Замечательный предел и нечестное доказательство

[ewert]

Ales в сообщении #568667 писал(а):

Интеграл Лебега плохо вычисляется.

Интеграл Лебега вычисляется ровно настолько же прекрасно или отвратительно, как и любой другой. Вы систематически путаете теорию и конкретные методы решения. Вот ещё образчики:

Ales в сообщении #568149 писал(а):

если решили уравнение, то получили разом существование и единственность.
А если не смогли решить, то никакого толку нет ни от существования, ни от единственности.

Ales в сообщении #568059 писал(а):

Кстати, любое обыкновенное дифференциальное уравнение (система), доступное математикам, сводится к системе вида $dx_i = P_i^n(x)dt$, где $P_i^n(x) $ - многочлены степени $n$ от нескольких переменных $x_1,...$.
Так что нет особого смысла развивать теорию функций, если надо решать только обыкновенные дифференциальные уравнения.

Там ещё что-то было, но лень все страницы перелопачивать.

[ex-math]

(Оффтоп)

dmd в сообщении #568648 писал(а):

думаю, что сужу в сравнении "воспринимателей" с "операторщиками"

Нет, Вы подменяете понятия. В Вашем предыдущем сообщении установлено четкое соответствие алгебра -- "понимание нутром", анализ -- "операторщина без понимания". Это неверно. Вы, видимо, просто не владеете анализом на должном уровне, так же как я не владею на должном уровне алгеброй (это не попытка Вас обидеть, поймите меня правильно).

[Ales]

ewert в сообщении #568670 писал(а):

Интеграл Лебега вычисляется ровно настолько же прекрасно или отвратительно, как и любой другой.

Интеграл Лебега - сумма значений умноженных на меру прообраза - это очень сложно.
Найти меру прообраза - невозможно, разве что в некоторых задачах теории вероятности.

Интеграл Римана - тоже плохо - сумма значений умноженных на длину отрезка (площадь квадратика, объем кубика).
Точность требует пропорциональных усилий (квадрат, куб).

Самый удобный интеграл - интеграл Ньютона-Лейбница - разность значений первообразной,
вычисляется через ряды.

Или не так?

Насчет дифуров от многочленов:
Математики могут записать дифур только от алгебраических, элементарных функций и других известных функций.
Можно заменами переменных и введением новых привести к указанному виду.
Можно конечно разбивать на кусочки, но все равно от родимых многочленов далеко не уедешь (локально).
Даже если вводить функцию через ряд, нужно какое-то правило для коэффициентов.

[ewert]

Ales в сообщении #569127 писал(а):

Единственный нормальный интеграл - Ньютона-Лейбница - разность значений первообразной.

Или не так?

Конечно, не так. Эта формула вообще не является определением: это -- лишь свойство некоторым (неважно каким) способом определённого интеграла. Ибо существование первообразной заранее никак не определено.

Ales в сообщении #569127 писал(а):

Интеграл Лебега - сумма значений умноженных на меру прообраза - это очень сложно.

В этом мире вообще всё очень сложно, аж жутко жить. Тем не менее: логическая схема остаётся ровно той же самой, что и у Римана, лишь акценты смещаются. С вычислительной же точки зрения разницы вообще никакой нет.

[Ales]

ewert в сообщении #569134 писал(а):

С вычислительной же точки зрения разницы вообще никакой нет.

А разве кто-то считает по Лебегу?
Метод Монте-Карло?

[ewert]

Ales в сообщении #569137 писал(а):

А разве кто-то считает по Лебегу?

Никто никогда ни в одной стране даже с бодуна ничего не считает ни по Лебегу, ни по Риману.

ewert в сообщении #568670 писал(а):

Вы систематически путаете теорию и конкретные методы решения.

[Ales]

ewert в сообщении #569139 писал(а):

Ales в сообщении #569137 писал(а):

А разве кто-то считает по Лебегу?

Никто никогда ни в одной стране даже с бодуна ничего не считает ни по Лебегу, ни по Риману.

ewert в сообщении #568670 писал(а):

Вы систематически путаете теорию и конкретные методы решения.

Просто рассматриваю с разных сторон. Согласен, что появляется путаница.

[Integrall]

(Оффтоп)

Ales в сообщении #569143 писал(а):

Согласен, что появляется путаница.

