Результаты опыта Хафеле-Китинга противоречат СТО

[Neloth]

petrovich1964 в сообщении #566546 писал(а):

Дуга это часть окружности.

Я в курсе. Вы на вопросы отвечать будете?

[petrovich1964]

olenellus в сообщении #566558 писал(а):

Вы так и не ответили, почему это рассуждение неверно. Вместо этого задаёте всё новые вопросы.

Во первых, ответил. Во вторых, это тема немного о другом. Про то что согласно теории относительности нельзя найти привилегированную систему.

olenellus в сообщении #566558 писал(а):

Как видите, сначала часы на отстающем корабле отстают

В третьих, Вы не ответили на возражение - если на в начале, на первых участках (если по данным опыта Хафеле-Китинга, то конкретно это участки в 218 метров, каждый из которых самолёт пролетает за секунду наземного времени) часы отстают, что означает, что они показывают меньшее время проследования участка, чем наземные часы, то почему на другом участке они будут обгонять часы находящиеся под ними? Земля то круглая, и любой участок этой параллели равноправен со всеми остальными.
Каждый такой участок самолёт пролетает за 1/86400 оборота Земли, который на всех часах на Земле соответствует одной секунде.
И если в начале одного участка часы самолёта показали время t, а в конце участка время t+dt, где dt меньше секунды, - то разве на другом таком же участке dt будет больше секунды?

-- Ср май 02, 2012 18:59:48 --

Neloth в сообщении #566519 писал(а):

Поэтому мы и пытаемся выяснить, почему вы решили, что расчеты надо проводить именно так.

Потому что так по теории.

Neloth в сообщении #566519 писал(а):

Кто вам сказал, что этот вопрос имеет какое-то отношение к обсуждаемой теме?

Никто не сказал. Я сам так решил. Объясняю. Как Вы сказали

Neloth в сообщении #566519 писал(а):

когда применяемый метод соответствует рассматриваемой ситуации.

Мы рассматривали ситуацию - в одной ИСО от точки старта в противоположных направлениях расходятся часы с одинаковой в этой ИСО скоростью. Преодолев одинаковое расстояние (в этой ИСО) часы покажут одинаковое время, и это время будем меньше чем прошло по часам этой ИСО. Значит в точке старта все часы показывали одинаковое время. В точках А и Б лежащих на одинаковом расстоянии от точки старта двигающиеся часы показали одинаковое время. Чтобы Вам было легче представьте что что это зарубки на линейке покоящейся в этой ИСО.
Тогда во всех других СО в момент когда движущиеся часы достигают точек А и Б то часы покажут точно такое же показание. Не смотря на то что в разных СО, часы не одновременно достигли этих точек.
С этим согласны?
Поступило возражение, что в случае движения по окружности будет не так. Что t1<t2<t3 Где под t2 берётся время для часов точки старта и всех часов неподвижных относительно точки старта. Применив метафару скажем так часы точки старта прибиты к изогнутой линейке. Изогнутой в виде дуги, с радиусом соответствующим радиусу окружности, по которой движется точка старта. И от которой по этой окружности двигаются часы. И t1 и t3 показания часов в точках А и Б лежащих на этой изогнутой линейке.
Тогда я предложил рассмотреть ситуацию когда радиус этой окружности настолько велик, что изгиб линейки будет крайне мал по сравнению расстоянию А-Б. И предложил ответить будет ли качественная разница в показаниях часов двигающихся строго по прямой и с отклонением, например, на 1мм при движении на пару световых лет?
Как видите вопрос имеет отношение к теме.

Neloth в сообщении #566519 писал(а):

где вы прочитали, что эта формула работает для случая, когда скорость постоянна по модулю?

Мне кажется что работает. Нигде не читал. Если бы можно было бы прочесть все ответы на все интересующие меня вопросы, то я бы здесь не писал.

ps Рад, что Вы согласились, что дуга это часть окружности.

[rustot]

petrovich1964 в сообщении #566599 писал(а):

rustot в сообщении #566549 писал(а):

То есть для него увеличиваются собственные размеры, но вовсе не путь, который ему нужно преодолеть

Для него путь сокращается. Поэтому пролетев отрезок в 218 наземных метров, за одну секунду наземного времени - пилот скажет, что он пролетел меньше 218 метров со скоростью 218 м/с, и поэтому его часы не успели оттикать одну секунду. Всё по теории.

