Замечательный предел и нечестное доказательство

[arseniiv]

Ales в сообщении #568059 писал(а):

Моя математика взамен предлагает величины, дифференциалы величин, приближение, хорошо приближающий многочлен.

Ранняя интерпретация вредна.

[g______d]

Ales в сообщении #568070 писал(а):

По сути анализ добавляет к алгебре всего две операции: взятие дифференциала и интеграл.

О, нет, это не анализ. Это раздел алгебры под названием "дифференциальная алгебра".

-- 06.05.2012, 21:39 --

Ales в сообщении #568059 писал(а):

Так что нет особого смысла развивать теорию функций, если надо решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Ales в сообщении #568059 писал(а):

К сожалению, уравнения с частными производными - гораздо более сложный объект.
Поэтому теория функций и современный анализ возникли при изучении уравнения колебания струны.

По-моему, это странное заявление. У любого уравнения в реальной жизни есть погрешность в коэффициентах и начальных данных. Одно из важнейших применений теории функций --- зная эти погрешности, уметь оценивать погрешность решений. Явные формулы, конечно, интересны (если они есть), но такое счастье выпадает не часто.

[Integrall]

Ales в сообщении #568059 писал(а):

Не вижу заблуждений.

купите себе очки :)

Цитата:

Как раз так и надо определять: всегда можно разделить окружность на $2^n$ равных частей циркулем и линейкой.

ну а если кто-то делит окружность произвольно и не на равные части, получим ли мы длину, определенную вами? Если да, то почему?

-- 06.05.2012, 20:12 --

g______d в сообщении #568064 писал(а):

Integrall в сообщении #568056 писал(а):

хорошо, тогда постройте касательную алгебраическими методами, например, к эллипсу $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ в точке $(x_0, y_0)$.

Это как раз можно,

http://en.wikipedia.org/wiki/Zariski_tangent_space

хорошо, возьмем не алгебраическую кривую. Какую-нибудь сходящуюся спираль.

[Ales]

Integrall в сообщении #568088 писал(а):

ну а если кто-то делит окружность произвольно и не на равные части, получим ли мы длину, определенную вами? Если да, то почему?

Получим. Но придется порассуждать немного.
Я выбрал $2^n$ потому, что площадь $2^{n+1}$-угольника равна половине периметра $2^{n}$-угольника (умноженной на радиус - 1).

-- Вс май 06, 2012 22:10:16 --

g______d в сообщении #568081 писал(а):

Одно из важнейших применений теории функций --- зная эти погрешности, уметь оценивать погрешность решений.

Первый раз слышу, что в обыкновенных дифурах применяется теория функций.

Погрешности решений оценивают как-то по другому.
Для этого есть теория устойчивости, теория возмущений и т.п.

[g______d]

Ales в сообщении #568121 писал(а):

g______d в сообщении #568081 писал(а):

Одно из важнейших применений теории функций --- зная эти погрешности, уметь оценивать погрешность решений.

Первый раз слышу, что в обыкновенных дифурах применяется теория функций.

Погрешности решений оценивают как-то по другому.
Для этого есть теория устойчивости, теория возмущений и т.п.

Ну а сходимость всяких там ломаных Эйлера? И вообще, теорема существования и единственности --- там принцип сжимающих отображений, это даже функциональный анализ, а не просто теория функций. Кроме того, один из способов следить за зависимостью от параметра --- выбирать подходящее функциональное пространство в методе сжимающих отображений.

-- 06.05.2012, 23:27 --

Ales в сообщении #568059 писал(а):

Так что нет особого смысла развивать теорию функций, если надо решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

К сожалению, уравнения с частными производными - гораздо более сложный объект.
Поэтому теория функций и современный анализ возникли при изучении уравнения колебания струны.

Та же струна сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению, только к краевой задаче, а не к задаче о локальной разрешимости.

[Ales]

g______d в сообщении #568134 писал(а):

Ну а сходимость всяких там ломаных Эйлера? И вообще, теорема существования и единственности --- там принцип сжимающих отображений, это даже функциональный анализ, а не просто теория функций. Кроме того, один из способов следить за зависимостью от параметра --- выбирать подходящее функциональное пространство в методе сжимающих отображений.

Не уверен, что это используют.
Надо посмотреть, как считают дифуры на компьютерах.

Вообще то теорема единственности решения дифура в общем случае не верна.
Не верна в том смысле, что неустойчивость превращает единственность в фикцию.
(Формально конечно она верна.)

Мне больше нравится теорема Арнольда о выпрямлении векторного поля:
если решили уравнение, то получили разом существование и единственность.
А если не смогли решить, то никакого толку нет ни от существования, ни от единственности.

[g______d]

Ales в сообщении #568149 писал(а):

если решили уравнение, то получили разом существование и единственность.
А если не смогли решить, то никакого толку нет ни от существования, ни от единственности.

