Вопрос про обобщённые функции!

[Someone]

ψυ& писал(а):

Извините, а разве произведение двух обобщённых функций вообще имеет смысл? По Колмогорову "Функциональный анализ" (стр.207) такое произведение невозможно, если операция непрерывна. а для регулярных обобщённых функций совпадала бы с обычным умножением!

Вот, стоит только неаккуратно выразиться - и пожалуйста. Разумеется, я имел в виду именно это. А "вообще" произведение двух обобщённых функций при определённых условиях определить можно. Только не для всех пар, а для некоторых. Например, если одна из них регулярна, и в некоторых других случаях.
Посмотрите в "Математической энциклопедии" статью "Обобщённых функций произведение".

[LynxGAV]

Someone, мне понятно, почему Вам не понятно . Потому что Вы не знаете как физически ставятся такие задачи. Я дописала в своем предпоследнем сообщении конкретный пример.

Вопрос, который ставит Аурелиано, для физиков не стоит.

[Аурелиано Буэндиа]

ψυ& писал(а):

Извините, а разве произведение двух обобщённых функций вообще имеет смысл? По Колмогорову "Функциональный анализ" (стр.207) такое произведение невозможно, если операция непрерывна. а для регулярных обобщённых функций совпадала бы с обычным умножением!

Колмогорова посмотрел. У Колмогорова это не упоминается, но cуществуют исключения. Вот примеры:
$\delta(x) |x|=0$, или $\hbox{sgn}(x)|x|=x$

Someone писал(а):

Только не для всех пар, а для некоторых. Например, если одна из них регулярна, и в некоторых других случаях. Посмотрите в "Математической энциклопедии" статью "Обобщённых функций произведение".

А есть примеры когда обе функции нерегулярны? Мне это неизвестно. "Мат. энциклопедию" посмотреть сложно - она
очень много занимает (5 томов по 25Mb).
Кстати, а можно доказать отсутствие непрерывности функционала $V(\phi)$,
если предположить, что произведение
$V*\hbox{exp}(ik|\vec{x}|)/|\vec{x}|=\delta(\vec{x})$
можно ввести? Т.е. доказать, от противного, что $V$ не может быть обобщенной функцией.

[Capella]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Колмогорова посмотрел. У Колмогорова это не упоминается, но cуществуют исключения. Вот примеры:
$\delta(x) |x|=0$, или $\hbox{sgn}(x)|x|=x$

Знасит плохо смотрели! Ещё раз: Колмогоров, Фомин "Элементы теории функций и функционального анализа" . Колмогоров рассматривает обобщённые функции в параграфе 4 (стр 204 и далее) и отказывается вводить понятие "произведение". Аргументацию (хотя здесь это слово не совсем удачно, авторы рассматривают это без доказательств) можете прочесть на стр 207 того-же учебника.
Настёт исключений, если они правильны - то Вы конечно правы. Я эти примеры ещё не анализировала.

[Capella]

Простите пожайлуста, может быть я Вас не так поняла и Вы имели ввиду, что исключения не упоминаются? В любом случае я хочу сначала прочитать "Математическую энциклопедию". Хотя то, что исключения существуют, готова признать уже сейчас (посмотрела Ваши примеры)

[Свинтус]

Здесь люди тоже пытались помочь по этому поводу:

http://www.livejournal.com/users/flying_bear/64297.html

[LynxGAV]

Сошлёмся на то, что я девушка .

Пространственная часть волнового уравнения - уравнение Гельмгольца:

$(\triangle + k^2) G (\vec r) = - \delta (\vec r)$.

В трехмерном случае его решением является следующая функция Грина: $G(\vec r) = \frac {e^{ikr}}{4\pi r}$.

Стационарное трехмерное уравнение Шредингера:

$(-\triangle + \frac{2m}{{\hbar}^2}U (\vec r))\psi (\vec r) = k^2 \psi (\vec r)$ ($E>0$ - состояния не связанные),

в нем $\psi (\vec r)$ - неизвестная функция, $U(\vec r)$ - потенциал, задаваемый условием задачи (от константы до чего-то совершенно безобразного), но иногда удается искать решение и в общем виде.

Переобозначим $\frac{2m}{{\hbar}^2}U (\vec r)) = V (\vec r)$, тогда $(\triangle + k^2) \psi (\vec r) = V(\vec r) \psi (\vec r)$.

И далее ты говоришь: "Мне известно следующее решение." И приводишь его. Откуда? Объясни, пожалуйста, потому что мне оно неизвестно.

