Бесконечность простых чисел-близнецов

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #566352 писал(а):

vicvolf Но не учли того, что я рассматриваю группы вычетов в ПСВ, где эти группы могут состоять не только из простых чисел.

Тогда не понятно, почему в Вашей теореме, размещенной в том же посте ниже, из бесконечности числа групп D[8] вытекает их бесконечное количество в последовательности простых чисел?

[vorvalm]

vicvolf, спасибо.
Но в моей теореме вопрос так не ставится.
Если вы внимательно просмотрели все посты данной темы, то должны были заметить,
что я нигде не применяю термин "бесконечность", кроме заголовков тем, и
рассматриваю группы вычетов в ПСВ, где всегда вполне определенное число вычетов
и их групп согласно функциям Эйлера.
В ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$ есть особая зона, интервал вычетов
$1 < p < p^2_{r+1}$,
состоящая из одних простых чисел без всяких пропусков, за исключением первых $r$
простых, составляющих модуль $M$.
$1, p_{r+1},....p_s,....p_t,....p_n < p^2_{r+1}$
Первая задача - определить, существуют ли данные группы среди вычетов ПСВ, и если да, то
вторая задача - доказать, что эта же группа вычетов есть и в указанном интервале ПСВ, т.е.
среди простых чисел. Вот и вся технология. И не надо некакой бесконечности.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #566165 писал(а):

По сравнению с теоремой о близнецах можно доказать более сильную теoрему о бесконечности числа групп $D[8]=(2,4,2)$ в ряду простых чисел.
Теорема. Число групп $D[8]=(2,4,2)$ в ряду простых чисел бесконечно.

А как же эти формулировки?

[vorvalm]

Я же предупредил, что термин " бесконечность" я применяю только в заголовках.
В тексте теорем вы их не найдете. Бесконечность групп вычетов вытекает из того,
что мы не ограничены в выборе модуля.

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #569651 писал(а):

Бесконечность групп вычетов вытекает из того,
что мы не ограничены в выборе модуля.

Понял!

-- 11.05.2012, 12:59 --

vorvalm в сообщении #569589 писал(а):

vicvolf,
В ПСВ по модулю $M(p_r)=p_r\#$ есть особая зона, интервал вычетов
$1 < p < p^2_{r+1}$,
состоящая из одних простых чисел без всяких пропусков, за исключением первых $r$
простых, составляющих модуль $M$.
$1, p_{r+1},....p_s,....p_t,....p_n < p^2_{r+1}$
Первая задача - определить, существуют ли данные группы среди вычетов ПСВ, и если да, то
вторая задача - доказать, что эта же группа вычетов есть и в указанном интервале ПСВ, т.е.
среди простых чисел. Вот и вся технология. И не надо некакой бесконечности.

Это интересно! Подумаю! А интересовал ли Вас вопрос плотности подпоследовательностей натуральных чисел вида 2,3,......, т.е какое число членов в таких подпоследовательностях не превосходит натуральное N?

[vorvalm]

vicvolf в сообщении #569655 писал(а):

А интересовал ли Вас вопрос плотности подпоследовательностей натуральных чисел вида 2,3,......, т.е какое число членов в таких подпоследовательностях не превосходит натуральное N?

Что- то никак не врублюсь...Можно более подробно пояснить?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #569663 писал(а):

vicvolf в сообщении #569655 писал(а):

А интересовал ли Вас вопрос плотности подпоследовательностей натуральных чисел вида 2,3,......, т.е какое число членов в таких подпоследовательностях не превосходит натуральное N?

Что- то никак не врублюсь...Можно более подробно пояснить?

Например, Ваш случай.
После r-ого шага решета Эратосфена, мы действительно получаем интервал простых чисел от 2 до ${p_r}^2$, с плотностью $\pi({p_r}^2)$ и если $N>{p_{r+1}}^2$, то на интервале от ${p_r}^2$ до N получаем подпоследовательность натуральных чисел большей плотности, чем последовательность простых чисел, так как она содержит натуральные числа кратные $p_{r+1}, ....p_n$, где ${p_n}^2<N$.
Вообщем известные вещи, но мне интересен вопрос сходимости треугольника Гильбрайта, когда такая подпоследовательность находится в его основании.

[vorvalm]

По-моему, после $r$ - ого шага получается интервал простых чисел
$p_{r+1},...p_s,...p_t,...p_n <p^2_{r+1}$,
и число простых чисел в нем равнo: $n=\pi(p^2_{r+1})-r$.
На интервале $(p^2_{r+1},N)$ - располагаются вычеты ПСВ
взаимно простые с модулем $p_r\#$, среди которых есть и простые числа.
Вопрос сходимости $\Delta$ Гильбрайта наверное можно решить,
используя комбинацию модуля $p_r\#$ и ПСВ($p_r\#$), т.е.
по основанию:
$[(2,3,...p_r),(p_{r+1},...p_s,...p_t,...p_n),(p^2_{r+1},....N)]<p_r\#$

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #570606 писал(а):

Вопрос сходимости $\Delta$ Гильбрайта наверное можно решить,
используя комбинацию модуля $p_r\#$ и ПСВ($p_r\#$), т.е.
по основанию:
$[(2,3,...p_r),(p_{r+1},...p_s,...p_t,...p_n), (p^2_{r+1},....N) ]<p_r\#$

Я простые $p_1,...p_r$ не выделяю, т.к. по плотности они не отличаюся от плотности остальных простых чисел. Поэтому меня интересуют два интервала: простые числа $(p_1,..p_n<p^2_{r+1})$ с плотностью $\pi(p^2_{r+1})$ и подпоследовательность натуральных чисел: $(p^2_{r+1},....N)$ большей плотности засчет кратных простым числам $p_1,...p_r$.

[vorvalm]

Дайте полное определение термину "плотность".

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #571139 писал(а):

Дайте полное определение термину "плотность".

В данном случае под плотностью подпоследовательности натуральных чисел $a_n=2,...$ понимается число членов такой подпоследовательности, не превосходящих вещественного числа х>2.

[vicvolf]

vicvolf в сообщении #571168 писал(а):

vorvalm в сообщении #571139 писал(а):

Дайте полное определение термину "плотность".

В данном случае под плотностью подпоследовательности натуральных чисел $a_n=2,...$ понимается число членов такой подпоследовательности, не превосходящих вещественного числа х>2.

Можно обобщить - под плотностью подпоследовательности натуральных чисел $a_n$ понимается число членов такой подпоследовательности, не превосходящих вещественного числа х.

[vorvalm]

А что понимать под плотностью последователности простых чисел?
Тоже самое?

[vicvolf]

vorvalm в сообщении #571231 писал(а):

А что понимать под плотностью последователности простых чисел?
Тоже самое?

Да, так как это частный случай подпоследовательности натуральных чисел.

[vorvalm]

Понял.
Далее. Подпоследовательность $(p^2_{r+1},...N)$ состоит из вычетов ПСВ($p_r\#$), т.е. $N\leqslant p_r\#$ ?