Лучший учебник по математическому анализу [литература]

[Doil-byle]

Полная строгость изложения анализа в книжке Э. Ландау действительно соблюдена. Правда, тригонометрические функции вводятся через ряды, что строго, но неестественно, так как люди нашли эти ряды, раскладывая уже определённую нестрого функцию. В прочем, и так сойдёт. Мне с этими тригонометрическими функциями в разведку не ходить .

[longstreet]

Можете объяснить, зачем эта строгость сама по себе нужна? Ведь с неё, как Вы заметили, назвав подобное "неестественным", никогда ничего не начинается. Допустим, математик занимается какой-то областью математики значительное время, у него появляются какие-то идеи, доказательство которых ещё совершенно смутные потёмки. Он долго ходит в этой темноте на ощупь, потом нестрогие идеи принимают более точный вид, их доказательство приобретает шаги, леммы. Потом они решаются по отдельности или разом. И ещё $k$-тое время наводится во всём этом порядок и строгость. Но, мне кажется, в математике самое главное $-$ это доказательства. Их идея есть гораздо раньше, чем соблюдена строгость и в целом она с тех пор не меняется. Так зачем эта строгость даже математику. Может, полезно знать как точный факт то, что она там-то и там-то есть. Ну а конкретно знать её зачем? Пусть остаётся на справочники, подведение итогов, курсы аля-бурбаки. Но по-моему строгость не является движущей мысль.

-- 04.05.2012, 16:01 --

Безусловно, строгое изложение обладает некоторой красотой. Но мне кажется, что красота доказательств $-$ более высокого порядка.

[apriv]

Doil-byle в сообщении #567248 писал(а):

Полная строгость изложения анализа в книжке Э. Ландау действительно соблюдена. Правда, тригонометрические функции вводятся через ряды, что строго, но неестественно, так как люди нашли эти ряды, раскладывая уже определённую нестрого функцию. В прочем, и так сойдёт. Мне с этими тригонометрическими функциями в разведку не ходить .

Строгость там, может, и соблюдена, но она скорее теперь служит памятником «как не нужно строить матанализ». К примеру, наглядно видно, что определение вещественных чисел с помощью дедекиндовых сечений сложнее всех остальных способов. А тригонометрические функции — они и есть ряды, я не знаю другого определения косинуса, кроме как полусумма экспонент.

[Munin]

longstreet в сообщении #567255 писал(а):

Можете объяснить, зачем эта строгость сама по себе нужна?

Она нужна самим математикам, чтобы они были удовлетворены своими результатами. Если вам это кажется пустой блажью, представьте себе аналогичную ситуацию для физиков: физикам нужны экспериментальные и теоретические обоснования для всего, что они пишут потом в учебниках, а технари могут ворчать, "да зачем это нужно? давайте сразу всё на ватман, и в производство". Безрадостно, а?

longstreet в сообщении #567255 писал(а):

Но по-моему строгость не является движущей мысль.

Наверняка, не является. Но кроме источника движения, мысли нужны и ограничения, чтобы она не во всех направлениях двигалась, а только в осмысленных и полезных. Строгость и накладывает эти ограничения.

apriv в сообщении #567422 писал(а):

А тригонометрические функции — они и есть ряды, я не знаю другого определения косинуса, кроме как полусумма экспонент.

А как же отношение катета к гипотенузе?

[longstreet]

А с тем что в процессе обучения не стоит выбирать курсы, которые своей целью поставили строгость, Вы согласны?

А потом, строгость же всегда относительная. Можно перед анализом Э. Ландау всякие основания вроде множеств (например по Бурбаки) вымучивать...

-- 05.05.2012, 10:00 --

Munin в сообщении #567470 писал(а):

А как же отношение катета к гипотенузе?

Так оно же не для всех углов определено.

[Padawan]

apriv в сообщении #567422 писал(а):

К примеру, наглядно видно, что определение вещественных чисел с помощью дедекиндовых сечений сложнее всех остальных способов.

Не сложнее. Ландау, наверное, все-таки не мазахистом был, и не стал бы выбирать самый сложный способ. Наоборот, он бы выбрал способ, быстрее всего ведущий к цели. Какой способ самый простой по-Вашему?

[Doil-byle]

longstreet в сообщении #567498 писал(а):

Можно перед анализом Э. Ландау всякие основания вроде множеств (например по Бурбаки) вымучивать...

Вы так говорите, как будто теория множеств - это хлам какой-то.

(Оффтоп)

Мне ещё далеко до того, чтобы быть математиком и книг Бурбаки я не изучал, так что по этому поводу сказать ничего определённого не могу. Но я заметил, что их книги почему-то почти в два раза полнее своих аналогов, несмотря на то, что эти самые аналоги также написаны для математиков. Бурбаки излишне много пишут или нет?

[longstreet]

Конечно не хлам. Просто если следовать строгости, то нужно её изучить в строгом изложении. Однако, мне кажется, это вовсе не нужно для того, чтобы успешно работать математиком в других областях. Скорее, изучив теорию множеств, Вы просто проверите эту её строгость, которую, впрочем, можно (и лучше, по крайней мере, до поры до времени) на веру.

