В дополнение к
предыдущему сообщению - траектории движения аэродрома и самолётов в рассмотренной там ИСО.
Траектория аэродрома - циклоида (линия с "остриями", находящимися на оси
); траектория самолёта, летящего на восток - удлинённая циклоида (линия с петлями); траектория самолёта, летящего на запад - укороченная циклоида (гладкая линия, монотонно идущая слева направо).
Как видим, скорости самолётов в этой ИСО существенно (и по-разному) изменяются в процессе полёта, поэтому нет никаких оснований делать какие-либо выводы о показаниях их часов в конце опыта, изучив только самое начало.
Система отсчёта, вращающаяся вместе с Землёй.
Здесь удобно пользоваться цилиндрическими координатами. Поэтому в ИСО, описанной в
первом сообщении, перейдём к цилиндрическим координатам:
(координаты
и
не заменяются).
Дифференцируя выражения (26), находим
подстановка этих выражений в формулу для интервала после небольших упрощений даёт
Переход во вращающуюся с угловой скоростью
систему координат осуществляется по формуле
(остальные координаты не заменяются). Дифференцируя это выражение, найдём
что после подстановки в выражение (28) даёт
Во избежание недоразумения отметим, что временнáя координата
не совпадает с собственным временем часов, расположенных на аэродроме.
Уравнения движения аэродрома и самолётов в первоначальной ИСО в цилиндрических координатах имеют следующий простой вид:
(во всех случаях
,
и
).
Используя соотношение (29), найдём уравнения движения во вращающейся системе.
Заметим, что возвращению самолёта на аэродром соответствует момент времени, когда угловое расстояние между ним и аэродромом достигнет
, поэтому по координатному времени моменту возвращения восточного самолёта соответствует
, а моменту возвращения западного -
; учитывая, что
,
,
и
, легко проверить, что эти выражения совпадают с
и .
Подставляя в выражение (31)
и
, получим
подставляя это выражение в формулу (4), получим взамен формулы (6)
Для аэродрома
, поэтому (6') превращается в
что, очевидно, совпадает с (7), куда в качестве скорости движения часов
в ИСО центра Земли подставлена скорость аэродрома
. Поэтому вычисление времени прилёта самолётов по времени аэродрома даст те же результаты (8) и (10), которые получены в
первом сообщении.
Для самолёта, летящего на восток,
. Подставляя это в формулу (6'), получим
что совпадает с формулой (7), если подставить в неё в качестве скорости часов
скорость восточного самолёта
в ИСО центра Земли. Поэтому расчёт времени полёта восточного самолёта по его собственным часам даст тот же результат (9), что и ранее.
Аналогично, для самолёта, летящего на запад,
, что при подстановке в (6') даёт
это совпадает с выражением (7), если подставить в него в качестве скорости часов
скорость западного самолёта
в ИСО центра Земли. Поэтому для западного самолёта также получаем уже знакомый по
первому сообщению результат (11).
Таким образом, во всех трёх системах отсчёта результаты, как и положено, получаются одинаковые.