А Вы про краевые условия кроме задачи Коши что-то слышали? Т. е. если мы не смогли явно решить задачу Штурма Лиувилля, то совсем уж ничего не сможем сказать про решение? Ни про структуру спектра, ни про асимтотики?

[Ales]

g______d в сообщении #568154 писал(а):

А Вы про краевые условия кроме задачи Коши что-то слышали? Т. е. если мы не смогли явно решить задачу Штурма Лиувилля, то совсем уж ничего не сможем сказать про решение? Ни про структуру спектра, ни про асимтотики?

Подразумевал динамические системы. То есть задачу Коши.

Задачу Штурма-Лиувилля никогда не изучал.

Я и не говорил что надо все решать явно.
Надо найти решение близкого уравнения и исследовать систему на устойчивость.

-- Вс май 06, 2012 23:53:29 --

Задача Штурма-Лиувилля - это не обыкновенные дифуры. Не надо меня путать.

[g______d]

Ales в сообщении #568166 писал(а):

Задача Штурма-Лиувилля - это не обыкновенные дифуры. Не надо меня путать.

А что это, дифуры в частных производных?
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0% ... 0%BB%D1%8F

[Ales]

g______d в сообщении #568170 писал(а):

Ales в сообщении #568166 писал(а):

Задача Штурма-Лиувилля - это не обыкновенные дифуры. Не надо меня путать.

А что это, дифуры в частных производных?
http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0% ... 0%BB%D1%8F

Это задача на отыскание собственного значения оператора. И на отыскание собственной функции.
Так что, это ближе к частным производным.

-- Пн май 07, 2012 00:19:55 --

Она кстати и возникает при решении уравнения матфизики.

[g______d]

Ales в сообщении #568173 писал(а):

Это задача на отыскание собственного значения оператора. И на отыскание собственной функции.
Так что, это ближе к частным производным.

Оператор-то обыкновенный дифференциальный. Кроме того, даже в этой области одномерная ситуация существенно отличается от многомерной именно благодаря существованию решения ОДУ.

Вообще спор о чем? О том, что в ОДУ не нужна теория функций? Ну если ОДУ называть узкий класс теории динамических систем, тогда может быть, хотя я даже в этом сомневаюсь.

[ewert]

g______d в сообщении #568179 писал(а):

О том, что в ОДУ не нужна теория функций? Ну если ОДУ называть узкий класс теории динамических систем,

, то всё равно нужна, если только не иметь в виду очень-очень узкий класс таких систем.

Ales в сообщении #568149 писал(а):

Не уверен, что это используют.
Надо посмотреть, как считают дифуры на компьютерах.

Вот сначала посмотрите, а потом уже и будьте уверены или не уверены. Именно последовательными приближениями и считают, и никакой другой подход в принципе не возможен.

[Ales]

ewert в сообщении #568205 писал(а):

Именно последовательными приближениями и считают, и никакой другой подход в принципе не возможен.

Я имел в виду, что тот метод сжимающих отображений,
который применяют, когда доказывают теорему существования и единственности решения задачи Коши, не используется.

g______d в сообщении #568179 писал(а):

Ну если ОДУ называть узкий класс теории динамических систем, тогда может быть, хотя я даже в этом сомневаюсь.

Если глубоко не залезать в качественную теорию, то не нужна.
Решение задачи Коши и исследование на устойчивость - это не узкий класс задач ОДУ, а основной.

[Oleg Zubelevich]

g______d в сообщении #568179 писал(а):

Вообще спор о чем? О том, что в ОДУ не нужна теория функций? Ну если ОДУ называть узкий класс теории динамических систем, тогда может быть, хотя я даже в этом сомневаюсь.

правильно сомневаетесь, в динамических системах есть такие разделы как эргодическая теория, с аппаратом теории меры, обобщенных функций и.т.д. А есть, например еще КАМ теория это уже нелинейный функциональный анализ на шкалах банаховых пространств. И все это ОДУ

[Ales]

g______d в сообщении #568179 писал(а):

Оператор-то обыкновенный дифференциальный.

На мой взгляд, классификация по этому признаку не удачна.

С точки зрения ОДУ достаточно найти нулевое решение и все отлично,
и совсем не надо искать условия при которых существует ненулевое решение.


Кстати я придумал такую штуку:
не так важно сколько функций и какая степень дифференциального уравнения, более важно сколько переменных.
Кажется, все УРЧП от двух переменных можно свести к ОДУ (уравнениям от одной переменной).
Если же число переменных три или четыре, то решать можно только отдельные примеры, общая теория не возможна.

Это касается конечно локальной теории, глобально важно знать устойчивость
Без устойчивости дифференциальные уравнения вообще не нужны.