ну дак и откуда взялся тогда ваш результат? для самого медленного в ИСО самолета (летящего на запад) трасса (не трасса в виде тоже вращающейся земли, а в виде неподвижных в ИСО отметок) сократилась меньше всего, для аэродрома сильнее, для самолета летящего на восток еще сильнее. а вы пытаетесь приспособить для расчетов бесконечное множество локальных ИСО связанных с вращающейся землей, складываете арифметически результат в каждой из них и получаете другой результат чем в нормальной ИСО и утверждаете что именно он и есть правильный.

это напоминает каламбуры когда вместо 5*7=35 наворачивают формулы с корнями, квадратами, логарифмами и экспонентами, получают 34 и задача найти в этой мешанине ошибку. простой расчет, который легче проверяется, дает другой результат, значит он и правильный, а искать в чем именно ошибка в портянке совсем неохота

[Neloth]

petrovich1964 в сообщении #566606 писал(а):

Потому что так по теории.

Вы допускаете, что неправильно ее поняли?

petrovich1964 в сообщении #566606 писал(а):

И предложил ответить будет ли качественная разница в показаниях часов двигающихся строго по прямой и с отклонением, например, на 1мм при движении на пару световых лет?

На что вам был задан вопрос, останется ли эта разница несущественной, когда мы сложим из таких фрагментов полную окружность?
Из того, что приближение верно на малых участках не следует, что и для всей траектории оно также верно.
Вам уже привели контрпример: малая дуга окружности похожа на небольшой участой прямой, но эти отколнения накапливаются с увеличением длины, и сама окружность уже не похожа ни на отрезок, ни на прямую.
Вы можете оценить, какой вклад вносит неинерциальность в случае с целой окружностью?

petrovich1964 в сообщении #566606 писал(а):

Мне кажется что работает.

Тогда что вызвало у вас затруднение?
Допустим и те, и другие часы делают полный оборот за время $t$ по часам ИСО, связанной с центром окружности. При этом скорости часов в этой ИСО разные, следовательно и собственное время у них различно.
На каком этапе возникла проблема?

[Someone]

Someone в сообщении #566321 писал(а):

petrovich1964 в сообщении #566161 писал(а):

Вы не понимаете что такое "замедленно"? Это когда стрелка часов движется медленнее чем стрелка других часов. Теперь поняли?

Я думаю, что никто ничего не понял. Ваше "определение" - это настоящий детский сад. Оно ничего не определяет, поскольку "идут медленнее" - это то же самое, что "стрелка часов движется медленнее". Это просто тавтология. Вопрос ведь в том и состоит - на каких часах стрелка движется медленнее? Как это узнать, какие действия нужно выполнить?
Повторю ситуацию. Мы рассматриваем две ИСО, движущиеся относительно друг друга. В каждой ИСО есть часы, неподвижные в "своей" ИСО.В некоторый момент времени часы пролетают вблизи друг друга, и мы пользуемся моментом, чтобы сравнить их показания. Затем часы, двигаясь по инерции, разлетаются далеко друг от друга. На миллион километров. Как нам теперь сравнить их показания, чтобы определить, которые "идут замедленно"? Конечно, мы можем в условленный момент времени послать сигнал от одних часов к другим, чтобы сообщить их показания. Но сигнал распространяется долго, и скорость его неизвестна (по секрету скажу: чтобы определить скорость, нужно уже уметь сравнивать показания удалённых друг от друга часов). Поэтому мы можем узнать, какие показания были на удалённых часах в момент посылки сигнала, но не знаем, что они показывают в момент получения сигнала.

petrovich1964, так как с ответом на этот вопрос? Капитулируете?

[kkdil]

petrovich1964 в сообщении #566606 писал(а):

.... если на в начале, на первых участках (если по данным опыта Хафеле-Китинга, то конкретно это участки в 218 метров, каждый из которых самолёт пролетает за секунду наземного времени) часы отстают, что означает, что они показывают меньшее время проследования участка, чем наземные часы, то почему на другом участке они будут обгонять часы находящиеся под ними?

Земля то круглая, что Вы утверждаете, а Мы подтверждаем, потому все СО, связанные с поверхностью Земли, не являются ИСО. Учите матчасть и поймите наконец понятие МСИСО. У Вас этим понятием очевидные проблемы. Очевидные проблемы на нескольких сайтах , а точнее говоря именно у Вас.

[petrovich1964]

rustot в сообщении #566615 писал(а):

ну дак и откуда взялся тогда ваш результат? для самого медленного в ИСО самолета (летящего на запад) трасса (не трасса в виде тоже вращающейся земли, а в виде неподвижных в ИСО отметок) сократилась меньше всего

Для самолёта летящего на Запад его трасса стала маленькой и поэтому его часы не успели оттикать большее время.
Вы из одной ИСО в другую не прыгайте, и все получится.

rustot в сообщении #566615 писал(а):

для аэродрома сильнее

А для аэродрома трасса побольше, но часы на самолётах тикают замедленно и поэтому время на часах самолёта оттикало меньше чем на его "нормальных" часах.

rustot в сообщении #566615 писал(а):

а вы пытаетесь приспособить для расчетов бесконечное множество локальных ИСО связанных с вращающейся землей,

Это Вы не правильно меня поняли. Я говорил о другом.