Формально, ты берешь и полагаешь (обозначаешь) $V(\vec r) \psi (\vec r) = -\delta (\vec r)$. Кто сказал, что это так? (Всем порядочным это известно??) Я не понимаю. По-моему, это надо еще доказать, причем из самых общих соображений. Известно: 1. $\psi (\vec r)$ должна принадлежать Гильбертову пространству; из физических соображений, однозначно, функция, как и первая ее производная, должны быть continuous, предел на плюс-минус бесконечности, по идее, должен быть равен нулю. 2. $V (\vec r)$, как я уже говорила, может быть discontinuous, но ограниченная (вообще-то это утверждение стопроцентно верно для одномерного пространства).

Как только показано, что правая часть уравнения суть функция Дирака с точностью до знака, ты говоришь: решением данного уравнения является $\psi (\vec r) = \frac {e^{ikr}}{4\pi r}$ и можно начинать заниматься "произведениями".

Вот такая убийственная у меня, Аурелиано Буэндия и Someone, логика. (Сошлемся на то, что такой дисциплины не было .) Может быть тут какие-то известные математические\физические факты используются, о которых я не и подозреваю? Может быть я "не в ту сторону" думаю? Да, я не имею обыкновения доказывать, только решать и исследовать решение, посему не понимаю и считаю, что данная задача поставлена некорректно (или мне не понятно.)

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV писал(а):

Сошлёмся на то, что я девушка .

Насчёт этого согласен. И не просто девушка, а замечательная девушка
Дальше буду отвечать по порядку:

LynxGAV писал(а):

И далее ты говоришь: "Мне известно следующее решение." И приводишь его. Откуда? Объясни, пожалуйста, потому что мне оно неизвестно...
Как только показано, что правая часть уравнения суть функция Дирака с точностью до знака, ты говоришь: решением данного уравнения является $\psi (\vec r) = \frac {e^{ikr}}{4\pi r}$ и можно начинать заниматься "произведениями".

Логика такая. В одномерье уравнение Шрёдингера $-\psi''+\delta(x)\psi=k^2\psi$ имеет решение. Здесь потенциал точечная сингулярная обобщенная функция. Точечная в смысле точечного носителя. Вот я и задался вопросом: А существует ли его аналог в трех измерениях? Под аналогом я понимаю функцию $V$ которая везде в $\mathbb{R}^3$ ноль, кроме одной точки. Далее я для краткости обозначу $r=|\vec{x}|$. Таким обоазом по условию $V({r>0})=0$, поэтому уравнение Шредингера становится уравнением Гельмгольца. Мне также известно, что функция $\hbox{exp}(ikr)/r$ есть его частное решение. И я лишь предполагаю, что оно остается решением и при $r=0$. Возможно последнее предложение не совсем математически корректно, но точнее я выразиться не могу. От сюда и равенство $V\hbox{exp}(ikr)/r=\hbox{const}\cdot\delta(\vec{x})$. А дальше я спрашиваю какое должно быть $V$ из пространства обобщенных функций, чтобы это уравнение удовлетворялось. Всё свелось к вопросу "а можно ли ввести произведение 2-х сингулярных обобщенных функций?". И ответ, насколько я понимаю, отрицательный. Ну тогда я
ставлю вопрос так. Если это не функция и не обобщенная функция, то что???? Что же это может быть ещё с точки зрения математиков?

LynxGAV писал(а):

Известно: 1. $\psi (\vec r)$ должна принадлежать Гильбертову пространству; из физических соображений, однозначно, функция, как и первая ее производная, должны быть continuous. 2. $V (\vec r)$, как я уже говорила, может быть discontinuous, но ограниченная (вообще-то это утверждение стопроцентно верно для одномерного пространства).

Да $\psi \in$ гильбертову, точнее $L^2$ (гильбертовых пространств много) и $\hbox{exp}(-\alpha r)/r$ принадлежит. И думаю физические соображения можно наити такие, что $\hbox{exp}(ikr)/r$ будет хорошо смотреться. Но я еще раз говорю, я сейчас смотрю на проблему не как физик а как математик. И понимаю, что ничего не понимаю.

LynxGAV писал(а):

Может быть тут какие-то известные математические\физические факты используются, о которых я не и подозреваю? Может быть я "не в ту сторону" думаю?

ты думаешь в том направлении, в котором должен думать "нормальный" физик. Но вот что я тебе скажу. $\delta$-потенциал (т.е. точечное взаимодействие) используется и при выводе уравнения Г-П. Именно так там появляется кубическая нелинейность. Тебе я думаю это известно. Поэтому этот вопрос логичен и закономерен.

P.S. Насчёт Колмогорова. Думаю Колмогоров знал, что нельзя ввести произведение для всех обобщенных функций, но, поскольку он излагал общую теорию, то решил частные случаи не приводить.

[Аурелиано Буэндиа]

Кстати, Someone, ψυ&, LynxGav как Вы думаете может это псевдонаучная проблема?

[Someone]

Аурелиано Буэндиа писал(а):

Кстати, Someone, ψυ&, LynxGav как Вы думаете может это псевдонаучная проблема?

