2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней. На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:11 


20/12/09
1527
shwedka в сообщении #567072 писал(а):
Для ограниченного сверху множества -- конечное число. Для неограниченного сверху множества -- принимается за (плюс) бесконечность. По определению.

Плюс бесконечность - это значит, что нет верхней грани и соответственно длины.

Понятия спрямляемость и длина кривой - это только логические заготовки,
пока нет критерия спрямляемости и пока не исследовано какие кривые спрямляемы, в них нет содержания.

Integrall в сообщении #567214 писал(а):
Было бы здорово увидеть ваше доказательство для произвольной непрерывной кривой.

А разве такое доказательство не является заведомо неверным. В чем же тогда интерес?

-- Пт май 04, 2012 22:14:16 --

Integrall в сообщении #567214 писал(а):
огород городить из производных и интегралов

А что, разве интеграл такой сложный инструмент?
Не сложнее, наверное, непрерывной, но не дифференцируемой функции?

-- Пт май 04, 2012 22:17:20 --

Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели возиться с пределами и придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.
Хотя для студентов 1-го курса такие упражнения полезны.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Не сложнее, наверное, непрерывной, но не дифференцируемой функции?


Длина кривой естественно определена в произвольном метрическом пространстве. Откуда там дифференцируемость брать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:42 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели

Вводите интеграл в первом классе -- и доказывайте через него таблицу умножения.

Только сперва на минутку гляньте, как тема называется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:46 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать, нежели возиться с пределами и придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.


Угу, только хорошо бы еще дифференциальные формы знать к тому моменту.

Кроме того, как бонус, вопрос: как доказывать инвариантность относительно перепараметризации? Обязательно ли две разные гладкие параметризации гладко эквивалентны? Например, две кусочно гладкие уж точно вряд ли. В некоторых ситуациях полезно знать, что есть определение, инвариантное относительно всех непрерывных перепараметризаций.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Плюс бесконечность - это значит, что нет верхней грани и соответственно длины.


не значит.
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Понятия спрямляемость и длина кривой - это только логические заготовки,
пока нет критерия спрямляемости и пока не исследовано какие кривые спрямляемы, в них нет содержания.


Не нравится - не ешьте. Но математика так работает всегда. Определяются понятия. Потом, иногда очень трудно и долго, находятся проверяемые критерии удовлетворения этим определениям.
Ales в сообщении #567358 писал(а):
Через интеграл ведь гораздо легче ввести длину и все доказать

Вы как-то снизили штиль. Начиналось с Вашего утверждения, что без интеграла ввести длину невозможно.
Как-то не удалось дождаться Вашего доказательства этого Вашего утверждения. Теперь, оказывается, -- всего лишь вопрос Вашего персонального удобства.

А про 'все доказать' - Вы пока что ни одного доказательства предъявить не смогли.
Ales в сообщении #567358 писал(а):
придумывать разные специальные конструкции для одной лишь окружности.


Это Вы сочиняете. Какая такая конструкция придумана для одной окружности?

Вы уже задолжали много доказательств. Может, хоть что-нибудь докажете? А то трепа от Вас много.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 22:52 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #567365 писал(а):
В некоторых ситуациях полезно знать, что есть определение, инвариантное относительно всех непрерывных перепараметризаций.

Но только не в этой. В этой конкретно -- параметризации вообще праздны, не говоря уж о том, что невозможны.

-- Пт май 04, 2012 23:55:49 --

shwedka в сообщении #567368 писал(а):
Какая такая конструкция придумана для одной окружности?

Стандартная. Основанная в идейном отношении, конечно, на супремумах-инфимумах, но использующая при этом специфику именно окружности. И позволяющая тем самым минимизировать малоуместные (хоть и неизбежные) на школьный момент абстракции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 23:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ewert в сообщении #567369 писал(а):
на школьный момент


Конечно, это так, для школьников. А чуть они повзрослеют, нам, профессорам, приходится насаждать среди них амнезию, чтобы они забыли услышанное в школе.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 23:11 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
shwedka в сообщении #567377 писал(а):
А чуть они повзрослеют, нам, профессорам, приходится насаждать среди них амнезию, чтобы они забыли услышанное в школе.