Является ли каша в голове пищей для ума?

[VPopov]

Ales в сообщении #565162 писал(а):

По сути, требуется доказать (вопрос вне нашей темы: а что такое доказательство?), что длину окружности и площадь окружности невозможно определить без интеграла.

Уважаемый Ales, мне сдается, Вы ломитесь в открытую дверь. Принцип измерения криволинейных фигур прямолинейным масштабом (не метром, конечно, а более мелкой единицей длины) грекам был интуитивно понятен, а это, в сущности, и есть интегральный метод в его содержательном контексте, потому что величина криволинейной фигуры (в частности, окружности)- переменная величина, стремящаяся при дроблении единицы измерения к пределу.

Вот, например, что писал Аристотель о "кривизне" и "прямизне": "... чувственно воспринимаемые линии не таковы, как те, о которых говорит геометр, ибо нет такого чувственно воспринимаемого, что было бы прямым или круглым именно таким образом; ведь окружность соприкасается с линейкой не в одной точке, а так, как указывает Протагор: на некотором отрезке" (Мет. III 2, 998a)

Речь здесь, как видно, идет об относительности понятия "прямая", а если обратиться к Архимеду, то его определение отрезка прямой как "кратчайшей линии" между двумя точками сразу наводит на мысль о том, что абсолютная прямая - это абстракция. Сделать же эту абстракцию интуитивно ясной как раз и помогает замечательный предел, т. е "в малом" все кривые сходятся к некоему общему для всех кривых интенсионалу. В анализе - это бесконечно малая.

shwedka в сообщении #565751 писал(а):

И не путайте две РАЗЛИЧНЫЕ вещи.
1. длина кривой ОПРЕДЕЛЯЕТСЯ как предел. Никаких интегралов.

2. длина кривой МОЖЕТ ВЫЧИСЛЯТЬСЯ с помощью интеграла, но не обязательно. В каких-то случаях может вычисляться и без помощи интеграла.

Здесь я полностью с Вами согласен.

[Ruslan_Sharipov]

Ales в сообщении #564345 писал(а):

На 1-ом курсе мехмата студентам доказывают, что

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} x=1.$$

Доказательство как-бы строгое и опирается на хорошо известную формулу, что площадь круга равна половине произведения радиуса на длину окружности. Но на самом деле:
1. формула для площади круга не доказывается, и по сути эквивалентна замечательному пределу,
2. длина окружности может быть строго определена только через интеграл,
3. синус, как функция от длины дуги окружности, тоже может быть строго определен только через интеграл,
4. площадь круга тоже может быть определена только через интеграл.
Но интегралы (и длину кривой) определяют и изучают только в следующем семестре.

Из этой ситуации есть выход. Надо считать синус не функцией от длины дуги единичной окружности, а функцией угла. Количественное измерение углов можно определить без использования интегралов в рамках гильбертовской аксиоматики евклидоворй геометрии. См. § 9 главы 5 в моей книге "Основания геометрии для студентов и школьников". Для этого надо выбрать эталонный угол и приписать ему некоторое всеми принимаемое заранее обговорённое числовое значение. Например, приписать прямому углу значение в 90 градусов. После этого все остальные углы измеряются относительно прямого угла. Далее функция синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с заданным углом. При таком определении функции синус значение замечательного предела будет другим:

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} x=\frac{\pi}{180}.$$

Остаётся лишь доказать существование предела в левой части формулы и использовать саму формулу как определение числа \pi. А формулу для длины окружности, использующую уже определённое число \pi, можно выводить в другом семестре, где изучаются интегралы.

shwedka в сообщении #567765 писал(а):

И на основании этой туфты обвиняете тяжко трудящееся и тяжко недооплачиваемое сословие профессоров математики в обмане народных студенческих масс.

Я обнаружил эту ветку в форуме случайно - поиском по словосочетанию сословие профессоров. Безотносительно к уровню оплаты труда, который может меняться, университетская профессура имеет черты корпоративности, позволяющие называть её сословием. Аналогичные черты корпоративности (династийность и сословность) можно обнаружить и в других профессиональных сообществах. Считаю подобные явления вредоносными и противоречащими конституцонному равенству всех граждан.