Да нет, не думаю, что эта проблема псевдонаучная. Вы взяли функцию, которая Вас по какой-то причине интересует, и пытаетесь выяснить, может ли она быть решением того уравнения, которое Вы изучаете, при каком-нибудь потенциале, причём, потенциал Вы ищете в классе обобщённых функций. Но искомого потенциала может и не существовать.
С другой стороны, проблема может оказаться тем, что я назвал бы псевдопроблемой, имея в виду, что она надуманная и от её решения никакой пользы не будет, кроме публикации очередной статьи. Я не зря спрашивал о физическом смысле этого решения. Однако как отличить действительную проблему от псевдопроблемы в указанном смысле, я не знаю. Найденное решение может очень долго быть никому не нужным, а потом вдруг всем понадобиться.

К сожалению, я специалист совсем не в той области, которая нужна, чтобы квалифицированно помочь Вам с решением. Здесь нужен специалист по уравнениям с частными производными, занимающийся как раз подобными обобщениями, когда коэффициенты уравнения могут быть разрывными или обобщёнными функциями. И решения здесь нужно понимать не в классическом смысле, а в некотором обобщённом...

P.S. Я когда-то читал, что в СССР, кажется, ещё в тридцатые годы (могу и ошибиться), была поставлена проблема создания "твёрдого бензина" - чтобы его перевозить, значить, без тары. И, представьте себе, удалось-таки это сделать, причём, не только в эксперименте, но и технически: были разработаны технологии превращения бензина в "твёрдое" состояние и обратно. Однако оказалось, что "твёрдый бензин" никому не нужен. Так что это можно рассматривать как прекрасный образец вовсе не псевдонаучной псевдопроблемы, которую удалось решить, причём, нетолько на научном, но и на техническом уровне.

[Аурелиано Буэндиа]

Someone, спасибо

[LynxGAV]

Ни физически, ни математически задача не поставлена, по крайней мере, до конца.
У тебя же решением является чисто сферическая расходящаяся волна. Я вижу сферические волны, выглядывающие из-за камышей, но камыши-то - по ту сторону реки. Никогда это решение не будет общим решением, а от того, что будет за добавка, может очень многое зависеть. Вообще, где гран. условия? В одномерном случае понятно как они изменятся по отношению к стандартным, а в трехмерном? Задумалась и над физическим смыслом такого потенциала. 1Д - это, например, идеальный бесконечный одномерный "кристалл". Впринципе, любой очень сильный и очень быстро убывающий потенциал можно аппроксимировать дельта-функцией, но так можно и на кладбище угодить. Причем "потенциал" $U=a \delta (\vec r)$ в смысле возмущения в первом порядке стоит отличать от одномерного дельта-потенциала и потенциала трехмерной дельта-сферы при одинаковых обозначениях. Любое же физически "плохое" решение можно убрать, сказав, что оно противоестественно. В любом случае в пространстве появляется выделенная точка $r=0$, сферическая симметрия налицо. Уравнение Шредингера через оператор углового момента будет: $\left[\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}r + \frac{2m}{{\hbar}^2}\left(E_{n_r l}-\frac{{\hbar}^2l(l+1)}{2mr^2}-U(r)\right)\right]R_{n_r l}(r)=0$. То, что тебя интересует, - трехмерный аналог одномерного дельта-потенциала, - называется потенциалом нулевого радиуса, который действует лишь на частицу с моментом $l=0$ и свойства состояний частицы в котором слабо зависят от конкретного вида $U(r)$. На волновую функцию налагается граничное условие вида $\frac{(r\psi(r))'}{r\psi(r)}\to - a$ при $r\to 0$, т.о. $\psi=\left(-\frac{1}{ar}+1+...)$. Для связанных состояний $E<0$ при $r\ne0$ решение $\psi(r)=\frac{Ae^{-kr}}{\sqrt{4\pi}r}$, где $k=\sqrt{-\frac{2mE}{{\hbar}^2}}>0$, $l=0$, нормировка $A=\sqrt{2a}$. При $r\to0$ $\psi=\frac{A}{\sqrt{4\pi}}\left(\frac{1}{r}-k+...\right)$, поэтому $k=a$. Cвязанные состояния будут только в случае $a>0$, причем, как и в одномерном пространстве, будет только один уровень энергии $E=-\frac{{\hbar}^2a^2}{2m}$. Из $\triangle\psi(\vec r)=-4\pi\delta (\vec r)$ при $r\to0$ ($\triangle \left(\frac{1}{r}\right)=-4\pi\delta (\vec r)$) $\bar T=\infty$ и соответственно $\bar U=-\infty$ ($\bar T+\bar U=E$). Очень много замечаний - и что потенциал нулевого радиуса всегда является потенциалом притяжения и что условие, которому должна удовлетворять волновая функция, является общим и получается из условия самосопряженного расширения эрмитова оператора. Интересно, читай монографии Островского, Демкова "Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике" и Смирнова "Асимптотический методы в теории атомных столкновений". В "Обобщенных функциях" Гельфанда есть какие-то случаи решения уравнений, в которых обобщенные функции являются не свободными членами, а коэффициентами. Вообще-то уравнениями в частных производных с такими сложностями рассматривал еще Соболев, но мне, пока что, это не понадобилось, несмотря на то, что в ГП в эффективном гамильтониане контактное взаимодействие $U_0 \sum_{i<j} \delta (\vec r_i - \vec r_j)$ .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Сегодня решила для потенциала $U=-\lambda\delta(r-a)$ для s-состояний (волновая функция не зависит от углов). А знаешь как? Ну не разделяются переменные, так перейдем от координатного представления к импульсному в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии - оператор умножения, потенциальной - интегральный оператор с ядром. Ну интегрировать надо с дельта-функцией в сферических координатах, ну интеграл, считаемый с помощью теории вычетов, появляется - не смертельно все это. Потом напишу, если надо. Думаю, задачи эти - "стары как мир" - нам просто не попадаются.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Да, указанные монографии я не читала и даже не видела. Смотрела по обобщенным функциям литературу только. И...сидела и думала, как же решить такое простое, на первый взгляд, уравнение.

