, теперь тут Вы разводите свой троллятник.
Привожу текст разъяснительного личного собщения, котороя я Вам отправлял на астрофоруме
А то, что Хафле и Киттинг забыли или не забыли про сокращение длины, вообще не важно. Рассмотрим упрощённую задачу. Забудем про Землю вообще. Пусть два космических корабля летают по одной и той же окружности в межгалактическом воиде (где пространство время с хорошей точностью можно считать пространством Минковского). У одного угловая скорость по модулю чуть больше, чем у другого, и обе они сонаправлены (то есть летят по окружности в одном направлении). Всё это с точки зрения из инерциальной системы покоя центра окружности, в коротой Вы с радостью можете применять преобразования Лоренца для вычислений. Пройдёт ли одинаковое время по их часам от одной их встречи до другой? Нет, конечно. И Вы можете это посчитать из этой самой ИСО. А раз в этой верно, то и во всех остальных верно (событие "сверка показаний часов" в одной пространственно-временной точке не зависит от системы осчёта).
В следующем сообщении Вы, скорее всего, собирались спросить, а что будут показывать часы одного корабля по сравнению с часами второго, если из второго проятнуть линейку от одной точки окружности до другой (а точнее, если рассмотреть семейство ваших любимых мгновенно сопутствующих систем отсчёта одного из кораблей). Словоблудие мне надоело, поэтому мы сейчас это выясним и даже картинки нарисуем.
Начнём с инерциальной системы отсчёта, связанной с центром окружности. Используем геометрическую систему единиц (где
) и в качестве единицы длины будем использоваь 1 секунду, таким и возьмём радиус окружности (то есть в километрах это будет около 300 000 — примерно радиус орбиты Луны). Пусть
будет собственное время первого корабля (время на часах первого корабля),
— собственное время второго корабля, а
— время по часам указаной ИСО. Тогда траектории первого и второго кораблей и касательные к ним (то есть 4-скорости) в исходной ИСО будут выглядеть так, если траектрии рассматривать как параметрически заданные кривые, с параметром
(радиус опускаем, чтобы в глазах не рябило):
где
и
— гамма-фактор и модуль скорости i-го корабля (в исходной ИСО).
Учитывая, что
, в естественной параметризации эти же кривые и касательные к ним (всё ещё в исходной ИСО, просто параметризацию поменяли) буду выражаться через:
Теперь рассмотрим мгновенно сопутствующую первому кораблю ИСО в
по его часам. Её временнАя ось направлена вдоль 4-скорости этого корабля в этот момент его собственного времени, а пространственные оси перпендикулярны временнОй. Вообще, вся гиперплоскость одновременности для этой МСИСО будет перпендикулярная 4-скорости в этой точке. Эта гиперплоскость одновременности будет пересекать траекторию второго корабля в какой-то её точке
. Ваша линейка будет из себя в таком случае представлять вектор
. Условие его ортогональности 4-скорости первого корабля даст уравнение, связывающее момент времени
и одновременный ему (с точки зрения первого корабля) момент времени по часам второго корабля. А именно:
где
Если расписать, то получится:
Решив это уравнение относительно
, найдём, сколько показывают часы второго корабля с точки зрения первого в определённый момент времени по часам первого.
Для второго корабля аналогичное выражение получается, очевидно, заменой индексов:
К сожалению, уравнения эти трансцендентные, поэтому ответ в явном виде записать не получится, и можно их решить только численно. Но я Вам нарисую графики соответствующих функций.
Пусть скорости кораблей будут
. Ниже представлен график зависимости показаний часов второго корабля (ось y) от времени по часам первого (ось x) с точки зрения первого (отстающего):
http://physics-animations.com/cgi-bin/gra.pl?b1=0.2;b2=0.9;g1=1/sqrt(1-b1^2);g2=1/sqrt(1-b2^2);f(x,y)=y*g1*g2-x*g1*g1+g1*b1*sin(g1*b1*x)*(cos(g2*b2*y)-cos(g1*b1*x))+g1*b1*cos(g1*b1*x)*(sin(g1*b1*x)-sin(g2*b2*y));xmin=0;xmax=10;ymin=0;ymax=10;height=600;width=600
Для отстающего корабля часы на опережающем корабле всё время отстают (хотя и с разной разностью хода). Вот такой вот каламбур
А это график зависимости показаний часов первого корабля от времени по часам второго с точки зрения второго (опережающего):
http://physics-animations.com/cgi-bin/gra.pl?b1=0.9;b2=0.2;g1=1/sqrt(1-b1^2);g2=1/sqrt(1-b2^2);f(x,y)=y*g1*g2-x*g1*g1+g1*b1*sin(g1*b1*x)*(cos(g2*b2*y)-cos(g1*b1*x))+g1*b1*cos(g1*b1*x)*(sin(g1*b1*x)-sin(g2*b2*y));xmin=0;xmax=10;ymin=0;ymax=10;height=600;width=600
Как видите, сначала часы на отстающем корабле отстают, но потом начинают сильно спешить, а когда корабли снова встречаются, опять начинают идти медленнее. В итоге за каждый пролёт часы медленного корабля уходят всё время вперёд по сравнению с часами быстрого. С какой точки зрения ни смотри. Хоть с точки зрения исходной ИСО (там это очевидно), хоть с точки зрения медленного корабля, хоть с точки зрения быстрого.
А когда Вы пытаетесь рассмотреть самое начало пути и указать на то, что для обоих кораблей время на втором замедлено, Вы совершенно правы. Действительно, линеаризуем первое уравнение (условие, определяющее время на втором корабле с точки зрения первого) по
и
:
откуда получим, что:
где
что, как Вам должно быть известно, является гамма-фактором при переходе из МСИСО первого корабля в МСИСО второго в самом начале их пути.
С точки зрения второго корабля, очевидно, получим:
Вы так и не ответили, почему это рассуждение неверно. Вместо этого задаёте всё новые вопросы.