[Brukvalub]

Ruslan_Sharipov в сообщении #881706 писал(а):

...
Для этого надо выбрать эталонный угол и приписать ему некоторое всеми принимаемое заранее обговорённое числовое значение. Например, приписать прямому углу значение в 90 градусов. После этого все остальные углы измеряются относительно прямого угла. Далее функция синус определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике с заданным углом. При таком определении функции синус значение замечательного предела будет другим:

$$\lim_{x\to 0} \frac {\sin x} x=\frac{\pi}{180}.$$

...

Вот тем и замечателен интернет, что в нем каждый может почувствовать себя Наполеоном Ученым Советом мех-мата и нагородить всякой чуши"новых революционных способов" переворачивания математики с ног на голову. Однако, пришла беда, откуда не ждали: теперь оказались запрещены ранее разрешенные отрицательные и прочие неудобные значения аргументов. Но это же мелочи, как говорится лес рубят - щепки летят совершаешь переворот в науке - жертвуй всем, что мешает!

Ruslan_Sharipov в сообщении #881706 писал(а):

... Безотносительно к уровню оплаты труда, который может меняться, университетская профессура имеет черты корпоративности, позволяющие называть её сословием. Аналогичные черты корпоративности (династийность и сословность) можно обнаружить и в других профессиональных сообществах. Считаю подобные явления вредоносными и противоречащими конституцонному равенству всех граждан.

Срочно жалуйтесь в Конституционный суд РФ, а если там не отзовутся - то в Спротлото!

[ewert]

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #881728 писал(а):

то в Спротлото!

Видимо, имелось в виду Шпротлото.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Нет, в известной песне было именно так: "... если вы не отзоветесь, мы напишем в Спортлото!"

[ewert]

Brukvalub в сообщении #881728 писал(а):

Вот тем и замечателен интернет, что в нем каждый может почувствовать себя Наполеоном Ученым Советом мех-мата и нагородить всякой чуши"новых революционных способов" переворачивания математики с ног на голову.

Нет, в этой книжке ничего революционного нет, она вполне традиционна, только написана в немножко бессознательном состоянии. С первого же взгляда приходится защищать глаза от совершенно безумного количества придуманных автором самобытных обозначений. Структура изложения непродуманна категорически; в частности, действия над векторами затиснуты куда-то между различными вопросами, связанными с полнотой. Наверное, ещё что-то можно найти, но для этого книжку надо читать, что практически невозможно. А вот конкретно про углы:

Ruslan_Sharipov в сообщении #881706 писал(а):

Количественное измерение углов можно определить без использования интегралов в рамках гильбертовской аксиоматики евклидоворй геометрии. См. § 9 главы 5 в моей книге "Основания геометрии для студентов и школьников".

Кто дал Вам там право делить произвольный угол на $n$ равных углов (именно на $n$)?...

-- Вс июн 29, 2014 13:34:49 --

(Оффтоп)

Brukvalub в сообщении #881739 писал(а):

Нет, в известной песне было именно так:

Это в песне было так; а у Вас?...

[Ruslan_Sharipov]

ewert в сообщении #881744 писал(а):

Нет, в этой книжке ничего революционного нет...

Согласен. Это учебник, а не пособие революционера.

ewert в сообщении #881744 писал(а):

Кто дал Вам там право делить произвольный угол на $n$ равных углов (именно на $n$)?...

А нет в книге деления угла на $n$ частей. Рисунок 9.2 в главе 5 иллюстрирует увеличение заданного угла в $n$ раз, что есть допустимая элементарная процедура. Для определения количественной меры (длины) отрезков путём сравнения с эталоном в § 7 главы 5 в книге "Основания геометрии для студентов и школьников" используются двоично-рациональные числа, знаменатель которых есть степень двойки. Деление отрезка пополам есть допустимая элементарная процедура. Аналогичным образом, деление угла пополам (проведение биссектрисы) есть допустимая элементарная процедура. Она лежит в основе определения количественной меры углов путём сравнения с эталоном, см. § 9 главы 5.

Ales в сообщении #564345 писал(а):

Правильно ли использовать в курсе анализа такие нечестные доказательства?

Конечно же это неправильно. Студенты, не желающие заучивать нечестные доказательства и пострадавшие от этого на экзамене, могут отстаивать свои права в суде, требуя возмещение материального и морального ущерба от МГУ.