовательных простых чисел в основании треугольника Гильбрайта nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.
Буду благодарен за замечания и предложения.

[vorvalm]

Предложение. Не ленитесь обрабатывать текст по LaTeX.
Иначе получается не солидно.

[vicvolf]

Да. немного подредактирую.
Продолжение о сходимости треугольника Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательнось решета Эратосфена.
Отметим, что после r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а $n_1-1>r$ последовательных простых чисел: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1} <p^2_{r+1}$. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с $n_1-1$ последовательными простыми числами. Например, после 4 шагов решета Эратосфена, кроме простых чисел: 2,.3, 5, 7 подпоследовательность будет содержать последовательные простые числа от 11 до 113, т.е еще 26 простых числа.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1+1}$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество последовательных простых чисел в основании треугольника Гильбрайта nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #581535 писал(а):

Продожение.
В последнем примере мы рассмотрели ПСВ по модулю 30=2*3*5, т.е модуль равный произведению последовательных простых чисел. Обозначим такой модуль – m, т.е $m=2*3*5*…* p_r$ , где $p_r$ – простое число с номером r.
Теперь рассмотрим подпоследовательность натуральных чисел, состоящую из n ПСВm, т.е периодическую последовательность с периодом m, состоящую из n периодов, где $n= 2^{a1}*3^{a2}*…* {p_r}^{a_r}$, при этом некоторые ai могут быть равны 0. Легко увидеть, что таким образом мы получили ПСВ по модулю $M=2^{a1+1}*3^{a2+1}*…* {p_r}^{ar+1}$. На основании теоремы 3 для указанной ПСВ$_M$ треугольник Гильбрайта также будет содержать строку, состоящую из одних нулей.
В качестве примера на рис.3 рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$ (M=60=22*3*5)
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0
0 2 0 2 0 2 0 2 0
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0
Рис.3 Треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{60}$

Еще один пример на эту тему:
В качестве примера рассмотрим треугольник Гильбрайта с основанием ПСВ$_{90}$ ($M=90=2*3^2*5$)
1 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 49 53 59 61 67 71 73 77 79 83 89 91
6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2 6 4 2 4 2 4 6 2
2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4 4 2 2 2 2 2 2 4
0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2
0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2
0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2
0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Здесь в основании находится ПСВ по модулю 3*m, где m=2*3*5.
Таким образом. последовательность нулей находится в 9 строке разностей, также как и для ПСВ по модулю 2m. Аналогично будет для ПСВ по модулю n*m, если n>1. Положение строки нулей зависит только от модуля $m=2*3*..*p_r$.

Кстати, какое Ваше мнение по теореме 4?

[vorvalm]

Пока соображаю...

[vicvolf]

Уточнение жирным цветом.
Теорема 4. Треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится.
Доказательство
Если треугольник Гильбрайта сходится для $n_1-1$ последовательных простых чисел, то после $n_1-1$ шагов решета Эратосфена мы получим в основании треугольника Гильбрайта подпоследовательность, при которой треугольник будет сходиться. При этом в основании треугольника Гильбрайта будут находиться следующие простые числа: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1}… p_{n2}<p^2_{n1+1}$.
Мы можем повторять эту процедуру k раз до тех пор, пока количество шагов решета Эратосфена nk-1 не превысит нужного, наперед заданного, числа N. Таким образом, треугольник Гильбрайта, в основании которого находится подпоследовательность, получаемая после любого наперед заданного числа шагов решета Эратосфена, сходится ч.т.д.

[vorvalm]

По теореме 4.
Мне не понятно, зачем понадобилось изменять шаг решета с $r$ на $n_1-1.$
От этого ничего не меняется, но воспринимается с трудом.
Остальное позже.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582709 писал(а):

По теореме 4.
Мне не понятно, зачем понадобилось изменять шаг решета с $r$ на $n_1-1.$
От этого ничего не меняется, но воспринимается с трудом.
Остальное позже.

Спасибо. После r-ого шага решета Эратосфена, получаемая подпоследовательность будет содержать не r последовательных простых чисел, а $n_1>r$ последовательных простых чисел: $2, 3, …p_r, p_{r+1},… p_{n1} <p^2_{r+1}$. Поэтому треугольник Гильбрайта будет сходиться уже для основания с $n_1$ последовательными простыми числами, т.е. при большем, чем r числе шагов решета Эратосфена: r+1, r+2,... $n_1$.

[vorvalm]

Почему ближайшее простое число меньше $p^2_{r+1}$ имеет индекс $n_1$ ?...или $n_1-1$ ?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582721 писал(а):

Почему ближайшее простое число меньше $p^2_{r+1}$ имеет индекс $n_1$ ?...или $n_1-1$ ?

Я исправил в предыдущем сообщении $n_1$.

[vorvalm]

Обозначая шаг решета через $r$, мы подразумевам, что это плаваюшая
(незакрепленная) величина и как бы мы не обозначали ближайшее $p_x<p^2_{r+1}$
чтобы перейти к шагу x, нам придется все равно проходить шаги $r+1,\;r+2,$ и т.д.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #582739 писал(а):

Обозначая шаг решета через $r$, мы подразумевам, что это плаваюшая
(незакрепленная) величина и как бы мы не обозначали ближайшее $p_x<p^2_{r+1}$
чтобы перейти к шагу x, нам придется все равно проходить шаги $r+1,\;r+2,$ и т.д.

Да, согласен. Я подредактирую текст теоремы.