доказать, что любая группа из <= 4 элементов - циклическая

[Naatikin]

наведите на мысль:
доказать что любая группа из $\leqslant$ 4 элементов является циклической

[ИСН]

перебрать же, их всего ничего.

-- Пн, 2012-04-02, 21:35 --

Стоп! До 4 включительно? Хе-хе.

[Naatikin]

ИСН
что значит перебрать?

[ИСН]

значит - каждую такую группу взять в руки, посмотреть и отложить.

[Naatikin]

разве их не бесконечное количество?

[ИСН]

бесконечное? назовите хоть две!

[Naatikin]

например: для 3 элементов: 1, 1/8, 8; 1,1/7,7;0, 1,-1.
для 2: 1, -1;
и ещё не утверждена бинарная операция

[ИСН]

Пока не утверждена операция, группы нет. Утвердите операцию.

[Naatikin]

в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая

[Профессор Снэйп]

Naatikin в сообщении #554978 писал(а):

наведите на мысль:
доказать что любая группа из $\leqslant$ 4 элементов является циклической

Это просто неверно. Рассмотрите аддитивную группу $\mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$. Она состоит из четырёх элементов и не является циклической.

[PAV]

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.

Если количество элементов в группе конечно, то операцию там можно задать тоже конечным числом способов

[VAL]

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая

Вы можете изощряться и придумывать бинарные операции как угодно. Но групп конкретного порядка все равно будет конечное число. Их ведь считают с точностью до изоморфизма. Если непонятно, что это такое, читайте предыдущую фразу так: "Группы получающиеся одна из другой переобозначением элементов (и операции) не принято различать."

Более того, для многих порядков (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15...) будет всего-то по одной группе.

Кстати, среди приведенных Вами примеров трех примеров трехэлементных "групп" ни одной группы нет.

[ИСН]

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.

сумма? 1+1=чему? числа 2 ведь у Вас нет?
произведение? 8·8=? числа 64 ведь у Вас нет?
придумывать свои операции? бесконечно много? придумайте хоть одну.

[ewert]

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение,

Поскольку в группе только одна операция и более ничего нет -- называть эту операцию можно как угодно, ничего от этого не изменится. Обычно её называют умножением, но это лишь ради удобства обозначений. Задать же операцию в конечной группе -- это в точности задать таблицу умножения так, чтобы она не противоречила аксиомам группы, не более и не менее. Количество же возможных вообще таблиц конечно, и тем более конечно количество непротиворечивых.

Вот допустим у вас группа $\{1,a,b\}$ из трёх элементов. Верхняя строка и левый столбец таблички умножения заполняются автоматически в любом случае:

$\begin{tabular}{c|ccc}&1&a&b\\\hline1&1&a&b\\a&a&\cdot&\cdot\\b&b&\cdot&\cdot\end{tabular}$

Сколькими способами удастся Вам заполнить оставшиеся четыре клеточки?...

[Naatikin]

VAL в сообщении #555146 писал(а):

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение, но ведь можно изощряться как угодно и придумывать свои бинарные операции, поэтому и групп будет бесконечное число.
единственное что мб циклическая группа строится только на основе аддитивной или мультипликативной группы и надо рассматривать два случая

Вы можете изощряться и придумывать бинарные операции как угодно. Но групп конкретного порядка все равно будет конечное число. Их ведь считают с точностью до изоморфизма. Если непонятно, что это такое, читайте предыдущую фразу так: "Группы получающиеся одна из другой переобозначением элементов (и операции) не принято различать."

Более того, для многих порядков (1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 15...) будет всего-то по одной группе.

Кстати, среди приведенных Вами примеров трех примеров трехэлементных "групп" ни одной группы нет.

Я думал, что мы должны складывать различные элементы множества, по крайней мере в определении это а и b

-- 03.04.2012, 18:25 --

ewert в сообщении #555273 писал(а):

Naatikin в сообщении #555112 писал(а):

в примерах сумма и умножение,

Поскольку в группе только одна операция и более ничего нет -- называть эту операцию можно как угодно, ничего от этого не изменится. Обычно её называют умножением, но это лишь ради удобства обозначений. Задать же операцию в конечной группе -- это в точности задать таблицу умножения так, чтобы она не противоречила аксиомам группы, не более и не менее. Количество же возможных вообще таблиц конечно, и тем более конечно количество непротиворечивых.

Вот допустим у вас группа $\{1,a,b\}$ из трёх элементов. Верхняя строка и левый столбец таблички умножения заполняются автоматически в любом случае:

$\begin{tabular}{c|ccc}&1&a&b\\\hline1&1&a&b\\a&a&\cdot&\cdot\\b&b&\cdot&\cdot\end{tabular}$

Сколькими способами удастся Вам заполнить оставшиеся четыре клеточки?...

по всей видимости всего одним