[Аурелиано Буэндиа]

LynxGAV спасибо. Знаешь что я думаю? Я думаю, что такой точечный потенциал не имеет большого смысла. Точка не имеет протяженности и ничего в точке не может быть. Какие бы мы теории не навернули всё это будет вызывать недоумение =)) Но вот что меня действительно интересует так это то, почему при выводе ГП используется именно контактное взаимодействие, а не потенциалы нулевого радиуса? Можешь объяснить чем потенциалы нулевого радиуса хуже (или почему они не подходят)?

Вопрос снимается. Я уже сам понял ответ. И теперь хочу узнать вот что. Играет ли корреляция какую-нибудь роль в БЭК. И как обычно её описывают?

LynxGAV писал(а):

Сегодня решила для потенциала $U=-\lambda\delta(r-a)$ для s-состояний (волновая функция не зависит от углов). А знаешь как? Ну не разделяются переменные, так перейдем от координатного представления к импульсному в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии - оператор умножения, потенциальной - интегральный оператор с ядром. Ну интегрировать надо с дельта-функцией в сферических координатах, ну интеграл, считаемый с помощью теории вычетов, появляется - не смертельно все это. Потом напишу, если надо. Думаю, задачи эти - "стары как мир" - нам просто не попадаются.

Да зачем так мудрить? можно и в координатном представлении! Могу рассказать.

LynxGAV писал(а):

но камыши-то - по ту сторону реки. Никогда это решение не будет общим решением, а от того, что будет за добавка, может очень многое зависеть. Вообще, где гран. условия? В одномерном случае понятно как они изменятся по отношению к стандартным, а в трехмерном? Задумалась и над физическим смыслом такого потенциала. 1Д - это, например, идеальный бесконечный одномерный "кристалл". Впринципе, любой очень сильный и очень быстро убывающий потенциал можно аппроксимировать дельта-функцией, но так можно и на кладбище угодить.

Это частное решение. Если бы с ним разобраться, то можно и за общее браться. В трехмерном случае - трехмерный кристалл, кластер. Всё что душе угодно. А граничные условия нужно ставить на бесконечности. Но мы же знаем как это делать

[LynxGAV]

Отвечаю по существу.

В БЭК используется "псевдопотенциал" - потенциал эффективного взаимодействия двух (и больше) частиц, который в импульсном представлении является постоянным, в координатном же ситуация соответствует контактному взаимодействию, откуда и появляется функция Дирака. Поэтому к ГП тут привязки сделать нельзя, совпадение чисто внешнее. Я уже раньше писала, что стоит различать возмущение от собственно "потенциала". Грубо говоря, в БЭК нет взаимодействия частицы с "потенциалом", есть взаимодействие частицы с частицей.

Несмотря на то, что для тебя все стало ясно, после моего и твоего "ясно" для меня всё покрылось страшным туманом. Дело конечно не в представлении. Пока ничего не буду говорить, но в глобальном смысле задачу и некоторые интересные моменты вокруг неё, я в покое не оставила.

[LynxGAV]

Ты, я смотрю, подменил сообщение =)).

Аурелиано, БЭК разный бывает, системы совершенно разные. Например, в гелии корреляции настолько сильные, что их учесть толком явно нельзя. Тип - электромагнитный. Выходят из положения как попало =). Вот в атомарных газах взаимодейтсвие контактное - то ж разреженные системы...