Neloth в сообщении #566624 писал(а):

На что вам был задан вопрос, останется ли эта разница несущественной, когда мы сложим из таких фрагментов полную окружность?

Повторяю, вопрос о качественном различии. Будет ли время на двигающихся, практически бок о бок часах различаться так что на одних часах время меньшее чем на часах СО, а на других большее? Попробуйте посчитать, по предложенным данным.

Neloth в сообщении #566624 писал(а):

з того, что приближение верно на малых участках не следует, что и для всей траектории оно также верно.

У Вас логическая ошибка. Постарайтесь понять - если на участке время t-dt, то на всех участках время будет N(t-dt). Земля круглая, и один участок ничем не отличается от другого.

Neloth в сообщении #566624 писал(а):

Допустим и те, и другие часы делают полный оборот за время $t$ по часам ИСО, связанной с центром окружности. При этом скорости часов в этой ИСО разные, следовательно и собственное время у них различно.

Расчёт для самолётов летящих на запад и на восток показал - время одинаковое. Вы не согласны? Расчёт видели? Попробуйте сделать самостоятельно и увидите что будет одинаково. Хоть по экватору гоняйте, хоть по другой широте.

Someone в сообщении #566635 писал(а):

petrovich1964, так как с ответом на этот вопрос? Капитулируете?

Вы меня уже доставали вопросом как мерить расстояние. Теперь достаёте как узнать скорость, как сравнить. Человечество без проблем измеряет расстояния, измеряет скорости, и сравнивает. Мне в ответ заняться таким же словоблудием? Изображаете из себя Ньютона - я знаю, что я ничего не знаю? Без проблем, хотите холиварить, начнём с того - а есть ли время, а есть ли реальный мир вообще?

kkdil в сообщении #566640 писал(а):

потому все СО, связанные с поверхностью Земли, не являются ИСО.

Спасибо, кэп! Но это не ответ на процитированный вопрос. Не можете ответить, лучше молчите, не позорьте известный Вам форум.

-- Ср май 02, 2012 21:19:18 --

Neloth в сообщении #566624 писал(а):

При этом скорости часов в этой ИСО разные, следовательно и собственное время у них различно.

В самом начале темы было показано, несмотря на то что в другой ИСО скорости разные, показания часов в точке А, во всех СО одинаковы.
Представьте, что в одной ИСО сделали фотографию часов в момент когда они проходят точку А. На этой фотографии часы будут показывать одно и то же время для всех наблюдателей во Вселенной.

[Jnrty]

Jnrty:

petrovich1964 в сообщении #566657 писал(а):

Вы меня уже доставали вопросом как мерить расстояние. Теперь достаёте как узнать скорость, как сравнить. Человечество без проблем измеряет расстояния, измеряет скорости, и сравнивает. Мне в ответ заняться таким же словоблудием? Изображаете из себя Ньютона - я знаю, что я ничего не знаю? Без проблем, хотите холиварить, начнём с того - а есть ли время, а есть ли реальный мир вообще?

Ну что же. Не хотите отвечать на совершенно серьёзные вопросы, существенные для понимания обсуждаемой темы - не надо. В Пургаторий. Ещё раз откроете аналогичную тему - заблокирую насовсем. Пока - предупреждение за нарушение правил форума и троллинг.

[Neloth]

petrovich1964 в сообщении #566657 писал(а):

Повторяю, вопрос о качественном различии. Будет ли время на двигающихся, практически бок о бок часах различаться так что на одних часах время меньшее чем на часах СО, а на других большее? Попробуйте посчитать, по предложенным данным.

Это ваше доказательство, и вас попросили оценить, чем именно вы пренебрегаете.
Вы умеете это делать, или вам просто показалось, что все в итоге должно сойтись?

petrovich1964 в сообщении #566657 писал(а):

У Вас логическая ошибка. Постарайтесь понять - если на участке время t-dt, то на всех участках время будет N(t-dt). Земля круглая, и один участок ничем не отличается от другого.

