Ни физически, ни математически задача не поставлена, по крайней мере, до конца.
У тебя же решением является чисто сферическая расходящаяся волна. Я вижу сферические волны, выглядывающие из-за камышей, но камыши-то - по ту сторону реки. Никогда это решение не будет общим решением, а от того, что будет за добавка, может очень многое зависеть. Вообще, где гран. условия? В одномерном случае понятно как они изменятся по отношению к стандартным, а в трехмерном? Задумалась и над физическим смыслом такого потенциала. 1Д - это, например, идеальный бесконечный одномерный "кристалл". Впринципе, любой
очень сильный и
очень быстро убывающий потенциал можно аппроксимировать дельта-функцией, но так можно и на кладбище угодить. Причем "потенциал"

в смысле возмущения в первом порядке стоит отличать от одномерного дельта-потенциала и потенциала трехмерной дельта-сферы при одинаковых обозначениях. Любое же физически "плохое" решение можно убрать, сказав, что оно противоестественно. В любом случае в пространстве появляется выделенная точка

, сферическая симметрия налицо. Уравнение Шредингера через оператор углового момента будет:
![$\left[\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}r + \frac{2m}{{\hbar}^2}\left(E_{n_r l}-\frac{{\hbar}^2l(l+1)}{2mr^2}-U(r)\right)\right]R_{n_r l}(r)=0$ $\left[\frac{1}{r}\frac{d^2}{dr^2}r + \frac{2m}{{\hbar}^2}\left(E_{n_r l}-\frac{{\hbar}^2l(l+1)}{2mr^2}-U(r)\right)\right]R_{n_r l}(r)=0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/8/5/f85dfbaa0745fef0b99f9f80317559ff82.png)
. То, что тебя интересует, - трехмерный аналог одномерного дельта-потенциала, - называется
потенциалом нулевого радиуса, который действует лишь на частицу с моментом

и свойства состояний частицы в котором слабо зависят от конкретного вида

. На волновую функцию налагается граничное условие вида

при

, т.о.

. Для связанных состояний

при

решение

, где

,

, нормировка

. При

, поэтому

. Cвязанные состояния будут только в случае

, причем, как и в одномерном пространстве, будет только один уровень энергии

. Из

при

(

)

и соответственно

(

). Очень много замечаний - и что потенциал нулевого радиуса всегда является потенциалом притяжения и что условие, которому должна удовлетворять волновая функция, является общим и получается из условия самосопряженного расширения эрмитова оператора. Интересно, читай монографии Островского, Демкова "Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике" и Смирнова "Асимптотический методы в теории атомных столкновений". В "Обобщенных функциях" Гельфанда есть какие-то случаи решения уравнений, в которых обобщенные функции являются не свободными членами, а коэффициентами. Вообще-то уравнениями в частных производных с такими сложностями рассматривал еще Соболев, но мне, пока что, это не понадобилось, несмотря на то, что в ГП в эффективном гамильтониане контактное взаимодействие

.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Сегодня решила для потенциала

для s-состояний (волновая функция не зависит от углов). А знаешь как? Ну не разделяются переменные, так перейдем от координатного представления к импульсному в уравнении Шредингера. Оператор кинетической энергии - оператор умножения, потенциальной - интегральный оператор с ядром. Ну интегрировать надо с дельта-функцией в сферических координатах, ну интеграл, считаемый с помощью теории вычетов, появляется - не смертельно все это. Потом напишу, если надо. Думаю, задачи эти - "стары как мир" - нам просто не попадаются.
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Да, указанные монографии я не читала и даже не видела. Смотрела по обобщенным функциям литературу только. И...сидела и думала, как же решить такое простое, на первый взгляд, уравнение.