Бурбаки не излишне много пишут. Просто та строгость и единость, до которой доведён их курс, представляет скорее памятную значимость. Их книги можно использовать как справочник, но как учебник, наверное, нет.

-- 05.05.2012, 11:58 --

Я это всё к тому, что Maslov с иронией привёл курс Э.Ландау

[Munin]

longstreet в сообщении #567498 писал(а):

А с тем что в процессе обучения не стоит выбирать курсы, которые своей целью поставили строгость, Вы согласны?

Зависит от целей обучения. Физиков можно учить без строгости (если запретить им потом быть математиками). Математиков надо учить так, чтобы они вырастали в математиков. С пониманием норм, принятых в их области деятельности.

longstreet в сообщении #567498 писал(а):

А потом, строгость же всегда относительная.

Ну, экспериментальные обоснования физических законов тоже не свободны от придирок. Правда, эти придирки в конечном счёте ведут к агностицизму, а практикой выработан некоторый здравый уровень строгости, придерживаясь которого, мы получаем не задушенную науку, а живо движущуюся вперёд. Когда нам понадобиться, мы требования можем усилить, но раньше времени это делать незачем (например, механика во времена Ньютона не была готова к придиркам Маха и идеям Пуанкаре).

longstreet в сообщении #567498 писал(а):

Так оно же не для всех углов определено.

Но всё-таки, другое определение есть.

[longstreet]

Насчёт строгости, в принципе, согласен... Но у меня есть какое-то сложновыразимое ощущение того, что, привыкнув к строгому изложению, в те моменты, когда будет приходить какая-то идея, постоянно будешь биться с "в моей мысли нет строгости, чёрт, зачем я об этом думаю". То есть если не преподносить такому эстету строгости сразу строгие выкладки, он их по инерции неприемлит. А поскольку, прежде чем дойти до строгости, обязательно нужно перескочить нестрогую мысль, идею, этот переход не будет отточен и в следствии всего этого наступит всёувеличивающаяся стагнация собственных мыслей и идей.

Munin в сообщении #567546 писал(а):

Но всё-таки, другое определение есть.

Это определение неэквивалентно определению через ряды. То есть не другое определение, а определение другого.

[apriv]

Padawan в сообщении #567522 писал(а):

apriv в сообщении #567422 писал(а):

К примеру, наглядно видно, что определение вещественных чисел с помощью дедекиндовых сечений сложнее всех остальных способов.

Не сложнее. Ландау, наверное, все-таки не мазахистом был, и не стал бы выбирать самый сложный способ. Наоборот, он бы выбрал способ, быстрее всего ведущий к цели. Какой способ самый простой по-Вашему?

Например, определение вещественных чисел по Кантору гораздо проще. В книге Ландау проверка всех свойств вещественных чисел по Дедекинду занимает 60 страниц; думаю, это рекорд.

[longstreet]

Вроде там не все свойства, а которые нужны для изложения анализа.

[apriv]

Munin в сообщении #567470 писал(а):

А как же отношение катета к гипотенузе?

Это определяет только кусочек косинуса, да и то не определяет — потому что для этого нужно определить эвклидову плоскость, углы на ней, прямоугольные треугольники, и так далее. Я не знаю курсов, в которых бы это проделывалось на разумном уровне строгости (очевидно, что школьные учебники таким уровнем не обладают). А Ландау считает, что синус и косинус все видели раньше в неформальной обстановке, в треугольниках, поэтому дает лишь определения с помощью рядов, оставляя за скобками «очевидную» мотивацию.

-- 05.05.2012, 14:09 --

longstreet в сообщении #567571 писал(а):

Вроде там не все свойства, а которые нужны для изложения анализа.

Ну да, имеется в виду «всех необходимых».

-- 05.05.2012, 14:11 --

longstreet в сообщении #567539 писал(а):

Бурбаки не излишне много пишут. Просто та строгость и единость, до которой доведён их курс, представляет скорее памятную значимость. Их книги можно использовать как справочник, но как учебник, наверное, нет.

Бурбаки можно использовать как учебник (я, например, использовал): «Общая топология», многие главы «Алгебры», «Коммутативная алгебра» прекрасно читаются. Я начал понимать матанализ только после знакомства с их книгами.

[Padawan]

apriv в сообщении #567570 писал(а):

Например, определение вещественных чисел по Кантору гораздо проще.

Через классы эквивалентности фундаментальных последовательностей? Там неудобно проверять аксиому непрерывности (теорему о точной верхней грани).

[longstreet]

apriv в сообщении #567573 писал(а):

Я начал понимать матанализ только после знакомства с их книгами.

Вы мой герой

-- 05.05.2012, 13:15 --

apriv в сообщении #567573 писал(а):

нужно определить эвклидову плоскость, углы на ней, прямоугольные треугольники, и так далее. Я не знаю курсов, в которых бы это проделывалось на разумном уровне строгости (очевидно, что школьные учебники таким уровнем не обладают).

"Основания геометрии" Д. Гильберта.