Нет, это у вас логическая ошибка: Земля круглая и на каждом участке вы чем-то пренебрегаете, считая его прямым. То, что для одного участка вам удалось получить почти правильный результат, не значит, что, умножив его на количество участков, вам удастся получить правильный результат для всего пути.

petrovich1964 в сообщении #566657 писал(а):

Расчёт для самолётов летящих на запад и на восток показал - время одинаковое. Вы не согласны? Расчёт видели? Попробуйте сделать самостоятельно и увидите что будет одинаково. Хоть по экватору гоняйте, хоть по другой широте.

Я уж не знаю, что вы там считали, но формула $\tau'=\tau\sqrt{1-v^2/c^2}$ дает вполне конкретные результаты:
время $\tau$ за которое совершается полный оборот по часам ИСО одинаковое, скорость $v$ у часов, двигающихся в разных направлениях различна, показания часов $\tau'$ также должны различаться.
То, что ваш метод с разбиением окружности на малые участки это не подтверждает — проблема вашего метода.

[Someone]

Попробуем разобраться с этой задачей.
Гравитационными эффектами и вообще тем, что самолёт летит на некоторой высоте над поверхностью Земли, пренебрегаем.
Исходные данные возьмём из первого сообщения темы с одной поправкой ($l$ и $u$ измеряются в той ИСО, в которой центр Земли покоится):
$T=86164{,}090530833$ с - звёздные сутки (на двухтысячный год),
$l=34312556$ м - длина параллели, по которой летит самолёт,
$u=\frac lT=398{,}22339$ м/с - скорость точки поверхности Земли на этой параллели (здесь petrovich1964 допустил ошибку: для определения скорости точки поверхности Земли или угловой скорости вращения Земли в ИСО нужно использовать звёздные сутки, а не солнечные),
$v=218$ м/с - собственная скорость самолёта (измеряется в мгновенно сопутствующей ИСО той точки поверхности Земли, "в которой" находится самолёт).
Другие обозначения:
$c=299792458$ м/с - скорость света,
$r_0=\frac l{2\pi}$ - радиус параллели, по которой летит самолёт,
$\omega=\frac u{r_0}$ - угловая скорость вращения Земли.

ИСО, в которой центр Земли неподвижен.

Сначала рассмотрим инерциальную систему отсчёта $Oxyzt$, в которой центр Земли покоится. В этой ИСО расчёты наиболее просты, так как все рассматриваемые часы движутся с постоянными по величине (но не по направлению) скоростями. Считаем, что центр Земли совпадает с началом координат $O$, плоскость экватора совпадает с плоскостью $Oxy$, система координат $Oxyz$ правая, Земля вращается против часовой стрелки, если смотреть на неё из полупространства $z>0$. Предполагаем, что параллель, по которой летят самолёты, находится в плоскости $z=z_0$ (конкретное значение $z_0$ нам не понадобится).
Скорость самолёта, летящего на восток:

$$v_+=\frac{u+v}{1+\frac{uv}{c^2}};\eqno{(1_+)}$$

скорость самолёта, летящего на запад:

$$v_-=\frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}.\eqno{(1_-)}$$

Возвращению самолёта на аэродром соответствует тот момент времени, в который разность путей, пройденных самолётом и аэродромом, будет равна длине параллели, то есть, $l$.
Время полёта самолёта, летящего на восток:

$$t_+=\frac l{v_+ -u}=\frac{l\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)}{v\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)};\eqno{(2_+)}$$

время полёта самолёта, летящего на запад:

$$t_-=\frac l{u-v_-}=\frac{l\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)}{v\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}\eqno{(2_-)}$$

(мы здесь предполагаем, что, в соответствии с условием задачи, $v<u$). Обратите внимание, что $t_+>t_-$, причём, разность

$$t_+ -t_-=\frac{2lu}{c^2\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}=\frac{4\pi r_0^2\omega}{c^2\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)}\eqno{(3)}$$

не зависит от собственной скорости самолёта (это так называемый эффект Саньяка; последнее выражение совпадает с формулой (4) в работе http://ufn.ru/ru/articles/2000/12/c/). Для приведённых выше данных получаем $t_+ -t_-\approx 3{,}0406639\cdot 10^{-7}$ с.
В СТО и ОТО промежуток времени, измеряемый движущимися часами, вычисляется по формуле

$$\tau=\frac 1c\int\limits_{\Gamma}ds,\eqno{(4)}$$

где $\Gamma$ - отрезок мировой линии, для которого вычисляется собственное время, а выражение для интервала $ds$ зависит от используемой системы отсчёта. Если эта система отсчёта инерциальная, а пространственные координаты декартовы (как это обычно и бывает по умолчанию), то

$$ds^2=c^2dt^2-dl^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2\eqno{(5)}$$

