2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8
 
 Re: Результаты опыта Хафеле-Китинга противоречат СТО
Сообщение27.05.2012, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17975
Москва
В дополнение к предыдущему сообщению - траектории движения аэродрома и самолётов в рассмотренной там ИСО.
Изображение
Траектория аэродрома - циклоида (линия с "остриями", находящимися на оси $O'x'$); траектория самолёта, летящего на восток - удлинённая циклоида (линия с петлями); траектория самолёта, летящего на запад - укороченная циклоида (гладкая линия, монотонно идущая слева направо).
Как видим, скорости самолётов в этой ИСО существенно (и по-разному) изменяются в процессе полёта, поэтому нет никаких оснований делать какие-либо выводы о показаниях их часов в конце опыта, изучив только самое начало.

Система отсчёта, вращающаяся вместе с Землёй.

Здесь удобно пользоваться цилиндрическими координатами. Поэтому в ИСО, описанной в первом сообщении, перейдём к цилиндрическим координатам: $$\begin{cases}x=r\cos\varphi,\\ y=r\sin\varphi\end{cases}\eqno{(26)}$$ (координаты $t$ и $z$ не заменяются).
Дифференцируя выражения (26), находим $$\begin{cases}dx=\cos\varphi\,dr-r\sin\varphi\,d\varphi,\\ dy=\sin\varphi\,dr+r\cos\varphi\,d\varphi;\end{cases}\eqno{(27)}$$ подстановка этих выражений в формулу для интервала после небольших упрощений даёт $$ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2dt^2-dr^2-r^2d\varphi^2-dz^2.\eqno{(28)}$$ Переход во вращающуюся с угловой скоростью $\omega$ систему координат осуществляется по формуле $$\varphi=\varphi'+\omega t;\eqno{(29)}$$ (остальные координаты не заменяются). Дифференцируя это выражение, найдём $$d\varphi=d\varphi'+\omega\,dt,\eqno{(30)}$$ что после подстановки в выражение (28) даёт $$ds^2=\left(1-\frac{r^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r^2\omega\,dt\,d\varphi'-dr^2-r^2d\varphi'^2-dz^2.\eqno{(31)}$$ Во избежание недоразумения отметим, что временнáя координата $t$ не совпадает с собственным временем часов, расположенных на аэродроме.
Уравнения движения аэродрома и самолётов в первоначальной ИСО в цилиндрических координатах имеют следующий простой вид:

\begin{tabular}{lll}Аэродром&Восточный самолёт&Западный самолёт\\ $\varphi=\omega t+\varphi_0$ & $\varphi=\omega_+t+\varphi_0$ & $\varphi=\omega_-t+\varphi_0\qquad\qquad\eqno{(32)}$ \end{tabular}

(во всех случаях $r=r_0$, $z=z_0$ и $\varphi_0=\frac{\pi}2$).
Используя соотношение (29), найдём уравнения движения во вращающейся системе.

\begin{tabular}{lll}Аэродром&Восточный самолёт&Западный самолёт\\ $\varphi'=\varphi_0$ & $\varphi'=(\omega_+ -\omega)t+\varphi_0$ & $\varphi'=(\omega_- -\omega)t+\varphi_0\qquad\eqno{(33)}$ \end{tabular}

Заметим, что возвращению самолёта на аэродром соответствует момент времени, когда угловое расстояние между ним и аэродромом достигнет $2\pi$, поэтому по координатному времени моменту возвращения восточного самолёта соответствует $t_+=\frac{2\pi}{\omega_+ -\omega}$, а моменту возвращения западного - $t_-=\frac{2\pi}{\omega-\omega_-}$; учитывая, что $l=2\pi r_0$, $u=r_0\omega$, $v_+=r_0\omega_+$ и $v_-=r_0\omega_-$, легко проверить, что эти выражения совпадают с $(2_+)$ и $(2_-)$.
Подставляя в выражение (31) $r=r_0$ и $z=z_0$, получим $$ds^2=\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r_0^2\omega\,dt\,d\varphi'-r_0^2d\varphi'^2;\eqno{(34)}$$ подставляя это выражение в формулу (4), получим взамен формулы (6)

\begin{multline*}\tau=\frac 1c\int\limits_{\Gamma}\sqrt{\left(1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}\right)c^2dt^2-2r_0^2\omega\,dt\,d\varphi'-r_0^2d\varphi'^2}=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}\frac{d\varphi'}{dt}-\frac{r_0^2}{c^2}\left(\frac{d\varphi'}{dt}\right)^2}dt.\qquad\eqno{(6')}\end{multline*}

Для аэродрома $\frac{d\varphi'}{dt}=0$, поэтому (6') превращается в $$\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}(t_2-t_1),\eqno{(35)}$$ что, очевидно, совпадает с (7), куда в качестве скорости движения часов $v$ в ИСО центра Земли подставлена скорость аэродрома $u$. Поэтому вычисление времени прилёта самолётов по времени аэродрома даст те же результаты (8) и (10), которые получены в первом сообщении.
Для самолёта, летящего на восток, $\frac{d\varphi'}{dt}=\omega_+ -\omega$. Подставляя это в формулу (6'), получим

\begin{multline*}\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}(\omega_+ -\omega)-\frac{r_0^2}{c^2}(\omega_+ -\omega)^2}dt=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega_+^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{v_+^2}{c^2}}(t_2-t_1),\qquad\eqno{(35_+)}\end{multline*}

что совпадает с формулой (7), если подставить в неё в качестве скорости часов $v$ скорость восточного самолёта$v_+$ в ИСО центра Земли. Поэтому расчёт времени полёта восточного самолёта по его собственным часам даст тот же результат (9), что и ранее.
Аналогично, для самолёта, летящего на запад, $\frac{d\varphi'}{dt}=\omega_- -\omega$, что при подстановке в (6') даёт

\begin{multline*}\tau=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega^2}{c^2}-\frac{2r_0^2\omega}{c^2}(\omega_- -\omega)-\frac{r_0^2}{c^2}(\omega_- -\omega)^2}dt=\\ =\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{r_0^2\omega_-^2}{c^2}}dt=\int\limits_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}dt=\sqrt{1-\frac{v_-^2}{c^2}}(t_2-t_1);\qquad\eqno{(35_-)}\end{multline*}

это совпадает с выражением (7), если подставить в него в качестве скорости часов $v$ скорость западного самолёта $v_-$ в ИСО центра Земли. Поэтому для западного самолёта также получаем уже знакомый по первому сообщению результат (11).

Таким образом, во всех трёх системах отсчёта результаты, как и положено, получаются одинаковые.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 106 ]  На страницу Пред.  1 ... 4, 5, 6, 7, 8

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group