А вот не надо этого. При грамотном преподавании в школе (не строгом, а именно грамотном -- строгость там просто объективно невозможна) всё, что требуется на следующем этапе -- это лишь согласовать уже имеющиеся у них на этот момент вполне разумные, пусть и формально не отточенные соображения с дальнейшей формальной схемой.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 23:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ewert в сообщении #567380 писал(а):
При грамотном преподавании в школе


А Вы с таким встречались? В Швеции это исключено.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 23:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
shwedka в сообщении #567382 писал(а):
В Швеции это исключено.

В Швеции -- не знаю. В России -- вполне возможно. Во всяком случае, достаточно типично, когда ребёнок надрессирован на понятие вещественного числа, пусть и не знает в точности, что это такое (а последнее, напомню, в школе и невозможно). Это уже позволяет ему формально с ними манипулировать, и даже инстинктивно ощущать, чем вещественные числа отличаются от рациональных. Осознание же формальностей -- этап следующий; возможный лишь после накопления опыта его общения с пусть условно, но практическими задачами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение04.05.2012, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
3542
Швеция
ewert в сообщении #567387 писал(а):
shwedka в сообщении #567382 писал(а):
В Швеции это исключено.

В Швеции -- не знаю. В России -- вполне возможно. Во всяком случае, достаточно типично, когда ребёнок надрессирован на понятие вещественного числа, пусть и не знает в точности, что это такое (а последнее, напомню, в школе и невозможно). Это уже позволяет ему формально с ними манипулировать, и даже инстинктивно ощущать, чем вещественные числа отличаются от рациональных. Осознание же формальностей -- этап следующий; возможный лишь после накопления опыта его общения с пусть условно, но практическими задачами.


Идеалист Вы, коллега!

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение05.05.2012, 00:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
ewert в сообщении #567380 писал(а):
А вот не надо этого. При грамотном преподавании в школе (не строгом, а именно грамотном -- строгость там просто объективно невозможна) всё, что требуется на следующем этапе -- это лишь согласовать уже имеющиеся у них на этот момент вполне разумные, пусть и формально не отточенные соображения с дальнейшей формальной схемой.


В России в физматшколе более чем возможно сделать все это строго. Знаю несколько школ, в которых дается несколько строгих определений вещественных чисел и доказывается их эквивалентность.

И, в общем, ребенку с серьезной склонностью к математике и живущему в большом городе довольно сложно в такую школу не попасть.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение05.05.2012, 03:05 
Аватара пользователя


02/05/12
110
€Союз
g______d в сообщении #567407 писал(а):
И, в общем, ребенку с серьезной склонностью к математике и живущему в большом городе довольно сложно в такую школу не попасть.


Беда вся в том, что чем больше город, чем меньше вероятность нахождения в нем ребенка с серьезной склонностью к математике. (Тоже самое можно утверждать про либерально-демократические страны). А.Н.Колмагоров в своё время добился открытия школы-интерната для таких детей из провинции. Сейчас этот опыт переняли китайцы. Поэтому они последнее время занимают первые места на международных школьных олимпиадах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение05.05.2012, 19:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Integrall в сообщении #567438 писал(а):
Беда вся в том, что чем больше город, чем меньше вероятность нахождения в нем ребенка с серьезной склонностью к математике.


(Оффтоп)

Вероятность маленькая, но мат. ожидание при этом довольно ощутимое. Кроме того, отправлять ребенка в другой город не каждый может себе позволить (а потом же еще университет).

 Профиль  
                  
 
 Re: Замечательный предел и нечестное доказательство
Сообщение05.05.2012, 19:43 


20/12/09
1527
shwedka в сообщении #567368 писал(а):

Я вкладывал в понятие "интеграл", немного другой смысл.
Если придерживаться Вашего понимания термина "интеграл", то мое утверждение ложно.
Но с моей точки зрения оно истинно.
Но моя точка зрения отличается от общепринятой, которая скорее совпадает с Вашей.


В любом случае главное в теме то, что первый замечательный предел вводят не совсем строго.
Хотя вполне возможно дать строгое доказательство.

Кроме того, кажется, из замечательного предела выводят дифференцируемость тригонометрических функций.
А это свойство используется в теории рядов Фурье.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Эта тема закрыта, вы не можете редактировать и оставлять сообщения в ней.  [ Сообщений: 146 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... 10  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group