($dl^2=dx^2+dy^2+dz^2$ - пространственная метрика). В этом случае получаем

$$\tau=\frac 1c\int\limits_{\Gamma}\sqrt{c^2dt^2-dl^2}=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac 1{c^2}\left(\frac{dl}{dt}\right)^2}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}dt,\eqno{(6)}$$

где $v=v(t)=\frac{dl}{dt}$ - скорость движения часов, $t_1$ и $t_2$ - временнáя координата начальной и конечной точек дуги $\Gamma$. В рассматриваемом в этом пункте случае скорость $v$ постоянна, поэтому последнее выражение превращается в

$$\tau=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\int\limits_{t_1}^{t_2}dt=\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}(t_2-t_1).\eqno{(7)}$$

Воспользуемся последней формулой.
Для самолёта, летящего на восток, $t_2-t_1=t_+$, поэтому время, измеренное аэродромными часами, равно

$$t_{0+}=t_+\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{l\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\eqno{(8)}$$

а время, измеренное самолётными часами, равно

$$\tau_+=t_+\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}=\frac {l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}.\eqno{(9)}$$

Для самолёта, летящего на запад, $t_2-t_1=t_-$, поэтому время, измеренное аэродромными часами, равно

$$t_{0-}=t_-\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}=\frac{l\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\eqno{(10)}$$

а время, измеренное самолётными часами, равно

$$\tau_-=t_-\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}=\frac {l\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}.\eqno{(11)}$$

Сравнивая величины (8) - (11), получаем следующие выводы.
Так как $t_{0-}<t_{0+}$, первым на аэродром вернётся самолёт, летевший на запад. Другой самолёт вернётся с запозданием на

$$t_{0+}-t_{0-}=\frac{2lu}{c^2\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{4\pi r_0^2\omega}{c^2\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}}}\eqno{(12)}$$

(последнее выражение совпадает с формулой (5) упомянутой выше статьи http://ufn.ru/ru/articles/2000/12/c/).
При этом показания часов восточного самолёта в момент посадки на аэродром такие же, как часов западного в момент его посадки, поскольку из формул (9) и (11) следует, что $\tau_+=\tau_-$. Однако западный самолёт к этому времени уже находится на аэродроме в течение $t_{0+}-t_{0-}\approx 3{,}0406639\cdot 10^{-7}$ с, поэтому часы, летевшие на восток, будут показывать меньшее время, чем часы, летевшие на запад, на указанную величину. (Не нужно удивляться тому, что с указанной точностью $t_{0+}-t_{0-}\approx t_+ -t_-$: они отличаются на $(t_+ -t_-)-(t_{0+}-t_{0-})\approx\frac{lu^3}{c^4\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}\approx 2{,}68\cdot 10^{-19}$ с.)
Таким образом, показания самолётных часов после их возвращения на аэродром вовсе не совпадают, как утверждает petrovich1964, а отличаются на $3{,}0406639\cdot 10^{-7}$ с, причём, часы, летевшие на восток, показывают меньшее время, чем летевшие на запад.
Сравним показания аэродромных часов с показаниями самолётных часов в момент посадки.
Для самолёта, летевшего на восток:

$$t_{0+}-\tau_+=\frac{l\left(\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)-\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\approx\frac{l\left(\frac{uv}{c^2}+\frac{v^2}{2c^2}\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\approx\frac{l(2u+v)}{2c^2}.\eqno{(13)}$$

Для самолёта, летевшего на запад:

$$\tau_- -t_{0-}=\frac{l\left(\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\approx\frac{l\left(\frac{uv}{c^2}-\frac{v^2}{2c^2}\right)}{v\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\approx\frac{l(2u-v)}{2c^2}.\eqno{(14)}$$

Таким образом, в момент посадки восточного самолёта его часы будут отставать от аэродромных на $t_{0+}-\tau_+\approx 1{,}9365\cdot 10^{-7}$ с, в то время как в момент посадки западного самолёта его часы будут опережать аэродромные на $\tau_- -t_{0-}\approx 1{,}104\cdot 10^{-7}$ с. (Для упрощения выражений в формулах (13) и (14) использована известная приближённая формула $\sqrt{1+x}\approx 1+\frac x 2$, погрешность которой меньше $\frac{x^2}8$ при $0<x<1$ и меньше $\frac{x^2}{8(1+x)}$ при $-1<x<0$; корень в знаменателе заменён единицей.)

Предположим теперь, что самолёт, летящий на запад, достигнув аэродрома, не садится, а продолжает полёт в западом направлении до встречи с самолётом, летящим на восток. По часам рассматриваемой ИСО встреча произойдёт спустя время

$$t_{\pm}=\frac{2l}{v_+ -v_-}=\frac{l\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)}{v\left(1-\frac{u^2}{c^2}\right)}\eqno{(15)}$$

после старта. Используя снова формулу (7), получим, что самолёт, летящий на восток, достигнет точки встречи за время

$$\tau'_+=t_{\pm}\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}=\frac lv\left(1-\frac{uv}{c^2}\right)\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{u^2}{c^2}}}\eqno{(16)}$$

по своим часам, а самолёт, летящий на запад - за время

$$\tau'_-=t_{\pm}\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}=\frac lv\left(1+\frac{uv}{c^2}\right)\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{u^2}{c^2}}}\eqno{(17)}$$

по своим часам. Таким образом, в момент встречи разница показаний часов на этих самолётах равна

$$\tau'_- -\tau'_+=\frac{2lu}{c^2}\sqrt{\frac{1-\frac{v^2}{c^2}}{1-\frac{u^2}{c^2}}}.\eqno{(18)}$$

Подставляя исходные данные, получим $\tau'_- -\tau'_+\approx 3{,}0406639\cdot 10^{-7}$ с (это число нам уже два раза встречалось; оно отличается от двух предыдущих на очень малую величину).

Собственно говоря, на этом можно бы и закончить. Тот, кто немного разбирается в вопросе, понимает, что показания часов ни от каких систем отсчёта не зависят. Тот, кто немного разбирается в математическом анализе, также понимает, что величина криволинейного интеграла (4) также не зависит от выбора системы отсчёта. Поэтому нет нужды вычислять то же самое в каких-либо других системах отсчёта. Однако профаны наподобие petrovich1964 придают какое-то магическое значение манипуляциям с системами отсчёта. Им почему-то кажется, что в другой системе отсчёта может получиться что-то другое. И получается, поскольку ведь считать-то надо уметь...
Если у меня найдётся свободное время, посчитаю то же самое в других системах отсчёта. Хотя бы частично.

[Munin]

Спасибо, я как-то на эти детали внимания не обращал.

[Someone]

В дополнение к предыдущему сообщению выпишу хронологию событий.

Старт. Устанавливаются нулевые показания трёх часов:
$0$ с - на аэродроме,
$0$ с - на самолёте, отправляющемся на запад,
$0$ с - на самолёте, отправляющемся на восток.

Возвращение самолёта, летевшего на запад. Показания часов:
$157397{,}04587154646$ с - на аэродроме (по формуле (10)),
$157397{,}04587165685$ с - на самолёте, летевшем на запад (по формуле (11); с этого момента самолёт стоит на аэродроме, и его часы отсчитывают такие же промежутки времени, как часы на аэродроме).
Самолёт, летящий на восток, ещё не приземлился, и посмотреть показания его часов мы не можем (точнее, их показания "сейчас", то есть, в момент посадки западного самолёта, зависят от того, в какой системе отсчёта мы их будем определять). Этот самолёт приземлится спустя $t_{0+}-t_{0-}\approx 3{,}0406639\cdot 10^{-7}$ с по часам аэродрома (по формуле (12)).

Возвращение самолёта, летевшего на восток. Показания часов:
$157397{,}04587185054$ с - на аэродроме (по формуле (8)),
$157397{,}04587196093$ с - на самолёте, летевшем на запад (это сумма выражений (11) и (12)),
$157397{,}04587165685$ с - на самолёте, летевшем на восток (по формуле (9)).

Можно ещё посмотреть, какое же расстояние пролетают самолёты в своём кругосветном путешествии. Летят они одинаковое время $\tau_+=\tau_-$ с одинаковой скоростью $v$, поэтому пролетают одинаковое расстояние

$$l_+=v\tau_+=v\tau_-=l_-=l\frac{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\eqno{(19)}$$

что при подстановке исходных данных даёт $l_+=l_-\approx 34312556{,}0000212$ м, (чуть-чуть больше длины параллели, измеренной в рассматриваемой ИСО).
Заметим, что множитель $\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ в числителе выражения (19) описывает релятивистское сокращение длин в системе отсчёта самолёта, а длина вращающейся параллели, измеренная в её собственной системе отсчёта, оказывается равной

$$l'=\frac l{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}>l,\eqno{(20)}$$

что при подстановке исходных данных даёт $l'\approx 34312556{,}00003027$ м.

ИСО, сопутствующая аэродрому в момент старта.

Теперь нам понадобятся уравнения движения точки земной поверхности и самолётов, поэтому сделаем некоторые уточнения. Предположим, что в рассмотренной ранее ИСО в момент времени $t=0$ аэродром находится в точке с координатами $x=0$, $y=r_0$, $z=z_0$. Для удобства введём также величины $\omega_+=\frac{v_+}{r_0}$ и $\omega_-=\frac{v_-}{r_0}$ - угловые скорости самолётов, летящих на восток и на запад соответственно. Запишем уравнения движения.

\begin{tabular}{lll}Аэродром&Восточный самолёт&Западный самолёт\\ $\begin{cases}x=-r_0\sin\omega t\\ y=r_0\cos\omega t\end{cases}$ & $\begin{cases}x=-r_0\sin\omega_+ t\\ y=r_0\cos\omega_+ t\end{cases}$ & $\begin{cases}x=-r_0\sin\omega_- t\\ y=r_0\cos\omega_- t\end{cases}\eqno{(21)}$ \end{tabular}

(координата $z$ сохраняет постоянное значение $z_0$).
Инерциальную систему отсчёта $O'x'y'z't'$ выберем так, чтобы начало $O'$ в момент $t=0$ совпадало с положением аэродрома, в момент старта $t'=0$, пространственные оси координат были параллельны одноимённым осям системы $Oxyzt$, скорость движения $O'$ была равна скорости $u$ движения аэродрома (параллельно оси $Ox$ в отрицательном направлении). Тогда преобразования Лоренца, связывающие эти системы, будут иметь следующий вид:

$$\begin{cases}t=\frac{t'-\frac u{c^2}x'}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\ x=\frac{x'-ut'}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\y=y'+r_0,\\z=z',\end{cases}\qquad\qquad\begin{cases}t'=\frac{t+\frac u{c^2}x}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\ x'=\frac{x+ut}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\y'=y-r_0,\\z'=z.\end{cases}\eqno{(22)}$$

Подставляя в эти формулы выражения (21), получим следующие уравнения движения аэродрома в новой ИСО:

$$\begin{cases}t'=\frac{t-\frac u{c^2}r_0\sin\omega t}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\ x'=\frac{ut-r_0\sin\omega t}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}},\\y'=r_0\cos\omega t-r_0,\\z'=z_0.\end{cases}\eqno{(23)}$$

Формулы для самолёта, летящего на запад или на восток, будут теми же самыми, только вместо $\omega$ будет стоять $\omega_-$ или $\omega_+$ соответственно.
Дифференцируя выражения (23), получим

$$\begin{cases}dt'=\frac{1-\frac u{c^2}r_0\omega\cos\omega t}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}dt,\\ dx'=\frac{u-r_0\omega\cos\omega t}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}dt,\\ dy'=-r_0\omega\sin\omega t\,dt,\\ dz'=0.\end{cases}\eqno{(24)}$$

Подставляя эти выражения в формулу интервала в новой ИСО, получим

$$ds^2=c^2dt'^2-dx'^2-dy'^2-dz'^2=\ldots=c^2\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)dt^2\eqno{(25)}$$

(я опускаю немножко длинные, но элементарные преобразования).
Теперь подставляем это выражение в формулу (4) и, как и в предыдущем соотношении, с учётом постоянства подынтегрального выражения, получаем формулу

$$\tau=\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}}(t_2-t_1),\eqno{(7')}$$

отличающуюся от (7) только тем, что вместо скорости $v$ стоит $r_0\omega$.
Далее, поскольку по определению $r_0\omega=u$, дальнейшие вычисления ничем не отличаются от вычислений в предыдущем сообщении. То же самое получается и для самолётов (нужно заменить $\omega$ на $\omega_+$ или на $\omega_-$ и учесть, что $r_0\omega_+=v_+$ и $r_0\omega_-=v_-$). Поэтому я не буду повторять то, что писал в предыдущем сообщении.

Я уже писал прошлый раз, что считаю вычисления, проделанные здесь, совершенно не нужными. Задачу достаточно решить в одной системе отсчёта, а в любой другой получится то же самое. Однако я всё-таки постараюсь выбрать ещё время и написать, как это же самое получается в неинерциальной системе отсчёта, вращающейся вместе с Землёй.

[Jnrty]

После переноса темы в "Пургаторий" petrovich1964 написал мне (возможно, не только мне) большое количество личных сообщений, где "доказывает", что самолёты "согласно СТО" должны вернуться на аэродром одновременно, "потому что в момент посадки показания их часов одинаковые", а в ИСО, связанной с центром Земли, они возвращаются не одновременно, "потому что то, что одновременно в одной ИСО, не одновременно в другой". Это мне уже сильно надоело, тем более, что любые объяснения он игнорирует (возможно, просто не понимает). Помещаю здесь ответ на последнее такое письмо.

petrovich1964 в сообщении #104536 писал(а):

У Петровича показания часов в самолётах летящих в разные стороны – одинаковые.
У Someone показания часов в самолётах летящих в разные стороны – одинаковые.

Петровича грозят забанить, и говорят, что он пишет чушь.

По-моему, с Вами никто и не спорит, что показания часов в обоих самолётах одинаковые. Они одинаковые, но в разные моменты времени. Показания часов в Москве и во Владивостоке тоже одинаковые, если посмотреть на них в подходящие моменты времени. Спор ведь о другом: противоречат результаты Хафеле с Киттингом предсказанию СТО или не противоречат. Давайте посмотрим, только сообщение Someone придётся процитировать чуть подробнее.

Someone в сообщении #571727 писал(а):

Возвращение самолёта, летевшего на запад. Показания часов:
$157397{,}04587154646$ с - на аэродроме (по формуле (10)),
$157397{,}04587165685$ с - на самолёте, летевшем на запад (по формуле (11);…).

Someone в сообщении #571727 писал(а):

Возвращение самолёта, летевшего на восток. Показания часов:
$157397{,}04587185054$ с - на аэродроме (по формуле (8)),
…,
$157397{,}04587165685$ с - на самолёте, летевшем на восток (по формуле (9)).

Также приведём таблицу с результатами опыта из статьи Хафеле и Киттинга.

Вложение:

HafKit.gif [ 19.66 Кб | Просмотров: 0 ]

Сравниваем результаты.
Самолёт, летевший на запад.
У Someone: часы на самолёте отсчитали времени на 110 нс больше, чем часы на аэродроме.
У Хафеле и Киттинга: часы на самолёте отсчитали времени на 273 нс больше, чем часы на аэродроме.
Самолёт, летевший на восток.
У Someone: часы на самолёте отсчитали времени на 194 нс меньше, чем часы на аэродроме.
У Хафеле и Киттинга: часы на самолёте отсчитали времени на 59 нс меньше, чем часы на аэродроме.

Кстати, можно сравнить и величину эффекта Саньяка по расчётам Someone и по результатам опыта:
$110\text{ нс}+194\text{ нс}=304\text{ нс}$ у Someone,
$273\text{ нс}+59\text{ нс}=332\text{ нс}$ в опыте Хафеле - Китинга.

Так где противоречие? Числа, конечно, разные, но ведь здесь рассматривался не реальный полёт, а его сильно идеализированная модель, причём, не учитывались гравитационные эффекты, которые ускоряют ход часов в самолёте по сравнению с часами в лаборатории.

Jnrty:

petrovich1964! Публично обещаю: ещё раз напишете про равенство показаний часов в самолётах в связи с "противоречием" СТО, или про то, что в одной системе отсчёта самолёты возвращаются на аэродром не одновременно, а в другой - одновременно, - заблокирую насовсем с формулировкой "за агрессивную и злокачественную глупость". И попрошу администратора поставить Вам статус "заблокирован за глупость". Чтобы все видели.

[Munin]

Jnrty в сообщении #572306 писал(а):

После переноса темы в "Пургаторий" petrovich1964 написал мне (возможно, не только мне) большое количество личных сообщений

Не только.

Если petrovich1964 напишет личное сообщение мне, я его пересылаю Jnrty (поскольку предупреждаю заранее, это не будет нарушением тайны), чтобы он рассмотрел его в контексте своего обещания.

В то же время, надеюсь, это не остановит Someone от продолжения расчётов, которое он запланировал. Они ценны и поучительны сами по себе, а не в контексте разговора с petrovich1964.

[Jnrty]

Получил ещё одно сообщение от petrovich1964.

petrovich1964 в сообщении #104581 писал(а):

Согласен в ИСО центра Земли в разные моменты времени.
Но одинаковые в одном месте - при возвращении самолётов на аэродром. На самолётных часах, вернувшихся из кругосветки.

Вообще-то, Someone приводит показания часов, покоящихся на аэродроме, а не часов ИСО. Одновременность и вообще временнáя последовательность событий в каком-либо месте определяется по часам, покоящимся в этом месте, а не по двум разным часам, летающим по разным маршрутам. В частности, одновременность событий, происходящих на аэродроме, определяется показаниями часов, покоящихся на этом самом аэродроме. А не двумя разными часами, летающими в самолётах по разным маршрутам. Поскольку Вы не понимаете эту банальность, я своё обещание выполняю.

Jnrty:

petrovich1964 заблокирован за агрессивную и злокачественную глупость, распространение лженауки.